数列通项公式求法(16种类型)

数列通项公式求法
类型 1

an ?1 ? an ? f (n)

解法:把原递推公式转化为 an?1 ? an ? f (n) ,利用累加法(逐差相加法)求解。 例 1: 已知数列 ?a n ? 满足 a1 ?

1 1 , a n?1 ? a n ? 2 ,求 a n 2 n ?n
1 1 1 1 ? ? ? n ? n n(n ? 1) n n ? 1
2

例 1 解:由条件知: a n ?1 ? a n ?

分 别 令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) , 代 入 上 式 得 (n ? 1) 个 等 式 累 加 之 , 即

(a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? (a4 ? a3 ) ? ? ? ? ? ? ? ?(an ? an?1 )

1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ? ? ?( ? ) 2 2 3 3 4 n ?1 n 1 所以 a n ? a1 ? 1 ? n 1 1 1 3 1 ? a1 ? ,? an ? ? 1 ? ? ? 2 2 n 2 n
, 变式:已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ? 2n ? 1 a1 ? 1 ,求 a n
类型 2

a n?1 ? f (n)a n

解法:把原递推公式转化为 例 2:已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? 例 2 解:由条件知

a n ?1 ? f (n) ,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an

2 n , a n ?1 ? an ,求 a n 3 n ?1

a n ?1 n ? ,分别令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) ,代入上式得 (n ? 1) 个等式 an n ?1

累乘之,即

a a a 2 a3 a 4 1 1 2 3 n ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n ? ? ? ? ??????? ? n ? a1 n a1 a2 a3 an?1 2 3 4 n

又? a1 ?

2 2 ,? an ? 3 3n 3n ? 1 an (n ? 1) ,求 a n 。 3n ? 2
an ? 6 3n ? 1

变式:已知 a1 ? 3 , a n?1 ?

类型 3 an ?1 ? pan ? q 或 an ?1 ? pan ? f (n) 或 an? 2 ? pan?1 ? qan
1

解法(待定系数法/构造法) :把原递推公式转化为: an?1 ? t ? p(an ? t ) ,其中 t ?

q , 1? p

再转化为等比数列; an?1 ? x(n ? 1) ? y ? p(an ? xn ? y) , 令 与已知递推式比较, 解出 x, y , 从 而 转 化 为 ?an ? xn ? y? 是 公 比 为 p 的 等 比 数 列 ; … … ; 把 原 递 推 公 式 转 化 为

an? 2 ? san?1 ? t (an?1 ? san ) ,再转化为等比数列。
例 3:已知数列 ?an ? 满足 an ? 2an ?1 ? 3 且 a1 ? 1 ,求 a n . 例 3 解:设 an ?1 ? ? ? 2 ? an ? ? ? ,即 ? ? 3 ,?数列 ?an ? 3? 是以 a1 ? 3 ? 4 为首项、 2 为 公比的等比数列,则 an ? 3 ? 4 ? 2
n ?1

? 2n ?1 ,即 an ? 2n ?1 ? 3 。
n

例 4:已知数列 {an } 满足 an ?1 ? 2an ? 3 ? 5 ,a1 ? 6 ,求 a n . 例 4 解:设 an ?1 ? x ? 5
n n ?1

? 2(an ? x ? 5n )
n


n ?1

将 an ?1 ? 2an ? 3 ? 5 代入④式,得 2an ? 3 ? 5 ? x ? 5

? 2an ? 2 x ? 5n ,等式两边消去

2an , 得 3 ? 5n ? x ? 5n?1 ? 2 ? 5 , 两 边 除 以 5n , 得 3 ? 5x ? 2 x, 则x ? ?1, 代 入 ④ 式 得 x n
an?1 ? 5n ?1 ? 2(an ? 5n )


由 a1 ? 5 ? 6 ? 5 ? 1 ? 0 及⑤式得 an ? 5 ? 0 ,则
1 n

an ?1 ? 5n ?1 ? 2 ,则数列 {an ? 5n } 是以 n an ? 5

a1 ? 51 ? 1 为首项,以 2 为公比的等比数列,则 an ? 5n ? 2n?1 ,故 an ? 2n ?1 ? 5n 。
评注:本题解题的关键是把递推关系式 an ?1 ? 2an ? 3 ? 5 转化为 an ?1 ? 5
n n n n ?1

? 2(an ? 5n ) ,

从而可知数列 {an ? 5 } 是等比数列,进而求出数列 {an ? 5 } 的通项公式,最后再求出数列

{an } 的通项公式。

例 5:已知数列 {an } 满足 an ?1 ? 3an ? 5 ? 2 ? 4,a1 ? 1 ,求 a n .
n

例 5 解:设 an ?1 ? x ? 2

n ?1

? y ? 3(an ? x ? 2n ? y )



2

将 an ?1 ? 3an ? 5 ? 2 ? 4 代入⑥式,得
n

3an ? 5 ? 2n ? 4 ? x ? 2n?1 ? y ? 3(an ? x ? 2n ? y)
整理得 (5 ? 2 x) ? 2 ? 4 ? y ? 3x ? 2 ? 3 y 。
n n

令?

?x ? 5 ?5 ? 2 x ? 3 x ,则 ? ,代入⑥式得 ?y ? 2 ?4 ? y ? 3 y


an ?1 ? 5 ? 2n ?1 ? 2 ? 3(an ? 5 ? 2n ? 2)
由 a1 ? 5 ? 2 ? 2 ? 1 ? 12 ? 13 ? 0 及⑦式,
1

n 得 an ? 5 ? 2 ? 2 ? 0 ,则

an ?1 ? 5 ? 2n ?1 ? 2 ? 3, an ? 5 ? 2n ? 2
1

故数列 {an ? 5 ? 2 ? 2} 是以 a1 ? 5 ? 2 ? 2 ? 1 ? 12 ? 13 为首项,以 3 为公比的等比数列,
n

因此 an ? 5 ? 2 ? 2 ? 13 ? 3
n

n ?1

,则 an ? 13 ? 3
2

n ?1

? 5 ? 2n ? 2 。

例 6:已知数列 {an } 满足 an ?1 ? 2an ? 3n ? 4n ? 5,a1 ? 1 ,求 a n . 例 6 解:设 an ?1 ? x(n ? 1) ? y (n ? 1) ? z ? 2(an ? xn ? yn ? z )
2 2



将 an ?1 ? 2an ? 3n ? 4n ? 5 代入⑧式,得
2

2an ? 3n2 ? 4n ? 5 ? x(n ? 1) 2 ? y(n ? 1) ? z ? 2(an ? xn 2 ? yn ? z ) ,则 2an ? (3 ? x)n2 ? (2 x ? y ? 4)n ? ( x ? y ? z ? 5) ? 2an ? 2 xn 2 ? 2 yn ? 2 z
等式两边消去 2an ,得 (3 ? x)n ? (2 x ? y ? 4)n ? ( x ? y ? z ? 5) ? 2 xn ? 2 yn ? 2 z ,
2 2

?3 ? x ? 2 x ?x ? 3 ? ? 解方程组 ?2 x ? y ? 4 ? 2 y ,则 ? y ? 10 ,代入⑧式,得 ?x ? y ? z ? 5 ? 2z ? z ? 18 ? ?
an?1 ? 3(n ? 1)2 ? 10(n ? 1) ? 18 ? 2(an ? 3n2 ? 10n ? 18)
3



由 a1 ? 3 ?1 ? 10 ?1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 ? 0 及⑨式,得 an ? 3n ? 10n ? 18 ? 0
2 2



an ?1 ? 3(n ? 1) 2 ? 10(n ? 1) ? 18 ? 2 ,故数列 {an ? 3n 2 ? 10n ? 18} 为以 an ? 3n 2 ? 10n ? 18

a1 ? 3 ?12 ? 10 ?1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 为首项,以 2 为公比的等比数列,因此 an ? 3n2 ? 10n ? 18 ? 32 ? 2n?1 ,则 an ? 2n? 4 ? 3n2 ? 10n ? 18 。

例 7:已知数列 ?a n ?中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , an? 2 例 7 解:由 an? 2 ?

2 1 ? an?1 ? an ,求 a n 。 3 3

an ?

7 3 1n?1 ? (? ) 4 4 3

2 1 an?1 ? an 可转化为 an?2 ? san?1 ? t (an?1 ? san ) 3 3

即 an?2

2 ? 1 ?s ? 1 ? ?s ? t ? 3 ? ? ?s ? ? ? ( s ? t )a n?1 ? stan ? ? ?? 3 1 或? ?t ? ? 3 ?t ? 1 ?st ? ? 1 ? ? ? 3 ?
1 ? ?s ? ? 3 , 大 家 可 以 试 一 试 ), 则 ? ?t ? 1 ?

?s ? 1 ? 这里不妨选用 ? 1 (当然也可选用 ?t ? ? 3 ?

1 1 公比为 ? 的等比数列, an? 2 ? an?1 ? ? (an?1 ? an ) ? ?a n ?1 ? a n ?是以首项为 a2 ? a1 ? 1 , 3 3 1 n?1 所以 an?1 ? an ? (? ) ,应用类型 1 的方法,分别令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) ,代入上式得 3 1 1 ? (? ) n?1 1 0 11 1 n?2 3 (n ? 1) 个等式累加之,即 an ? a1 ? (? ) ? (? ) ? ? ? ? ? ? ? ?(? ) ? 1 3 3 3 1? 3 7 3 1 n?1 又? a1 ? 1 ,所以 a n ? ? (? ) 。 4 4 3
变式: 1.已知 a1 ? 2 , an?1 ? 3an ? 2 ( n ? N ) ,求 an
*

an ? 3n ?1 ? 1

5 1 1 n?1 2.已知数列 ?a n ?中, a1 ? , an?1 ? an ? ( ) ,求 a n 6 3 2
*

5 an ? ? 3? n ? 3 ? 2? n 2
an ? 2n ? 1
a n ? 2 ? 3n ? n ? 1

3.已知数列 ? an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an ? 2 ? 3an ?1 ? 2an (n ? N ). 求 a n 4.设数列 ?a n ?: a1 ? 4, a n ? 3a n ?1 ? 2n ? 1, (n ? 2) ,求 a n .
4

类型 4 递推公式为 S n 与 a n 的关系式。(或 S n ? f (an ) ) 解 法 :( 公 式 法 ) 这 种 类 型 一 般 利 用 a n ? ?

?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(n ? 1) 与 ?S n ? S n?1 ? ? ? ? ? ? ? (n ? 2)

an ? S n ? S n?1 ? f (an ) ? f (an?1 ) 消去 S n (n ? 2) 或与 S n ? f ( S n ? S n?1 ) (n ? 2) 消去 a n
进行求解。 例 8:已知数列 ?a n ?前 n 项和 S n ? 4 ? a n ? 例 8 解: (1)由 S n ? 4 ? a n ?

1 2
n?2

.(1)求 an?1 与 a n 的关系; (2)求 a n .

1 2
n?2

得: S n ?1 ? 4 ? a n ?1 ?

1 2 n?1

于是 S n?1 ? S n ? (an ? an?1 ) ? ( 所以 an?1 ? an ? an?1 ?

1 2
n?2

1 ? an?1 2 n?1
n

) 2 n?1 1 1 ? an ? n . 2 2
n ?1

?

1

2 (2) 应用类型 3 a n ?1 ? pan ? q (其中 p, 均为常数) 待定系数法得: ( q )
由 a1 ? S1 ? 4 ? a1 ?
1? 2

an?1 ? 2 n an ? 2

1 ? a1 ? 1 .于是数列 ?2 n an ?是以 2 为首项,2 为公差的等差数列, 2 n n 所以 2 a n ? 2 ? 2(n ? 1) ? 2n ? an ? n?1 2 1 变式:已知在正整数数列 {a n } 中,前 n 项和 S n 满足 S n ? (a n ? 2) 2 ,求 a a n ? 4n ? 2 n 8 f ( n) a n 类型 5 a n ?1 ? g ( n) a n ? h( n)
解法:这种类型一般是等式两边取倒数(法)后换元转化为 an?1 ? pan ? q 。 例 9:已知 a1 ? 4 , an ?1 ?

2 ? an ,求 an 。 2 an ? 1 2a ? 1 1 1 1 1 1 ? n ? ? ? 1 ,令 ? bn 则 即 an an ?1 2 an an ?1 2 an

例 9 解:对递推式左右两边取倒数得

1 1 1 7 bn?1 ? bn ? 1 。设 bn ?1 ? ? ? ? bn ? ? ? ,即 ? ? ?2 ,?数列 ?bn ? 2? 是以 ? 2 ? ? 为 2 2 4 4
首项、 变式:

2n ? 2 ? 7 2n ?1 1 7 为公比的等比数列,则 bn ? 2 ? ? n ?1 ,即 bn ? ,? an ? n ? 2 。 2n ?1 2 ?7 2 2

a n?1 , a1 ? 1 ,求 an 1.已知数列{an}满足: a n ? 3 ? a n?1 ? 1

an ?

1 3n ? 2

5

2.已知数列{ a n }满足 a1 ? 1, n ? 2 时, a n ?1 ? a n ? 2a n ?1 a n ,求 an

an ?

1 2n ? 1
an ? n ? 3n 3n ? 1

3.已知数列{an}满足:a1=

3na n-1 3 ,且 an= 求 (n ? 2,n ? N?) an 2a n-1+n-1 2

类型 8 a n ?1 ? pan ( p ? 0, an ? 0)
r

解法:这种类型一般是等式两边取对数(法)后转化为 an?1 ? pan ? q ,再利用待定系数法 求解。

1 2 的通项公式. ? an (a ? 0) ,求数列 ?an ? a 1 2 1 例 10 解:由 a n ?1 ? ? a n 两边取对数得 lg an?1 ? 2 lg a n ? lg , a a 1 1 2 n?1 令 bn ? lg an ,则 bn?1 ? 2bn ? lg ,再利用待定系数法解得: an ? a( ) 。 a a
例 10:已知数列{ a n }中, a1 ? 1, a n?1 ? 变式:已知 a1 ? 10 , an ?1 ? an , n ? N ,求通项 an 类型 9 an?1 ? an ? pn ? q 或 a n ?1 ? a n ? pq
2

*

an ? 10 2

n ?1

n

解法:这种类型一般利用等差或等比的性质转化为 ?a2 n?1 ?与 ?a 2 n ? 是等差或等比数列求解。 例 11:在数列 {a n } 中, a1 ? 1, an ?1 ? 6n ? a n ,求 a n 例 11 解:由an ?1 ? an ? 6n,得a1 ? a2 n ? 6n,

? a2 n ? 6n ? 1,? an ? 3n ? 1
n

变式:在数列 {a n } 中, a1 ? 1, a n a n ?1 ? 3 ,求 a n
n

an ? 3 2

类型 9 含根号递推公式 解法:换元法 例 12: 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

1 求数列 {an } 的通项公式。 (1 ? 4an ? 1 ? 24an ),a1 ? 1 , 16
1 2 (bn ? 1) 24

例 12 解:令 bn ? 1 ? 24an ,则 an ? 故 an ?1 ?

1 2 1 (bn ?1 ? 1) ,代入 an ?1 ? (1 ? 4an ? 1 ? 24an ) 得 24 16

6

1 2 1 1 2 2 (bn?1 ? 1) ? [1 ? 4 (bn ? 1) ? bn ] ,即 4bn ?1 ? (bn ? 3)2 24 16 24
因为 bn ? 1 ? 24an ? 0 ,故 bn ?1 ? 1 ? 24an ?1 ? 0 则 2bn ?1 ? bn ? 3 ,即 bn ?1 ?

1 3 1 bn ? ,可化为 bn?1 ? 3 ? (bn ? 3) , 2 2 2
1 为公比的等比数 2

所以 {bn ? 3} 是以 b1 ? 3 ? 1 ? 24a1 ? 3 ? 1 ? 24 ? 1 ? 3 ? 2 为首项,以 列,因此 bn ? 3 ? 2( ) n ?1 ? ( ) n ? 2 ,则 bn ? ( )

1 2

1 2

1 2

n?2

1 ? 3 ,即 1 ? 24an ? ( ) n?2 ? 3 ,得 2

2 1 1 1 an ? ( )n ? ( )n ? 。 3 4 2 3
评注:本题解题的关键是通过将 1 ? 24an 的换元为 bn ,使得所给递推关系式转化

1 3 从而可知数列 {bn ? 3} 为等比数列, 进而求出数列 {bn ? 3} 的通项公式, bn ?1 ? bn ? 形式, 2 2
最后再求出数列 {an } 的通项公式。 类型 10 归纳猜想法 解法:数学归纳法(理科) 例 13 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ?

8(n ? 1) 8 ,a1 ? ,求数列 {an } 的通项公式。 2 2 (2n ? 1) (2n ? 3) 9

例 13 解:由 an ?1 ? an ?

8(n ? 1) 8 及 a1 ? ,得 2 2 (2n ? 1) (2n ? 3) 9

8(1 ? 1) 8 8 ? 2 24 ? ? ? 2 2 (2 ? 1 ? 1) (2 ?1 ? 3) 9 9 ? 25 25 8(2 ? 1) 24 8?3 48 a3 ? a2 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 2 ? 1) (2 ? 2 ? 3) 25 25 ? 49 49 8(3 ? 1) 48 8 ? 4 80 a4 ? a3 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 3 ? 1) (2 ? 3 ? 3) 49 49 ? 81 81 a2 ? a1 ?
(2n ? 1) 2 ? 1 由此可猜测 an ? ,往下用数学归纳法证明这个结论。 (2n ? 1) 2 (2 ?1 ? 1) 2 ? 1 8 ? ,所以等式成立。 (2 ?1 ? 1) 2 9

(1)当 n ? 1 时, a1 ?

7

(2)假设当 n ? k 时等式成立,即 ak ?

(2k ? 1) 2 ? 1 ,则当 n ? k ? 1 时, (2k ? 1) 2

ak ?1 ? ak ?

8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2

? ? ? ? ? ?

(2k ? 1) 2 ? 1 8( k ? 1) ? 2 (2k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 [(2k ? 1) 2 ? 1](2k ? 3) 2 ? 8( k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 3) 2 ? 8( k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 1) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 3) 2 ? 1 (2k ? 3) 2 [2( k ? 1) ? 1]2 ? 1 [2(k ? 1) ? 1]2
评注: 本题解题的 关键是通过首项 和递推关系式先 求出数列的前 n 项, 进而猜出数列 的通项公式, 最后 再用数学归纳法 加以证明。

由此可知,当 n ? k ? 1 时等式也成立。 根据(1)(2)可知,等式对任何 n ? N 都成立。 ,
*

类型 13 双数列型 解法:根据所给两个数列递推公式的关系,灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。 例 14 : 已 知 数 列 ?a n ? 中 , a1 ? 1 ; 数 列 ?bn ? 中 , b1 ? 0 。 当 n ? 2 时 ,

1 1 an ? (2an?1 ? bn?1 ) , bn ? (an?1 ? 2bn?1 ) ,求 a n , bn . 3 3 1 1 例 14 解:因 an ? bn ? (2a n?1 ? bn?1 ) ? (a n?1 ? 2bn ?1 ) ? a n?1 ? bn?1 3 3
所以 an ? bn ? an?1 ? bn?1 ? an?2 ? bn?2 ? ? ? ? ? a2 ? b2 ? a1 ? b1 ? 1 即 a n ? bn ? 1 …(1)

1 1 1 (2a n ?1 ? bn ?1 ) ? (an?1 ? 2bn?1 ) ? (an?1 ? bn?1 ) 3 3 3 1 1 2 1 n?1 所以 a n ? bn ? (a n ?1 ? bn ?1 ) ? ( ) a n ?2 ? bn ?2 ) ? …… ? ( ) (a1 ? b1 ) 3 3 3 1 1 …(2) ? ( ) n ?1 .即 an ? bn ? ? ( ) n ?1 3 3 1 1 n?1 1 1 n?1 由(1)(2)得: a n ? [1 ? ( ) ] , bn ? [1 ? ( ) ] 、 2 3 2 3
又因为 a n ? bn ?

8

类型 14

a n ?1 ?

pan ? q ra n ? h pan ? q (其 ra n ? h

解法:如果数列 {a n } 满足下列条件:已知 a1 的值且对于 n ? N ,都有 a n ?1 ? 中 p、q、r、h 均为常数,且 ph ? qr, r ? 0, a1 ? ? 当特征方程有且仅有一根 x0 时,则 ?

h px ? q ) ,那么,可作特征方程 x ? , r rx ? h

?

1 ? ? 是等差数列;当特征方程有两个相异的根 x1 、x 2 ? an ? x0 ?

时,则 ?

? an ? x1 ? ? 是等比数列。 ? an ? x2 ?

例 15:已知数列 {a n } 满足性质:对于 n ? N, a n ?1 ? 例 15 解 : 数 列 {a n } 的 特 征 方 程 为 x ?

an ? 4 , 且 a1 ? 3, 求 {a n } 的通项公式. 2a n ? 3

x?4 , 变 形 得 2 x 2 ? 2 x ? 4 ? 0, 其 根 为 2x ? 3

?1 ? 1, ?2 ? ?2. 故特征方程有两个相异的根,使用定理 2 的第(2)部分,则有
cn ? a1 ? ?1 p ? ?1 r n ?1 3 ? 1 1 ? 1 ? 2 n ?1 2 1 ?( ) ? ?( ) , n ? N. ∴ cn ? (? ) n?1 , n ? N. a1 ? ?2 p ? ?2 r 3 ? 2 1? 2? 2 5 5

2 1 ? 2 ? (? ) n ?1 ? 1 ? 2 c n ? ?1 (?5) n ? 4 5 5 , n ? N. ∴ an ? ? , n ? N. 即 a n ? 2 1 n ?1 2 ? (?5) n cn ? 1 (? ) ? 1 5 5
变式:已知 a1 ?

4an ?1 ? 3 1 , an ? (n ? 2) ,求 an 。 an ?1 ? 2 2

解: n ? 2 时, 当 递推式对应的特征方程为 x ?

4x ? 3 2 即 x ? 2x ? 3 ? 0 , 解得 x1 ? ?1 、 x?2

? a ?1? a ?1 a1 ? x1 2 x2 ? 3 。数列 ? n ? ? ?1 为首项的等比数列,设 n ? ? ?1? ? ? n ?1 , ? 是以 a1 ? x2 ?2 an ? 3 ? an ? 3 ?

a ?1 3n ? 1 1 n ?1 a2 ? 2 则 ?3 ? ? ? ,? ? ? 3 ,即 n ? ? ?1? ? 3 ,从而 an ? n ?1 由 a1 ? 得 , an ? 3 3 ?1 2

?1 ,n ?1 ?2 ? ? an ? ? n 。 ? 3 ?1 , n ? 2 ? 3n ?1 ? 1 ?

9

类型 16 周期型

解法:由递推式计算出前几项,寻找周期。

例 16:若数列 ?a n ?满足 a n ?1

1 ? 5 ?2 a n , ( 0 ? a n ? 2 ) 6 ? ,若 a1 ? ,则 a 20 的值为__ 7 _____。 ?? 1 7 ?2a ? 1, ( ? a ? 1) n n ? 2 ?

变式:已知数列 {a n } 满足 a1 ? 0, a n ?1 ?

an ? 3 3a n ? 1
3 2

(n ? N * ) ,则 a 20 =(

B



A.0

B. ? 3

C. 3 D.

10


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