最新 高中数学苏教版必修四教学案:第1章 1.3 三角函数的图象和性质 含答案

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第 1 课时 三角函数的周期性
问题 1:今天是周三,66 天后的那一天是周几?你是如何推算的? 提示:66 天后的那一天是周六,因为每隔七天,周一到周日依次循环,而 66=7×9+3,所 以 66 天后的那一天是周六. 问题 2:在三角函数中: (1)终边相同的角的正弦函数值相等,即 sin(x+k·2π )=sin x(k∈Z). (2)终边相同的角的余弦函数值相等,即 cos(x+k·2π )=cos x(k∈Z). 上述两个结论说明正弦函数和余弦函数有什么共同性质? 提示:正弦函数和余弦函数都具有周期性.
1.周期函数 对于函数 f(x),如果存在一个非零的常数 T,使得定义域内的每一个 x 值,都满足 f(x+T) =f(x),那么函数 f(x)就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期. 2.最小正周期 (1)定义:对于一个周期函数 f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个 最小的正数叫做 f(x)的最小正周期. (2)正弦函数和余弦函数都是周期函数,2kπ (k∈Z 且 k≠0)都是它们的周期,它们的最小正 周期都是 2π . (3)正切函数 y=tan x 也是周期函数,并且最小正周期是 π .

问题:由周期函数的定义可知 y=sin x,y=sin 2x,y=sin 3x,y=sinx2,y=sinx3的周期

分别为 2π ,π ,23π ,4π ,6π .

你能猜出 y=sin 4x,y=sin14x 的周期吗?那么 y=sin ω x(ω >0)的周期又是什么?

提示:y=sin 4x,y=sin14x 的周期分别为π2 ,8π ;

y=sin

ω

x(ω

>0)的周期为2π ω

.

(1)若函数 y=f(x)的周期为 T,则函数 y=Af(ω x+φ )的周期为|ωT |(其中 A,ω ,φ 为常 数,且 A≠0,ω ≠0).
(2)函数 y=Asin(ω x+φ )及 y=Acos(ω x+φ )(其中 A,ω ,φ 为常数,且 A≠0,ω >0) 的周期 T=2ωπ .

1.对周期函数与周期定义中的“对定义域内的任意一个 x”,要特别注意“任意一个”的要 求,如果只是对某些 x 有 f(x+T)=f(x)成立,那么 T 就不是函数 f(x)的周期.
例如:sin???π4 +π2 ???=sinπ4 ,但是 sin???π3 +π2 ???≠sinπ3 ,也就是说,π2 不能对 x 在定义域内 的每一个值都有 sin???x+π2 ???=sin x 成立,因此π2 不是函数 y=sin x 的周期.
2.从等式 f(x+T)=f(x)(T≠0)来看,应强调的是与自变量 x 相加的常数才是周期,如 f(2x +T)=f(2x),T 不是最小正周期,而应写成 f???2???x+2T??????=f(2x),则T2是 f(x)的最小正周期.
3.若 f(x)是周期函数,则其图象平移周期的整数倍后,一定与原图象完全重合,即周期函 数的周期不唯一.

[例 1] 求下列函数的最小正周期.
(1)f(x)=2sin???x3+π3 ???; (2)f(x)=2cos???-3x+π4 ???; (3)f(x)=14sin???12x+π3 ???; (4)f(x)=-2cos???2ax+π4 ???(a≠0).
[思路点拨] 直接利用周期公式求解. [精解详析] (1)T=2π1 =6π ,∴最小正周期为 6π .
3 (2)T=|2-π3|=23π ,∴最小正周期为23π . (3)T=2π1 =4π ,∴最小正周期为 4π .
2 (4)T=|22πa|=|πa|,∴最小正周期为|πa|. [一点通] 利用公式求 y=Asin(ω x+φ )或 y=Acos(ω x+φ )的最小正周期时,要注意 ω 的正负,公式可记为 T=|2ωπ|;函数 y=Atan(ω x+φ )的最小正周期为 T=|πω |.
1.函数 f(x)= 3sin???x2-π4 ???的最小正周期为________. 解析:T=21π =4π .
2 答案:4π
2.函数 f(x)=tan???-3x+π6 ???的最小正周期为________. 解析:T=|-π3|=π3 .
答案:π3
3 若 f(x)=-5sin???kx-π3 ???的最小正周期为π5 ,求 k.

解:由 T=2|πk|=π5 .∴|k|=10,∴k=±10.
[例 2] 若 f(x)是以π2 为周期的奇函数,且 f???π3 ???=1,求 f???-5π6 ???.
[思路点拨] 利用奇偶性、周期性将-5π6 转化可求.
[精解详析] f???-5π6 ???=-f???56π ???=-f???π -π6 ??? =-f???2×π2 -π6 ???=f???π6 ???=f???π2 -π3 ??? =-f???π3 ???=-1.
[一点通] 函数的周期性与其它性质相结合是一类热点问题,一般在条件中,周期性起到变 量值转化作用,也就是将所求函数值转化为已知求解.
4.设 f(x)是定义在 R 上的以 4 为周期的奇函数,且 f(1)=-1,则 f(2 015)=________. 解析:∵f(x)的周期为 4,f(x)为奇函数,且 f(1)=-1. ∴f(2 015)=f(4×504-1)=f(-1)=-f(1)=-(-1)=1. 答案:1 5.若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数,且满足 f(1)=1,f(2)=2,则 f(3)-f(4)=________. 解析:由于 f(x)的周期为 5, 所以 f(3)-f(4)=f(-2)-f(-1). 又 f(x)为 R 上的奇函数, ∴f(-2)-f(-1)=-f(2)+f(1)=-2+1=-1. 答案:-1 6.已知 f(x)在 R 上是奇函数,且满足 f(x+4)=f(x),当 x∈(0,2)时,f(x)=2x2,求 f(7) 的值. 解:∵f(x+4)=f(x),∴f(x)是周期为 4 的函数, ∴f(7)=f(2×4-1)=f(-1), 又∵f(x)在 R 上是奇函数,∴f(-x)=-f(x), ∴f(-1)=-f(1),而当 x∈(0,2)时,f(x)=2x2, ∴f(1)=2×12=2,∴f(7)=f(-1)=-f(1)=-2.
1.求三角函数的周期的常用方法

正弦函数和余弦函数的周期性实质是由终边相同的角所具有的周期性决定的.求三角函数的

周期的常用方法有:

(1)公式法:对形如函数 y=Asin(ω x+φ )及 y=Acos(ω x+φ )(A,ω ,φ 为常数,A≠0,

ω

>0)的周期直接用公式

T=2π ω

求解;

(2)定义法:用周期函数的定义求解;

(3)图象法:周期函数的图象总是周而复始地重复同一个形状,因而观察图象是不是周期性

的循环也是判断周期性的常用方法.

2.周期函数的一些常见结论

由周期函数的定义“函数 f(x)满足 f(x)=f(a+x)(a>0),则 f(x)是周期为 a 的周期函数”

得:

(1)若函数 f(x)满足-f(x)=f(a+x),则 T=2a;

(2)若 f(x+a)=f

1 x

(f(x)≠0)恒成立,则 T=2a;

(3)若 f(x+a)=ff

x x

+ -11(f(x)≠1),则 T=2a.

课下能力提升(七)
一、填空题
1.函数 y= 2sin???π4 -2x???的最小正周期为________. 解析:T=|2-π2|=π .
答案:π
2.函数 y=tan???3x-π4 ???的最小正周期为________. 解析:T=π3 .
答案:π3

3.函数 y=cos???k4x+π3 ???(k>0)的最小正周期不大于 2,则正整数 k 的最小值应是________. 解析:∵T=2kπ =8kπ ≤2,∴k≥4π ,∴kmin=13.
4 答案:13
4.已知函数 f(x)=sin???π x-π2 ???-1,则下列命题正确的是________. ①f(x)是周期为 1 的函数 ②f(x)是周期为 2 的函数 ③f(x)是周期为12的函数 ④f(x)是周期为 π 的函数 解析:f(x)=sin???π x-π2 ???-1=-cos π x-1, ∴f(x)的周期为2π =2.
π 答案:② 5.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x),则 f(6)的值为________. 解析:∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(0)=0. 又 f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x), ∴函数 f(x)是周期为 4 的周期函数, ∴f(6)=f(2). 由 f(2)=-f(0)=0,得 f(6)=0. 答案:0 二、解答题 6.求下列函数的最小正周期.
(1)f(x)=-2sin???π3 -61x???; (2)f(x)=3cos???mx+π6 ???(m≠0). 解:(1)T=???2-π61???=12π , 即函数 f(x)=2sin???π3 -61x???的最小正周期为 12π .

(2)T=2|πm|, 即函数 f(x)=3cos???mx+π6 ???(m≠0)的最小正周期为2|πm|. 7.已知函数 f(n)=sinn6π (n∈Z),求 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(102). 解:由诱导公式知 sin???n+612π ???=sin???n6π +2π ???=sinn6π , ∴f(n+12)=f(n), 且 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(12)=0,102=12×8+6, ∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(102) =f(1)+f(2)+f(3)+…+f(6) =sinπ6 +sin26π +…+sin66π =2+ 3. 8.若单摆中小球相对静止位置的位移 x(cm)随时间 t(s)的变化而周期性变化,如下图所示, 请回答下列问题:
(1)单摆运动的周期是多少? (2)从 O 点算起,到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动?如从 A 点算起呢? (3)当 t=11 s 时,单摆小球相对于静止位置的位移是多少? 解:(1)从图象可以看出,单摆运动的周期是 0.4 s. (2)若从 O 点算起,到曲线上的 D 点表示完成了一次往复运动;若从 A 点算起,到曲线上的 E 点表示完成了一次往复运动. (3)11=0.2+0.4×27,所以小球经过 11 s 相对于静止位置的位移是 0 cm.
第 2 课时 三角函数的图象与性质

问题 1:作函数图象的基本步骤是什么? 提示:列表、描点、连线. 问题 2:正弦函数值与正弦线有关系吗? 提示:有关系,正弦函数值可以用正弦线表示. 问题 3:若在直角坐标系的 x 轴上取一点 O1,以 O1 为圆心,单位长为半径作圆,从⊙O1 与 x 轴的交点 A 起,把⊙O1 分成 12 等份,过⊙O1 上各分点作 x 轴的垂线,得到对应于 0,π6 ,π3 ,π2 ,…, 2π 等角的正弦线.相应地,再把 x 轴上从 0 到 2π 这一段分成 12 等份,把角 x 的正弦线向右平 移,使它的起点与 x 轴上的点 x 重合,再把这些正弦线的终点用光滑的曲线连接起来,如图,所 得函数图象是什么图象?
提示:函数 y=sin x,x∈[0,2π ]的图象. 问题 4:由此你能作出 y=sin x,x∈R 的图象吗? 提示:能.因 sin(x+2kπ )=sin x(k∈Z),这样只要将函数 y=sin x,x∈[0,2π ]的图象 向左、向右平行移动(每次平移 2π 个单位长度),可得 y=sin x,x∈R 的图象.
1.正弦曲线 正弦函数的图象叫做正弦曲线.如图:
2.正弦曲线的作法 (1)几何法——借助三角函数线; (2)描点法——五点法.
用“五点法”画正弦曲线在[0,2π ]上的图象时所取的五个关键点为(0,0),???π2 ,1???,(π , 0),???32π ,-1???,(2π ,0).

由于 cos x=sin???x+π2 ???,x∈R.想一想,你能通过 y=sin x,x∈R 的图象变换得到 y=cos x, x∈R 的图象吗?
提示:能.只要把 y=sin x,x∈R 的图象向左平移π2 个单位即可.
1.余弦曲线 余弦函数的图象叫做余弦曲线.如图所示:
2.余弦曲线的画法 (1)要得到 y=cos x 的图象,只需把 y=sin x 的图象向左平移π2 个单位长度便可,这是由 于 cos x=sin(x+π2 ). (2)用“五点法”画出余弦曲线 y=cos x 在[0,2π ]上的图象时所取的五个关键点分别为:
(0,1),???π2 ,0???,(π ,-1),???3π2 ,0???,(2π ,1).
1.正弦曲线、余弦曲线的作法 (1)正弦、余弦函数图象的几何作法. 作图时,函数自变量要用弧度制.这样自变量与函数值均为实数,因此在 x 轴、y 轴上可以 统一单位,作出图象正规、准确,但较繁琐. (2)五点法:在要求不太高的情况下,可用五点法作出,
对 y=sin x 取(0,0)、???π2 ,1???、(π ,0)、???32π ,-1???、(2π ,0); 对 y=cos x 取(0,1)、???π2 ,0???、(π ,-1)、???32π ,0???、(2π ,1).
然后用平滑曲线将它们连接起来,就得到[0,2π ]内的简图. 2.正弦曲线、余弦曲线的对称性 正弦曲线是中心对称图形,其所有的对称中心坐标为(kπ ,0)(k∈Z),正弦曲线也是轴对称 图形,其所有的对称轴方程是 x=kπ +π2 (k∈Z).

余弦曲线是中心对称图形,其所有的对称中心坐标为???kπ +π2 ,0???(k∈Z),余弦曲线也是轴 对称图形,其所有的对称轴方程是 x=kπ (k∈Z).

[例 1] 用“五点法”作出下列函数的简图:

(1)y=-sin x;(2)y=sin???x-π3 ???.

[思路点拨] 取五个关键点利用列表、描点、连线的作法即可画出简图.

[精解详析] (1)列表:

x

0

π 2

π

3π 2



sin x 0 1 0 -1 0

-sin x 0 -1 0

1

0

描点画图,然后由周期性得整个图象,如图所示:

(2)列表:

x x-π3 y=sin???x-π3 ???

π 5π 4π 11π 7π

3

6

3

6

3

0

π 2

π

3π 2



0

1

0

-1

0

描点、连线得 y=sin(x-π3 )在一个周期内的图象,然后由周期性得整个图象,如图所示:

[一点通] 画函数的图象一般先根据函数的解析式判断函数的特点,再采用列表描点的方法 进行画图.根据与其有关的已知曲线的特点列出关键的五个点,再描点连线即可.用“五点法” 作图要注意画出一个周期的图象后,再利用周期性作平移才能得到整个函数图象.

1.作出函数 y=|sin x|的图象. 解:由 y=|sin x|,

得 y=?????s-insixn,x,

2kπ ≤x≤2kπ +π k∈Z , 2kπ +π <x≤2kπ +2π k∈Z

其图象如图所示,

(k∈Z).

2.作出函数 y=sin|x|的图象.

解:y=sin|x|=?????s-insixn,x,

x≥0. x<0,

其图象如图所示,

3.用“五点法”作函数 y=1-cos x(0≤x≤2π )的简图.

解:列表:

x

0

π 2

π

3π 2



cos x 1 0 -1 0

1

1-cos x 0 1

2

1

0

描点并用光滑的曲线连接起来,如图所示:

[例 2] 求方程 sin x=1x在区间[-π ,π ]内的解的个数. [思路点拨] 利用数形结合,画出两个函数 y=sin x 和 y=1x在[-π ,π ] 内的图象,两图 象交点的个数即为方程解的个数. [精解详析] 根据条件只需在同一直角坐标系中画出 y=sin x 与 y =1x在区间[-π ,π ]上的图象.如图,根据图象可知,两个函数图象有 4 个交点,即方程有 4 个实根. [一点通] 本题如果没有范围限制就还需要继续补充图象,由正弦函数图象的无限延续及反 比例函数无限接近于 x 轴与 y 轴的特点可知,方程应有无数个解.不管有没有范围限制,我们在 解决这一类问题时都不可能画出全部图象,而是画出一部分图象,根据图象的趋势判断解的个数.
4.求方程 x2=cos x 的实数解的个数. 解:作函数 y=cos x 与 y=x2 的图象如图所示,由图象可知原方程有 两个实数解. 5.判断方程x4-cos x=0 的根的个数. 解:设 f(x)=x4,g(x)=cos x,在同一直角坐标系中画出 f(x)与 g(x)的图象,如图所示.
由图象可知,f(x)与 g(x)的图象有三个交点, 故方程x4-cos x=0 有三个根.
[例 3] 利用正弦曲线,求满足12<sin x≤ 23的 x 的集合. [思路点拨] 作出正弦函数 y=sin x 在一个周期内的图象,然后借助图象求解. [精解详析] 首先作出 y=sin x 在[0,2π ]上的图象,如图所示,

作直线 y=12,根据特殊角的正弦值,可知该直线与 y=sin x,x∈[0,2π ]的交点横坐标为π6

和5π6

;作直线

y=

3 2 ,该直线与

y=sin

x,x∈[0,2π

]的交点横坐标为π3

和2π3

.观察图象可知,

在[0,2π

]上,当π6 <x≤π3 ,或23π

≤x<56π

1 时,不等式2<sin

x≤

3 2 成立.

1 所以2<sin

x≤

3 2 的解集为

???x???π6

+2kπ

<x≤π3

+2kπ

或23π

+2kπ

≤x<5π6

+2kπ

,k∈Z??
?

.

[一点通] 利用正弦曲线、余弦曲线解三角不等式的一般步骤为:

(1)画出正弦函数 y=sin x 或余弦函数 y=cos x 在[0,2π ]上的图象;

(2)写出适合不等式的在区间[0,2π ]上的解集;

(3)把此解集推广到整个定义域上去.

6.求满足 cos x≤12的 x 集合. 解:作出余弦函数 y=cos x, x∈[0,2π ]的图象,如图. 由图形可以得到,满足条件的 x 的集合为???π3 +2kπ ,5π3 +2kπ ??? Z). 7.求满足 sin???x+π4 ???≤12的 x 的范围. 解:令 z=x+π4 ,sin z≤12,在同一直角坐标系中作出 y=sin z,z∈???-3π2 ,π2 ???与直线 y=12的图象,

(k ∈

如图所示,然后观察图象可知,在???-3π2 ,π2 ???内适合 sin z≤12的 z∈???-7π6 ,π6 ???, 故当 z∈???-7π6 +2kπ ,π6 +2kπ ???,k∈Z, 即-76π +2kπ ≤x+π4 ≤π6 +2kπ ,k∈Z 时, sin???x+π4 ???≤12成立. ∴171π2 +2kπ ≤x≤-1π2+2kπ ,k∈Z. 即满足 sin???x+π4 ???≤12的 x 的范围为 x∈???-171π2 +2kπ ,-π12+2kπ ???,k∈Z.
1.“五点法”作图 (1)“五点法”是画三角函数图象的基本方法,作图的实质是选取函数的一个周期,将其四 等分(即取五个点),分别找到函数图象的最高点、最低点及“平衡点”.这五个点大致确定了函 数图象的位置与形状,因此可以画出函数的简图. (2)由于“五点法”作图时,精确度较差,因此画图之前要做到心中有图,明确正弦曲线的 变化趋势和规律.正弦函数的图象是“波浪状”,在连线时一定要注意这一点,不要画成“折 线”. 2.利用三角函数图象解简单的三角不等式 利用正弦函数的图象解 sin x>a 的方法 (1)作出直线 y=a 和正弦函数 y=sin x 的图象; (2)在一个周期内确定 sin x=a 的 x 值; (3)确定 sin x>a 的解集.

课下能力提升(八) 一、填空题 1.已知 sinx=m-1 且 x∈R,则 m 的取值范围是________. 解析:由 y=sin x,x∈R 的图象知, -1≤sin x≤1, 即-1≤m-1≤1,所以 0≤m≤2. 答案:0≤m≤2 2.函数 y= log12sin x的定义域是________.

解析:由题意可得,???log12sin x≥0, ??sin x>0,

即???sin ??sin

x≤1, x>0,

∴0<sin x≤1,

由正弦函数图象可得{x|2kπ <x<(2k+1)π ,k∈Z}.

答案:{x|2kπ <x<(2k+1)π ,k∈Z}

3.方程 sin x=lg x 的解有________个.

解析:如图所示,y=sin x 与 y=lg x 的图象有 3 个交点,故方程有 3 个解.

答案:3 4.已知 y=cos x(0≤x≤2π )的图象和直线 y=1 围成一个封闭的平面图形,则该图形的面 积为________. 解析:S=2×2π ×12=2π .

答案:2π

5.若 cos

x≥

2 2 ,则

x

的取值范围为________.

解析:当 cos x= 22时,

x=π4 +2kπ 或 x=-π4 +2kπ ,k∈Z. 借助余弦曲线可知,x 的取值范围为

???x???2kπ

-π4

≤x≤2kπ

+π4

,k∈Z??
?

.

答案:???x???2kπ

-π4

≤x≤2kπ

+π4

,k∈Z??
?

二、解答题

6.用五点法在同一坐标系中作出下列函数一个周期上的简图:

(1)y=sin x;

(2)y=2sin x;

(3)y=2sinx2.

解:(1)(2)五点选取列表如下,图象如下图:

x

0

π 2

π

3π 2



y=sin x 0 1 0 -1 0

y=2sin x 0 2 0 -2 0

(3)五点选取列表如下,图象如下图:

x

0 π 2π 3π 4π

x 2

0

π 2

π

3π 2



y=2sinx2

0

2

0 -2 0

7.设 sin θ >cos θ ,θ ∈[0,2π ],借助正弦曲线和余弦曲线求 θ 的取值范围. 解:作出正弦函数 y=sin x 和余弦函数 y=cos x 在一个周期[0,2π ]上的图象如图所示,
由图象可知:满足不等式 sin θ >cos θ 的 θ 的范围是???π4 ,54π ???.

8.函数 f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π ]的图象与直线 y=k 有且仅有两个不同的交点, 求 k 的取值范围.
解:f(x)=sin x+2|sin x|=?????3-sisninx, x,x∈x∈[0,ππ,], 2π ], 如下图,则 k 的取值范围是(1,3).
第 3 课时 正、余弦函数的图象与性质

观察分析正弦函数图象如图.

问题 1:你能说出正弦函数 y=sin x 的定义域、值域、周期性及奇偶性吗? 提示:能.定义域为 R,值域为[-1,1],最小正周期为 2π ,是奇函数. 问题 2:你能写出正弦函数 y=sin x,x∈R 的单调区间吗? 提示:能.在???-π2 +2kπ ,π2 +2kπ ???(k∈Z)上为增函数,在???π2 +2kπ ,3π2 +2kπ ???(k∈Z) 上为减函数.

正、余弦函数的性质

函数名称 图象与性质 性质分类
图象

y=sin x

y=cos x

相同处 不同处

定义域 值域 周期性 奇偶性
单调性
最值

R

R

[-1,1]

[-1,1]

2π 奇函数

2π 偶函数

在???2kπ -π2 ,2kπ +π2 ???(k 在[2kπ -π ,2kπ ](k∈

∈Z)上递增;

Z)上递增;

在???2kπ

+π2

,2kπ

3 +2π

???(k

∈Z)上递减

在[2kπ ,2kπ +π ](k∈ Z)上递减

x=2kπ +π2 (k∈Z)时,ymax= 1;
x=2kπ -π2 (k∈Z)时,ymin=

x=2kπ (k∈Z)时,ymax= 1;x=2kπ +π (k∈Z)
时,ymin=-1

-1

1.正弦函数在???-π2 +2kπ ,π2 +2kπ ???(k∈Z)上都是增函数,其值从-1 增大到 1;在每一 个区间???π2 +2kπ ,32π +2kπ ???(k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小到-1;类似地,余弦函数在 区间[2kπ -π ,2kπ ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1 增大到 1;在每一个区间[2kπ ,2kπ + π ](k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小到-1.
2.正弦函数在区间???0,π2 ???上是增函数,但不能说正弦函数在第一象限内是增函数.例如 x1 =π6 +2π ,x2=π3 ,都是第一象限角,而 sin x1=12,sin x2= 23,从而有 x1>x2,sin x1<sin x2,
这不符合增函数定义.所以正弦函数、余弦函数的单调性,只能针对区间而言,不能针对象限而 言.
3.正、余弦函数都不是单调函数,但是它们有无数个单调区间,利用其单调性,可以比较 同一个单调区间内两个角的同名三角函数值的大小.

[例 1] 求下列函数的单调区间:
(1)y=sin???x-π3 ???; (2)y=cos 2x. [思路点拨] 可依据 y=sin x(x∈R)和 y=cos x(x∈R)的单调区间. [精解详析] (1)令 u=x-π3 ,函数 y=sin u 的递增、递减区间分别为???2kπ -π2 ,2kπ +π2 ??? (k∈Z),???2kπ +π2 ,
2kπ +3π2 ???(k∈Z). ∴y=sin???x-π3 ???的递增、递减区间分别由下面的不等式确定: 2kπ -π2 ≤x-π3 ≤2kπ +π2 ,k∈Z, 2kπ +π2 ≤x-π3 ≤2kπ +32π ,k∈Z, 得 2kπ -π6 ≤x≤2kπ +5π6 ,k∈Z, 2kπ +5π6 ≤x≤2kπ +116π ,k∈Z. ∴函 数 y=sin???x-π3 ??? 的递增区间、递 减区间分别是 ???2kπ -π6 ,2kπ +56π ??? (k∈Z)、 ???2kπ +5π6 ,2kπ +116π ???(k∈Z). (2)函数 y=cos2x 的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定: 2kπ -π ≤2x≤2kπ ,k∈Z,2kπ ≤2x≤2kπ +π ,k∈Z. ∴kπ -π2 ≤x≤kπ ,k∈Z,kπ ≤x≤kπ +π2 ,k∈Z. ∴ 函 数 y = cos2x 的 单 调 递 增 区 间 、 单 调 递 减 区 间 分 别 为 ???kπ -π2 ,kπ ??? (k ∈ Z) 、

???kπ ,kπ +π2 ???(k∈Z). [一点通] 求形如 y=Asin(ω x+φ )(其中 A≠0,ω >0)的函数的单调区间,可以通过解不
等式的方法来解答,列不等式的原则是:①把“ω x+φ ”视为一个“整体”(若 ω <0,可利用三 角函数的诱导公式化 x 系数为正);②根据 A 的符号选取 y=sin x 的单调区间.
1.函数 y=cos???2x-π3 ???的单调递减区间是________. 解析:2kπ ≤2x-π3 ≤2kπ +π ,2kπ +π3 ≤2x≤2kπ +4π3 , kπ +π6 ≤x≤kπ +43π ,k∈Z. 即递减区间是???kπ +π6 ,kπ +2π3 ???(k∈Z). 答案:???kπ +π6 ,kπ +23π ???(k∈Z) 2.求函数 y=2sin???π4 -x???的单调递增区间. 解:y=2sin???π4 -x???=-2sin???x-π4 ???, 令 z=x-π4 ,则 y=-2sin z. ∴要求 y=-2sin z 的单调递增区间,即求 y=sin z 的单调递减区间. 即 2kπ +π2 ≤z≤2kπ +3π2 (k∈Z). ∴2kπ +π2 ≤x-π4 ≤2kπ +32π (k∈Z), 即 2kπ +34π ≤x≤2kπ +74π (k∈Z), ∴函数 y=2sin???π4 -x???的递增区间为 ???2kπ +3π4 ,2kπ +7π4 ???(k∈Z).
[例 2] 比较下列各组三角函数值的大小: (1)sin 250°与 sin 260°; (2)cos158π 与 cos149π ; (3)sin 11°,cos 10°,sin 168°.

[思路点拨] (1)250°和 260°在函数 y=sin x 的单调递减区间[π2 ,3π2 ]内,可比较大小; (2)利用诱导公式将已知角转化为 y=cos x 同一单调区间内,然后比较大小; (3)先转化为同名三角函数再比较大小. [精解详析] (1)∵函数 y=sin x 在???π2 ,32π ???上单调递减,且 90°<250°<260°<270°, ∴sin 250°>sin 260°. (2)cos158π =cos???2π -π8 ???=cosπ8 , cos149π =cos???2π -49π ???=cos4π9 . ∵函数 y=cos x 在[0,π ]上单调递减, 且 0<π8 <49π <π ,∴cosπ8 >cos49π , ∴cos158π >cos149π . (3)sin 168°=sin(180°-12°)=sin 12°, cos 10°=sin(90°-10°)=sin 80°. 又因为 y=sin x 在 x∈[0,π2 ]上是增函数, 所以 sin 11°<sin 12°<sin 80°, 即 sin 11°<sin 168°<cos 10°. [一点通] 比较两个三角函数值的大小,一般应先化为同名三角函数,并运用诱导公式把它 们化为在同一单调区间上的同名三角函数,以便运用函数的单调性进行比较.

3.比较下列各组数的大小.

7

5

(1)sin 2016°和 cos 160°;(2)sin4和 cos3.

解:(1)sin 2 016°=sin(360°×5+216°)=sin 216°=

sin(180°+36°)=-sin 36°.

cos 160°=cos(180°-20°)=-cos 20°=-sin 70°.

∵sin 36°<sin 70°,∴-sin 36°>-sin 70°,

即 sin 2 016°>cos 160°.

(2)cos53=sin???π2 +35???,又π2 <74<π2 +53<32π ,

y=sin x 在???π2 ,32π ???上是减函数,

∴sin74>sin???π2 +53???=cos53,
即 sin74>cos53. 4.若△ABC 是锐角三角形,试比较 sin A 与 cos B 的大小. 解:因为△ABC 是锐角三角形,A+B=π -C,且 0<C<π2 ,所以 A+B>π2 ,所以 0<π2 -B<A<π2 ,
所以 sin???π2 -B???<sin A,即 cos B<sin A. 5.比较 sin???sin3π8 ???和 sin???cos3π8 ???的大小.
解:∵cos38π =sinπ8 ,∴0<cos38π <sin38π <1<π2 .
而 y=sin x 在???0,π2 ???内递增, ∴sin???cos38π ???<sin???sin38π ???.

[例 3] 求下列函数的最大值和最小值,并写出取得最值时的 x 取值集合.

(1)y=

1-12sin x;

(2)y=3+2sin???2x+π3 ???; (3)y=2cos2x+5sin x-4. [思路点拨] 解答本题中的(1)可先根据 sin x 的范围,求出 1-12sin x 的范围.解答本题

中的(2)可由 2x+π3 ∈R,得到 sin???2x+π3 ???的范围.解答本题中的(3)可先减少函数名,即利用 sin2x+cos2x=1 消去 cos2x 便可转化成关于 sin x 的二次函数问题.

[精解详析] (1)∵???1-12sin x≥0, ??-1≤sin x≤1,

∴-1≤sin x≤1.

∴当 sin x=-1 时,ymax= 26, 此时 x 的取值集合为

???x???x=-π2

+2kπ

,k∈Z??
?



当 sin x=1 时,ymin= 22,

此时

x

的取值集合为???x???x=π2

+2kπ

,k∈Z??
?

.

(2)∵-1≤sin???2x+π3 ???≤1,

∴当 sin???2x+π3 ???=1 时,ymax=5,

此时 2x+π3 =π2 +2kπ (k∈Z),即 x=π12+kπ (k∈Z),



x

的取值集合为???x???x=π12+kπ

,k∈Z??
?

.

当 sin???2x+π3 ???=-1 时,ymin=1, 此时 2x+π3 =-π2 +2kπ (k∈Z),即 x=-51π2 +kπ ,



x

的取值集合为???x???x=-51π2

+kπ

,k∈Z??
?

.

(3)y=2cos2x+5sin x-4=-2sin2x+5sin x-2

=-2???sin x-54???2+98.

∵sin x∈[-1,1],∴当 sin x=-1,即 x=-π2 +2kπ (k∈Z)时,y 有最小值-9,

此时

x

的取值集合为???x???x=-π2

+2kπ

,k∈Z??
?





sin

x=1,即

x



π 2

+ 2kπ

(k ∈ Z) 时 , y

有最大值

1,此时

x

的取值集合为

???x???x=π2

+2kπ

,k∈Z??
?

.

[一点通] (1)求有关 y=Asin(ω x+φ )+b,x∈R 的最值或值域这类题目的关键在于充分

利用好正弦函数 y=sin x 的有界性,即|sin x|≤1.

(2)形如 y=psin2x+qsin x+r(p≠0)形式的三角函数最值问题常利用二次函数的思想转化

成在给定区间[m,n]上求二次函数最值的问题,解答时依然采用数形结合的思想加以分析,必要

时要分区间讨论转化成常见的“轴变区间定”或“轴定区间变”问题.

6.函数 y=2cos???x-π3 ??????π6 ≤x≤23π ???的最小值是________. 解析:由π6 ≤x≤23π ,得-π6 ≤x-π3 ≤π3 , 所以 y=2cos(x-π3 )在 x=π3 时有最大值 2, 在 x=2π3 时有最小值 1.
答案:1 7.求函数 y=cos2x-4cos x+5 的值域. 解:y=cos2x-4cos x+5=(cos x-2)2+1. ∵-1≤cos x≤1, ∴当 cos x=-1 时,y 取最大值(-1-2)2+1=10; 当 cos x=1 时,y 取最小值(1-2)2+1=2. ∴函数 y=cos2x-4cos x+5 的值域为[2,10].
8.已知函数 f(x)=2asin???2x-π3 ???+b 的定义域为???0,π2 ???,函数的最大值为 1,最小值为- 5,求 a 和 b 的值.
解:∵0≤x≤π2 ,∴-π3 ≤2x-π3 ≤23π .
∴- 23≤sin???2x-π3 ???≤1.

若 a>0,则???-2a+3ba=+1b,=-5.

?a=12-6 3, 解得?
?b=-23+12 3.

若 a<0,则???2-a+3ba=+-b=5,1.

?a=-12+6 3, 解得?
?b=19-12 3.

?a=12-6 3, 综上知?
?b=-23+12 3

?a=-12+6 3, 或?
?b=19-12 3.

1.正、余弦函数的单调性 (1)求 y=Asin(ω x+φ )的单调区间时,首先把 x 的系数化为正数,再利用整体代换,即把 ω x+φ 代入相应不等式中,求解相应的变量 x 的范围. (2)求复合函数的单调区间时,要先求定义域,同时还要注意内层、外层函数的单调性. 2.正、余弦函数的最值(或值域)问题

求含有正、余弦函数的式子的最值,常见的方法有: (1)可化为 y=Asin(ω x+φ )+B 或 y=Acos(ω x+φ )+B(A≠0)的形式,利用三角函数的性 质求最值; (2)转化成关于某一三角函数的二次函数的形式,即 y=Asin2x+Bsin x+C,或 y=Acos2x+ Bcos x+C,利用配方法求解.
课下能力提升(九)
一、填空题
1.函数 y=sin x,x∈???π6 ,23π ???的值域是________. 解析:∵函数 y=sin x,x∈???π6 ,2π3 ???,在区间???π6 ,π2 ???上单调递增,在???π2 ,23π ???上单调递
减, ∴ymax=sinπ2 =1,ymin=sinπ6 =12.
∴该函数的值域为???12,1???. 答案:???12,1??? 2.函数 y=cos x 在区间[-π ,a]上为增函数,则 a 的取值范围是________. 解析:y=cosx 在[-π ,0]上为增函数,在[0,π ]上为减函数,所以 a∈(-π ,0].
答案:(-π ,0] 3.将 cos 150°,sin 470°,cos 760°按从小到大的顺序排列为______________________. 解析:cos 150°<0,sin 470°=sin 110°=cos 20°>0, cos 760°=cos 40°>0,且 cos 20°>cos 40°, 故 cos 150°<cos 760°<sin 470°. 答案:cos 150°<cos 760°<sin 470°
4.若 f(x)=2sin ω x(0<ω <1)在区间???0,π3 ???上的最大值是 2,则 ω =________.

解析:由题意知 0≤x≤π3 时,0≤ω π ≤ω3π <π3 ,f(x)max=2sinω3π = 2,sinω3π = 22,

ωπ 3

=π4

,ω

=34.

答案:34

5.若函数

f(x)=sin

x+φ 3



∈[0,2π

])是偶函数,则

φ

=________.

解析:∵f(x)为偶函数,

∴φ3 =kπ +π2 (k∈Z),

∴φ =3kπ +32π (k∈Z).

又∵φ ∈[0,2π ], ∴φ =3π2 .

答案:3π2

二、解答题

6.求函数 y=sin???-2x+π4 ???的单调区间.

解:y=sin???-2x+π4 ???=-sin(2x-π4 ).

因为 2x-π4 是关于 x 的增函数,所以只需要考虑 y=-sin???2x-π4 ???关于 2x-π4 的单调性即
可.

当 2kπ -π2 ≤2x-π4 ≤2kπ +π2 (k∈Z)时,

y=sin(2x-π4 )为增函数,y=sin???-2x+π4 ???为减函数, 解得 kπ -π8 ≤x≤kπ +3π8 (k∈Z),

即函数 y=sin???-2x+π4 ???的单调减区间为 ???kπ -π8 ,kπ +3π8 ???(k∈Z); 同理,令 2kπ +π2 ≤2x-π4 ≤2kπ +32π (k∈Z),

求得函数 y=sin(-2x+π4 )的单调增区间为 ???kπ +38π ,kπ +78π ???(k∈Z). 7.求下列函数的值域: (1)y=2sin???2x+π3 ??????-π6 ≤x≤π6 ???; (2)y=6-sin x-cos2x.

解:(1)∵-π6 ≤x≤π6 ,

∴0≤2x+π3 ≤23π ,

∴0≤sin???2x+π3 ???≤1,∴y∈[0,2].

即函数 y=2sin???2x+π3 ??????-π6 ≤π <π6 ???的值域为[0,2]. (2)y=6-sin x-cos2x=sin2x-sin x+5 =???sin x-12???2+149 ∵-1≤sin x≤1, ∴y∈???149,7???. 即函数 y=6-sin x-cos2x 的值域为???149,7???.

8.已知 ω 是正数,函数 f(x)=2sin ω x 在区间???-π3 ,π4 ???上是增函数,求 ω 的取值范围.

解:由 2kπ -π2 ≤ω x≤2kπ +π2 (k∈Z)得

-2πω +2ωkπ ≤x≤2πω +2kωπ (k∈Z).

∴f(x)的单调递增区间是???-2πω

+2kπ ω

,2πω

+2kπ ω

???(k∈Z).

据题意:???-π3 ,π4 ???? ???-2πω +2kωπ ,2πω +2kωπ ???(k∈Z).

??-2πω ≤-π3 ,

??? 从而有

π 2ω

≥π4



ω >0,

故 ω 的取值范围是???0,32???.

解得 0<ω ≤32.

第 4 课时 正切函数的图象和性质

单位圆中的正切线如图所示.
问题 1:由三角函数的定义知 tan α =yx,此时 x≠0.试想 y=tan α 中,α 有什么限制? 提示:α ≠π2 +kπ ,k∈Z. 问题 2:如图甲,当 α 在???0,π2 ???上增大时,正切线 AT 如何变化?正切值又如何变化? 提示:正切线 AT 向 Oy 轴的正向逐步延伸,正切值增大且无限增大. 问题 3:如图乙,当 α 在???-π2 ,0???上增大时,又该如何? 提示:正切线 AT 向 Oy 轴的正向逐步缩小,正切值增大. 问题 4:正切函数 y=tan x 在???-π2 ,π2 ???)单调性如何? 提示:递增.

函数 y=tan x 的性质与图象 图象

y=tan x

定义域 值域 周期
奇偶性
单调性

???x???x∈R且x≠kπ

+π2

,k∈Z??
?

R

π 奇函数

在开区间???-π2 +kπ ,π2 +kπ ???k∈Z 上都是增
函数

1.正切函数 y=tan x 的定义域是{x|x∈R且x≠kπ +

π 2

,k∈Z}

,这与正弦、余弦函数不同.

2.正切函数 y=tan x 的最小正周期是 π ,这与正弦函数、余弦函数不同. 3.正切函数无单调减区间,在每一个单调区间内都是递增的,并且每个单调区间均为开区 间,不能写成闭区间.

[例 1] 观察正切函数图象,写出下列不等式的解集: (1)tan x>0;(2)|tan x|≤1.
[思路点拨] 画出正切函数在???-π2 ,π2 ???内的图象,结合图象求解集.

[精解详析] (1)设 y=tan x,则它在???-π2 ,π2 ???内的图象如图所示:
由图可知满足不等式 tan x>0 的解集为 {x|kπ <x<kπ +π2 ,k∈Z}. (2)设 y=|tan x|,则它在???-π2 ,π2 ???内的图象如图所示:

由图可知满足不等式|tan x|≤1 的解集为

???x???kπ

-π4

≤x≤kπ

+π4

,k∈Z??
?

.

[一点通] (1)正切函数的图象是由被互相平行的直线 x=π2 +kπ (k∈Z)所隔开的无数多支

曲线组成的,这些直线叫作正切曲线各支的渐近线.

(2)正切函数的图象向上、向下无限延伸,但永远不与 x=π2 +kπ (k∈Z)相交,与 x 轴交于

点(kπ ,0)(k∈Z).

1.函数 y=sin x 与 y=tan x 的图象在区间[0,2π ]上的交点个数是________. 解析:作出 y=sin x 与 y=tan x 的图象知有 1 个交点. 答案:1 2.观察正切曲线,满足条件|tan x|> 3的 x 的取值范围是________. 解析:画出函数 y=|tan x|的图象可知π3 +kπ <x<π2 +kπ 或-π2 +kπ <x<-π3 +kπ ,k∈ Z. 答案:???-π2 +kπ ,-π3 +kπ ???∪???π3 +kπ ,π2 +kπ ???(k∈Z)

[例 2] 求函数 y=tan???3x-π3 ???的定义域、值域,并指出它的单调区间.

[思路点拨] 利用换元法,把 3x-π3 看做一个整体来求其单调区间.

[精解详析] 令 3x-π3 ≠kπ +π2 (k∈Z), 得 x≠kπ3 +51π8 (k∈Z),

∴函数的定义域为

???x|x∈R,且x≠k3π

+51π8

,k∈Z??,值域为
?

R.

令 kπ -π2 <3x-π3 <kπ +π2 (k∈Z),

得kπ3 -1π8<x<k3π +51π8 (k∈Z).

∴函数的单调递增区间为???kπ3 -π18,k3π +51π8 ???(k∈Z).

[一点通] 正切函数在每一个单调区间内都是增函数,不存在减区间.因此在求单调区间时,

若 ω <0,应先由诱导公式把 x 的系数化成正值,再用换元法整体代换,最后求出 x 的范围即可.

3.函数 y=1+t1an x的定义域是________. 解析:要使函数 y=1+t1an x有意义,则

???x≠π2 +kπ ,k∈Z, ??tan x≠-1,

即 x≠π2 +kπ ,且 x≠-π4 +kπ ,k∈Z.

答案:???x???x≠π2

+kπ

,且x≠-π4

+kπ

,k∈Z??
?

4.y=tan

x 2满足下列哪些条件________(填序号).

①在???0,π2 ???上单调递增;
②为奇函数;

③以 π 为最小正周期;

④定义域为???x|x≠π4

+k2π

,k∈Z??.
?

解析:令 x∈???0,π2 ???,则x2∈???0,π4 ???,

所以 y=tan x2在???0,π2 ???上单调递增正确;

tan???-x2???=-tan x2,故 y=tan x2为奇函数;

T=π ω

=2π

,所以③不正确;

由x2≠π2 +kπ ,k∈Z 得,x≠π +2kπ ,k∈Z,所以④不正确.

答案:①②

5.求函数 y=tan???π6 -4x???的单调减区间.

解:∵y=tan???π6 -4x???=-tan???x4-π6 ???,

∴只需求函数 y=tan???x4-π6 ???的单调增区间,即为原函数的单调减区间.

令 μ =x4-π6 ,则 μ ∈???-π2 +kπ ,π2 +kπ ???k∈Z,

即-π2 +kπ <μ <π2 +kπ (k∈Z).

∴-π2 +kπ <x4-π6 <π2 +kπ (k∈Z).

解得 4kπ -43π <x<4kπ +83π (k∈Z).

∴函数 y=tan???π6 -4x???的单调减区间为

???4kπ -4π3 ,4kπ +8π3 ???(k∈Z).

[例 3] 利用正切函数的单调性比较下列两个函数值的大小:
(1)tan???-6π5 ???与 tan???-137π ???;
(2)tan(-1 280°)与 tan1 680°. [思路点拨] 利用诱导公式将角转化到同一单调区间内,再借助正切函数的单调性求解.
[精解详析] (1)∵tan???-6π5 ???=tan???-π -π5 ???

=tan???-π5 ???, tan???-137π ???=tan???-2π +π7 ???=tanπ7 , 又函数 y=tan x 在???-π2 ,π2 ???上是增函数,
而-π2 <-π5 <π7 <π2 .
∴tan???-π5 ???<tanπ7 ,即 tan???-6π5 ???<tan???-137π ???.
(2)∵tan(-1 280°)=tan(-4×360°+160°) =tan(180°-20°)=tan(-20°), tan 1 680°=tan(4×360°+240°) =tan(180°+60°)=tan 60°,
而函数 y=tan x 在???-π2 ,π2 ???上是增函数,
∴tan(-20°)<tan 60°, 即 tan(-1 280°)<tan 1 680°. [一点通] 运用正切函数的单调性比较大小的一般步骤为: (1)利用诱导公式将角化到同一单调区间上; (2)运用单调性得到大小关系.
6.记 a=tan 1,b=tan 2,c=tan 3,则 a,b,c 三数的大小关系是________. 解析:∵tan 3=tan(3-π ),tan 2=tan(2-π ), 又∵-π2 <2-π <3-π <0<1<π2 , 且 y=tan x 在(-π2 ,π2 )上是单调递增的, ∴tan(2-π )<tan(3-π )<tan 1. ∴tan 2<tan 3<tan 1. 答案:a>c>b 7.比较 tan???-134π ???与 tan???-125π ???的大小. 解:∵tan???-134π ???=-tan134π =-tan???3π +π4 ??? =-tanπ4 .

tan???-125π ???=-tan???125π ???=-tan???2π +2π5 ???=-tan25π . 又函数 y=tan x 在( -π2 ,π2 )上是增函数,
且-π2 <π4 <2π5 <π2 ,∴tanπ4 <tan25π .
∴-tanπ4 >-tan25π ,即 tan???-134π ???>tan???-125π ???.
1.正切函数图象的性质
函数 y=tan x,x∈???-π2 ,π2 ???的图象过???-π4 ,-1???,???π4 ,1???,(0,0)三点,以直线 x=±π2
为渐近线,根据这三点两线就可以大体勾画出正切函数图象的草图. 2.正切函数的单调区间的求法
正切函数 y=tan x 在整个定义域上不具有单调性,但在每一个区间???-π2 +kπ ,π2 +kπ ???(k ∈Z)上具有单调性,是增函数.在求函数 y=tan(ω x+φ )(ω ≠0)的单调区间时,首先保证 ω >0,
否则就先利用诱导公式化为正的,再利用整体换元的方法求出单调区间.
课下能力提升(十)
一、填空题 1.下列正确命题的序号为________. ①y=tan x 为增函数; ②y=tan(ω x+φ )(ω >0)的最小正周期为2ωπ ; ③在 x∈[-π ,π ]上 y=tan x 是奇函数;
④在???-π4 ,π4 ???上 y=tan x 的最大值是 1,最小值为-1. 解析:函数 y=tan x 在定义域内不具有单调性,故①错误;函数 y=tan(ω x+φ ) (ω >0)

的最小正周期为πω ,故②错误;当 x=-π2 ,π2 时,y=tan x 无意义,故③错误;由正切函数的 图象可知④正确.
答案:④
2.函数 f(x)=tan ω x(ω >0)的图象相邻的两支截直线 y=π4 所得线段长为π4 ,则 f???π4 ???的
值是________. 解析:T=π4 ,∴ωπ =π4 ,∴ω =4, ∴f(x)=tan4x,
∴f???π4 ???=0.
答案:0
3.a,b 是不等于 1 的正数,θ ∈???π ,3π2 ???,若 atan θ >btan θ >1,则下列不等式成立的是
________.(填序号) ①a>b>1;②a<b<1;③b<a<1;④b>a>1.
解析:∵θ ∈???π ,32π ???,∴tan θ >0. 又 btan θ >b0, ∴b>1,又 atan θ >btan θ , ∴a>b,∴a>b>1.
答案:①
4.在区间???-3π2 ,32π ???范围内,函数 y=tan x 与函数 y= sin x 的图象交点的个数为________个. 解析:在同一坐标系中,首先作出 y=sin x 与 y=tan x 在 ???-π2 ,π2 ???内的图象,须明确 x∈???0,π2 ???时,有 sin x<x<tan x(利用单位圆中的正弦线,正切线就可证明),然后利用对称性作 出 x∈???-3π2 ,32π ???的两函数的图象如图,由图象可知它们有三个
交点. 答案:3
5.已知函数 y=tan ω x 在???-π2 ,π2 ???内是减函数,则 ω 的范围是________.

解析:若 ω 使函数在(-π2 ,π2 )上递减,则 ω 必小于 0,且???-π2 ,π2 ???? ???2πω ,-2πω ???,
故-1≤ω <0. 答案:[-1,0) 二、解答题 6.求下列函数的单调区间:
(1)y=tan???x-π4 ???; (2)y=13tan 2x+1. 解:(1)由-π2 +kπ <x-π4 <π2 +kπ (k∈Z), 解得-π4 +kπ <x<34π +kπ (k∈Z), ∴函数 y=tan???x-π4 ???的单调增区间是 ???-π4 +kπ ,34π +kπ ???(k∈Z). (2)令-π2 +kπ <2x<π2 +kπ (k∈Z), ∴-π4 +k2π <x<π4 +kπ2 (k∈Z), ∴函数 y=13tan 2x+1 的单调增区间是 ???-π4 +kπ2 ,π4 +kπ2 ???(k∈Z).
7.当 x∈???π6 ,π3 ???时,若使 a-2tan???2x-π3 ???的值总大于零,求 a 的取值范围. 解:∵x∈???π6 ,π3 ???,∴0≤2x-π3 ≤π3 . 又∵y=tan x 在???0,π3 ???内单调递增, ∴0≤tan(2x-π3 )≤ 3, ∴0≤2tan(2x-π3 )≤2 3. 由题意知 a-2tan(2x-π3 )>0 恒成立,

即 a>2tan(2x-π3 ),x∈???π6 ,π3 ???恒成立. ∴a>2 3.∴实数 a 的取值范围是(2 3,+∞) 8.已知 f(x)=x2+2x·tan θ -1,x∈[-1, 3],其中 θ ∈???-π2 ,π2 ???.求 θ 的取值范 围,使 y=f(x)在区间[-1, 3]上是单调函数. 解:函数 f(x)=(x+tan θ )2-1-tan2θ 的图象的对称轴为直线 x=-tan θ . ∵y=f(x)在[-1, 3]上是单调函数,
∴-tan θ ≤-1 或-tan θ ≥ 3, 即 tan θ ≥1 或 tan θ ≤- 3.
因此,θ 角的取值范围是???-π2 ,-π3 ???∪???π4 ,π2 ???. 第 5 课时 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象
在同一坐标系中画出 y=sin x,y=sin???x+π3 ???,y=sin???x-π3 ???的图象,如图所示,观察这
三个图象之间有什么关系?
提示:y=sin???x+π3 ???与 y=sin???x-π3 ???的图象可以看作是由 y=sin x 的图象分别向左、向
右移动π3 个单位长度所得到的图象. 函数 y=sin(x+φ )的图象可以看作是将函数 y=sin x 的图象上所有的点向左(当 φ >0)或

向右(φ <0)平移|φ |个单位长度而得到的. 在同一坐标系中作出函数 y=sin x,y=2sin x,y=12sin x 的图象,如图所示.观察这三
个图象之间有什么关系?
提示:y=2sin x 与 y=12sin x 的图象可以分别看作是由 y=sin x 的图象的纵坐标变为原来 的 2 倍、纵坐标变为原来的12所得到的.
函数 y=Asin x(A>0 且 A≠1)的图象,可以看作是将函数 y=sin x 的图象上所有点的纵坐标 变为原来的 A 倍(横坐标不变)而得到的.
在同一坐标中作出函数 y=sin x,y=sin 2x,y=sin12x 的图象,如图所示.观察这三个图 象之间有什么关系?
提示:y=sin 2x 与 y=sin12x 的图象可以分别看作是由 y=sin x 的图象的横坐标变为原来 1 的2倍和 2 倍所得到的.
1.函数 y=sin ω x(ω >0 且 ω ≠1)的图象,可以看作是将函数 y=sin x 的图象上所有点的 横坐标变为原来的ω1 倍(纵坐标不变)而得到的.
2.函数 y=sin(ω x+φ )(ω >0,φ ≠0)的图象,可以看作是将函数 y=sin ω x 的图象上所

有的点向左(当 φ >0 时)或向右(φ <0 时)平移???ωφ ???个单位长度而得到的.
A,ω ,φ 对函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)图象的影响,可归纳如下: (1)对于函数 y=sin x 与 y=sin(x+φ )之间的图象变换称为相位变换,它实质上是一种左 右平移变换,此时相位由 x 变成 x+φ ,初相由 0 变成 φ ,不改变函数的周期及振幅. (2)对于函数 y=sin(x+φ )与 y=sin(ω x+φ )之间的图象变换称为周期变换,它实质上是 横向的伸缩,此时,y=sin(ω x+φ )的周期为 T=2ωπ ,其振幅不变. (3)对于函数 y=sin(ω x+φ )与 y=Asin(ω x+φ )之间的图象变换称为振幅变换,它实质 上是纵向的伸缩,只改变振幅,不改变周期及相位.

[例 1] 已知一个振动量可以用函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,0<ω <π )来表示,且其离开平

衡位置的最大距离为 2,一个振动周期为 π ,且初相为π6 .

(1)写出这个振动量的函数表达式;

(2)画出这个振动量函数一个周期内的简图.

[思路点拨] (1)根据 A、ω 、φ 表示的意义和周期的定义来求函数表达式;(2)用五点法作

函数简图.

[精解详析] (1)根据条件可知,A=2,T=2ωπ =π ,

所以 ω =2.又初相为 φ =π6 ,所以 y=2sin???2x+π6 ???.

(2)列表作图.

x

-π12

π 6

5π 12

2π 3

11π 12

2x+π6

0

π 2

π

3π 2



2sin???2x+π6 ???

0

2

0 -2

0

[一点通] 求解本题,关键是理解振动量的含义,根据含义求出相应的待定字母,得到函数 解析式.要画函数的简图通常采用五点法作图,这就需要先列表,列表时五点的选择一般要考虑 函数与坐标轴的交点及最大值点与最小值点,即 ω x+φ 分别取 0,π2 ,π ,32π ,2π 对应的点.

1.函数 y= 2sin???2x-π4 ???的振幅是________,周期是________,初相是________. 解析:振幅为 2,周期为 T=22π =π ,初相为-π4 .

答案: 2 π -π4

2.已知简谐运动 f(x)=2sin???π3 x+φ ??????|φ |<π2 ???的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小 正周期 T=________________________________________________________________________,
初相 φ =________. 解析:T=2ππ =6.∵图象经过点(0,1),
3

∴1=2sin φ ,即 sin φ =12,又∵|φ |<π2 ,∴φ =π6 .

答案:6

π 6

[例 2] 说明 y=-2sin???2x-π6 ???+1 的图象是由 y=sin x 的图象怎样变换而来的.
[思路点拨] 可以先伸缩后平移,应右移1π2个单位;也可先平移后伸缩,平移π6 个单位.振 幅变换不分先后.
[精解详析] 法一:(先平移后伸缩) y=sin x

各点―且的―关―纵于―坐―x轴―标―作变―对为――称原―变来―换的→2倍y=-2sin x

向右平移 ? 个单位
????6 ???

y=-2sin???x-π6

???

各点的横坐标变为原来的1
???纵?坐标?不变??2??

y=-2sin???2x-π6

???

向上平移 1 个单位长度,y=-2sin???2x-π6 ???+1.
法二:(先伸缩再平移) y=sin x

各点―且的―关―纵于―坐―x轴―标―作变―对为――称原―变来―换的→2倍y=-2sin x

各点的横坐标变为原来的1
???纵?坐标?不变??2?? y=-2sin 2x

向右平移 ? 个单位长度
????12 ????

y=-2sin???2x-π6

???

向上平移 1 个单位长度,y=-2sin???2x-π6 ???+1.
[一点通] 图象变换一般有平移变换、伸缩变换、对称变换,相位变换属于平移变换,振幅 变换与周期变换都是伸缩变换.由 y=sin x 的图象通过变换得 y=Asin(ω x+φ )的图象,其变 化途径有两条:一是先平移后伸缩,二是先伸缩后平移.两种途径的变换顺序不同,其中变换的

量也有所不同:①是先平移后伸缩,平移|φ

|个单位.②是先伸缩再平移,平移|φ ω

|个单位.这

是易出错的地方,应特别注意.

3.将函数 y=sin x 的图象上所有点向右平移1π0个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到 原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是________________.
向右平移 ? 个单位长度
解析:由题意知 y=sin x ????10 ???? y= sin???x-π10???横坐――标―纵伸―坐―长―标到―不原―变―来―的→2倍y=sin???12x-1π0???. 答案:y=sin???12x-1π0??? 4.为了得到函数 y=2sin???x3+π6 ???,x∈R 的图象,只需把函数 y=2sin x,x∈R 的图象上所
有的点向________平移________个单位长度,再把所得各点的横坐标变为原来的________(纵坐 标不变).

解析:先将 y=2sin x,x∈R 的图象向左平移π6 个单位长度,得到函数 y=2sin???x+π6 ???,x ∈R 的图象,再把所得图象上各点的横坐标变为原来的 3 倍(纵坐标不变)得到函数 y= 2sin???x3+π6 ???,x∈R 的图象.

答案:左

π 6

3倍

5.为得到函数 y=cos???x-π3 ???的图象,可以将函数 y=sin x 的图象向________平移________
个单位长度.

解析:y=sin x=cos???π2 -x???=cos???x-π2 ???,

y=cos???x-π3 ???=cos???x-π2 +π6 ???.

所以,函数 y=cos???x-π3 ???的图象可以将函数 y=sin x 的图象向左平移π6 个单位长度得到.

答案:左

π 6

[例 3] 如图所示的是函数 y=Asin(ω x+φ )的图象,确定其一个



数解析式.

[思路点拨] (1)由最高或最低点求 A.

(2)先求周期再确定 ω .

(3)代入特殊点求 φ .

[精解详析] 法一:由图象知振幅 A=3,

又 T=5π6 -???-π6 ???=π ,∴ω =2Tπ =2.

又图象过点???-π6 ,0???,令-π6 ·2+φ =0,得 φ =π3 ,

∴y=3sin???2x+π3 ???.

法二:由图象知 A=3,且图象过点???π3 ,0???和???56π ,0???,

??π3 ·ω +φ =π

根据五点作图法原理,有

?5π ?? 6

·ω

+φ

=2π

.

解得 ω =2,φ =π3 ,∴y=3sin???2x+π3 ???.

法三:∵T=π ,A???-π6 ,0???,

∴图象由 y=3sin2x 向左平移π6 个单位长度得到.

∴y=3sin2???x+π6 ???,即 y=3sin???2x+π3 ???. [一点通] (1)利用代点法求参数 A、ω 、φ 时,须分清代入的点是相应“五点法”作图中
的第几个点: “第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ω x+φ =0;“第二点”(即图象曲线的“峰点”)

为 ω x+φ =π2 ;“第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为 ω x+φ =π ;“第四点”(即图象

曲线的“谷点”)为

ω

x+φ

3 =2π

;“第五点”为

ω

x+φ

=2π

.

(2)运用逆向思维的方法,先确定函数的基本函数式 y=Asinω x,根据图象平移规律也可以 确定相关的参数.

6.若函数 y=sin(ω x+φ )(ω >0)的部分图象如图,则 ω =________.

解析:T2=x0+π4

-x0=π4

,所以

T=π2

,所以2π ω

=π2

,所以

ω

=4.

答案:4

7.函数 f(x)=Asin(ω x+φ )???A>0,ω >0,|φ |<π2 ???的一段图象如图所示,则 f(x)的解
析式是________________________________________________________________________.

解析:由图象可知 A=3,T=43???4π -π4 ???=5π , ∴ω =2πT =52ππ =25. 此时 f(x)=3sin???25x+φ ???.

由于图象过点???π4 ,0???,得 sin???π10+φ ???=0,

∴π10+φ =kπ ,k∈Z,φ =kπ -π10,k∈Z.

∵|φ |<π2 ,∴φ =-1π0.

∴f(x)=3sin???25x-1π0???. 答案:f(x)=3sin???25x-1π0??? 8.如图所示,的是函数 f(x)=Asin(ω x+φ )+k(A>0,ω >0)的图象的一部分,求 f(x)的
表达式.

解:由图象可知函数的最大值为 4,最小值为 0,

所以 A=4-2 0=2,k=4+2 0=2.

又T2=2-(-2)=4,所以

T=8=2π ω

,则

ω

=π4

.

由图象可得点(-2,4)是第二个关键点,

则由π4 ×(-2)+φ =π2 ,可得 φ =π .

综上所述,函数的解析式为 f(x)=2sin???π4 x+π ???+2.

1.图象变换中,还常用以下三种变换 (1)y=-sin x 的图象可由 y=sin x 的图象沿 x 轴翻折 180°而得到. (2)y=|sin x|的图象可由 y=sin x 的图象得到.其变化过程为在 x 轴上方的部分不变,在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折 180°而得到. (3)y=sin|x|的图象可把 y=sin x 的图象在 y 轴右边的图象不变,y 轴左边的图象与 y 轴右 侧的图象关于 y 轴对称. 2.由图象求函数解析式 若已知函数的图象求它对应的解析式,一般是仔细观察图象,从它已表达出的特征,如一个

或半个周期,最高点与最低点,与 x 轴或 y 轴的交点或其他特殊点等来求. 如果所求函数解析式为 y=Asin(ω x+φ ),此时最大值与最小值互为相反数.A 由图象的最
高点或最低点确定,ω 由周期 T 确定,T 由相邻的两个最高点或最低点,与 x 轴或 y 轴的交点或 其他特殊点等确定,φ 由已知点的坐标确定,常用五点中的一个.
如果函数的最大值与最小值不互为相反数,说明解析式为 y=Asin(ω x+φ )+k(A>0)的形 式.设最大值为 m,最小值为 n,则 A+k=m,-A+k=n,从而 A=m-2 n,k=m+2 n.

课下能力提升(十一)

一、填空题

1.电流 I(单位:A)随时间 t(单位:s)变化的函数关系是 I=50sin???100π t+π3 ???,t∈[0,

+∞),则电流 I 变化的周期是________,频率是________,振幅是________,初相是________.

答案:510

50

50

π 3

2.函数 y=sin x 的图象上所有点的纵坐标不变,将横坐标缩短为原来的12倍,然后将图象

沿 y 轴向上平移 2 个单位长度,再沿 x 轴向右平移π6 个单位长度,得到的函数图象所对应的函数

解析式是________________.

解 析 : 由 题 意 知 , y = sin

横坐标缩短为原来的1
x ???纵坐?标不?变?2?? y = sin

2x 2 ―向个―上单――平位―移长→度 y = sin

2x +

向右平移? 个单位长度
2 ????6 ????

y=sin???2???x-π6 ??????+2=sin???2x-π3 ???+2. 答案:y=sin???2x-π3 ???+2 3.设函数 f(x)=cosω x(ω >0),将 y=f(x)的图象向右平移π3 个单位长度后,所得的图象

与原图象重合,则 ω 的最小值是________.

解析:由已知得,cos???ω ???x-π3 ??????=cos ω x, 所以 cos???ω x-ω3π ???=cos ω x, 则 ω x-ω3 π =ω x+2kπ ,k∈Z, ∴ω =-6k,又 ω >0,∴ω 的最小值是 6.
答案:6
4.已知函数 y=sin(ω x+φ )???ω >0,0<φ ≤π2 ???的部分图象如图所示,则点(ω ,φ )的坐
标是________.

解析:由图象可得周期 T=2???78π -3π8 ???=π =2ωπ ,

即得 ω =2,将点???38π ,0???代入 y=sin(2x+φ ) 得 sin???3π4 +φ ???=0,

令3π4 +φ =π ,得 φ =π4 ,∴(ω ,φ )的坐标为???2,π4 ???.

答案:???2,π4 ???

5.把函数 y=f(x)的图象上各点向右平移π6 个单位,再把横坐标变为原来的 2 倍,再把纵坐

2 标变为原来的3倍,所得图象的解析式是

y=2sin???12x+π3

???,则

f(x)的解析式为________.

解析:y=2sin???12x+π3

???

纵坐标变为原来的 3 倍
??????2 ??

y=3sin???12x+π3

???

横坐标变为原来的1 倍
??????2 ??

y=3sin???x+π3

???

向左平移? 个单位
????6 ???

y=3sin???x+π6 +π3 ???=3sin???x+π2 ???=3cos x. ∴f(x)=3cos x.

答案:f(x)=3cos x

二、解答题

6.已知函数 y=3sin???12x-π4 ???.
(1)用“五点法”画函数的图象;

(2)说出此图象是由 y=sin x 的图象经过怎样的变换得到的?

(3)求此函数的周期、振幅、初相;

(4)求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间.

解:(1)列表:

12x-π4

0

π 2

π

3π 2



x

π 3π 5π 7π 9π

2

2

2

2

2

y

0

3

0 -3 0

描点连线;将所得五点用光滑的曲线连接起来,得到所求函数一个周期内的图象,如图所示,

再将这部分图象左右平移 4kπ (k∈Z)个单位长度, 得函数 y=3sin???12x-π4 ???的图象. (2)法一:①把 y=sin x 图象上所有的点向右平移π4 个单位长度,得到 y=sin???x-π4 ???的图 象; ②把 y=sin???x-π4 ???图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),得到 y= sin???12x-π4 ???的图象; ③将 y=sin???12x-π4 ???图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍(横坐标不变),就得到 y= 3sin???12x-π4 ???的图象. 法二:①把 y=sin x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),得到 y=sin 12x 的图象;

②把

y = sin

1 2

x























π 2

个单位长度,得到

y = sin

1 2

???x-π2

???



sin???12x-π4 ???的图象;

③将 y=sin???12x-π4 ???的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍(横坐标不变),就得到 y=

3sin???12x-π4 ???的图象.

(3)周期

T=2π ω

=21π

=4π

,振幅

A=3,初相是-π4

.

2

(4)令12x-π4 =π2 +kπ ,k∈Z,解得 x=32π +2kπ ,k∈Z,

即函数的对称轴是直线 x=32π +2kπ ,k∈Z.

令12x-π4 =kπ ,k∈Z,解得 x=2kπ +π2 ,k∈Z,

即函数的对称中心为???π2 +2kπ ,0???,k∈Z. 令-π2 +2kπ ≤12x-π4 ≤π2 +2kπ ,k∈Z.

解得-π2 +4kπ ≤x≤32π +4kπ ,k∈Z,

即函数的单调递增区间为???-π2 +4kπ ,3π2 +4kπ ???,k∈Z.

7.已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )???A>0,ω >0,|φ |<π2 ???的部分
如图所示. (1)求函数 f(x)的解析式;

图象

(2)令 g(x)=f???x+76π ???,试判断函数 g(x)的奇偶性,并说明理由. 解:(1)由图象知 A=2.

f(x)的最小正周期 T=4×???51π2 -π6 ???=π ,故 ω =2Tπ =2.

将点(π6 ,2)代入 f(x)的解析式得 sin???π3 +φ ???=1,

又|φ |<π2 ,所以 φ =π6 .

故函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin???2x+π6 ???. (2)g(x)=f???x+76π ???=2sin???2???x+76π ???+π6 ??? =2sin???2x+5π2 ???=2cos2x, 因为 g(x)的定义域为 R,且 g(-x)=g(x), 故 g(x)为偶函数.

8.已知函数 f(x)=sin(ω x+φ )(ω >0,0≤φ ≤π )是 R 上的偶函数,其图象关于点 M???3π4 ,0???

对称,且在区间???0,π2 ???上是单调函数,求 φ 和 ω 的值. 解:∵f(x)在 R 上是偶函数, ∴当 x=0 时,f(x)取得最大值或最小值,

即 sin φ =±1,得 φ =kπ +π2 ,k∈Z,

又 0≤φ ≤π ,∴φ =π2 .

由图象关于 M???34π ,0???对称可知,sin???34π ω +π2 ???=0, ∴3π4 ω +π2 =kπ ,k∈Z,解得 ω =43k-23,k∈Z.

又 f(x)在???0,π2 ???上是单调函数,

所以

T≥π

,即2π ω

≥π

,∴ω

≤2,又

ω

>0,

∴当

k=1

时,ω

2 =3,当

k=2

时,ω

=2.

第 6 课时 三角函数的应用

[例 1] 已知电流 I=Asin(ω t+φ )(A>0,ω >0,|φ |<π2 )在一个周期内的图象如图.

(1)根据图中数据求 I=Asin(ω t+φ )的解析式;

(2)如果 t 在任意一段1150秒的时间内,电流 I=Asin(ω t+φ )都能取得最大值和最小值,那

么 ω 的最小正整数值是多少?

[思路点拨] 可先由图象确定电流 I 的解析式,再由函数的性质确定 ω 的值.

[精解详析] (1)由图知,A=300.

T2=1180-???-9100???=1150,

∴T=715.∴ω =2πT =150π .

I=300sin(150π t+φ ).由???-9100,0???为第一个关键点,

∴150π ·???-9100???+φ =0.∴φ =π6 .

∴所求解析式为 I=300sin???150π t+π6 ???,t∈[0,+∞).

(2)由题意

T≤1150,即2ωπ

1 ≤150.

∴ω ≥300π ≈942.

∴所求 ω 的最小正整数值是 943.

[一点通] 三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、电流随时间变化规律等问题

中,此类问题中弄清振幅、频率、周期、初相的定义和表示方法是关键.

1.电流 I 随时间 t 变化的关系式是 I=Asin ω t,t∈[0,+∞),若 ω =10π rad/s,A= 5,则电流 I 变化的周期是________,当 t=610 s 时,电流 I=________.
解析:由已知得 I=5sin 10π t.∴T=120ππ =15. 当 t=610s 时,I=5sin 10π ·610=5sinπ6 =52=2.5. 答案:15 2.5 2.弹簧振子以 O 为平衡位置,在 B,C 间做简谐运动,B,C 相距 20 cm,某时刻振子处在 B 点,经 0.5 s 振子首次到达 C 点.

(1)求振子的振幅、周期和频率; (2)振子在 5 s 内通过的路程及 5 s 末相对于平衡位置的位移的大小. 解:(1)设振幅为 A,则 2A=20 cm, 所以 A=10 cm, 设周期为 T,则T2=0.5 s,周期 T=1 s, 频率 f=1 Hz. (2)振子在 1 个周期内通过的路程为 4A, 故在 5 s 内通过的路程为 s=5×4A=200(cm), 5 s 末振子在 B 点,相对于平衡位置的位移为 10 cm 或 -10 cm.
[例 2] 如图为一个观览车示意图,该观览车半径为 4.8 m,圆上最低点与地面距离为 0.8 m,60 秒转动一圈,图中 OA 与地面垂直,以 OA 为始边,逆时针转动 θ 角到 OB,设 B 点与地面距 离为 h.
(1)求 h 与 θ 间关系的函数解析式; (2)设从 OA 开始转动,经过 t 秒到达 OB,求 h 与 t 间关系的函数解析式. [思路点拨] (1)过 O 作地面平行线,则 h 可分成三段 ①OA;②圆上最低点到地面距离;③B 到地面平行线的距离. (2)利用角速度结合图形可求. [精解详析] (1)由题意可作图如图.过点 O 作地面平行线 ON,过点 B 作 ON 的垂线 BM 交 ON 于 M 点.
当 θ >π2 时,∠BOM=θ -π2 . h=|OA|+0.8+|BM| =5.6+4.8sin???θ -π2 ???;

当 0≤θ ≤π2 时,上述解析式也适合. (2)点 A 在⊙O 上逆时针运动的角速度是3π0, ∴t 秒转过的弧度数为3π0t,
∴h=4.8sin???3π0t-π2 ???+5.6,t∈[0,+∞).
[一点通] 面对实际问题时,能够迅速地建立数学模型是一项重要的基本技能.这个过程并 不神秘,比如本例题,在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”,这个过 程就是数学建模的过程,在解题中,将实际问题转化为与三角函数有关的问题的常见形式有:求 出三角函数的解析式;画出函数的图象以及利用函数的性质进行解题.
3.在本例条件下,缆车第一次达到最高点时用的时间是________s.
解析:由 sin???3π0t-π2 ???=1,得3π0t-π2 =π2 , ∴t=30,即缆车到达最高点时,用的时间为 30 s.
答案:30 4.一个大风车的半径为 8 m,12 分钟旋转一周,它的最低点离地面 2 m(如图所示),则风车 翼片的一个端点离地面的距离 h(米)与时间 t(分钟)之间(h(0)=2)的函数关系式为________.
解析:首先考虑建立直角坐标系,以最低点的切线作为 x 轴,最低点作为坐标原点,建立如 图所示的直角坐标系.

那么,风车上翼片端点所在位置 P 可由函数 x(t)、y(t)来刻画,而且 h(t)=y(t)+2.所以,

只需要考虑 y(t)的解析式.

又设 P 的初始位置在最低点即 y(0)=0.

在 Rt△O1PQ 中,cos

θ

8-y =8

t



y(t)=-8cos θ +8.而21π2 =θt ,

所以 θ =π6 t,y(t)=-8cosπ6 t+8, h(t)=-8cosπ6 t+10. 答案:h(t)=-8cosπ6 t+10
[例 3] 在一个港口,相邻两次高潮发生时间相距 12 h,低潮时水的深度为 8.4 m,高潮时 为 16 m,一次高潮发生在 10 月 10 日 4∶00.每天涨潮落潮时,水的深度 d(m)与时间 t(h)近似满 足关系式 d=Asin(ω t+φ )+h.
(1)若从 10 月 10 日 0∶00 开始计算时间,选用一个三角函数来近似描述该港口的水深 d(m) 和时间 t(h)之间的函数关系;
(2)10 月 10 日 17∶00 该港口水深约为多少?(保留一位小数) [思路点拨] 先根据题中所提供的数据求出三角函数关系式中的相关参数,然后结合函数的 图象去分析问题即可. [精解详析] (1)依题意知 T=2ωπ =12, 故 ω =π6 ,h=8.42+16=12.2, A=16-12.2=3.8,
所以 d=3.8sin???π6 t+φ ???+12.2; 又因为 t=4 时,d=16,所以 sin???4π6 +φ ???=1, 所以 φ =-π6 ,所以 d=3.8sin???π6 t-π6 ???+12.2. (2)t=17 时,d=3.8sin???176π -π6 ???+12.2
=3.8sin23π +12.2≈15.5(m). [一点通] 实际问题的背景往往比较复杂,具有很强的现实生活色彩,语言表达形式不同于 常规训练中的简单问题,因此,在解决实际问题时,应特别注意: (1)自变量的变化范围. (2)数形结合,通过观察图形,获得本质认识. (3)要在实际背景中抽取出基本的数学关系比较困难,因此要认真仔细地审题,多进行联想, 选用适当数学模型.

5.在本例条件下,求 10 月 10 日这一天港口共有多少时间水深低于 10.3 m?

解:令 3.8sin???π6 t-π6 ???+12.2<10.3,

有 sin???π6 t-π6 ???<-12,

因此

2kπ

+76π

<π6

t-π6

<2kπ

11 +6π

(k∈Z),

所以 2kπ +43π <π6 t<2kπ +2π ,k∈Z,

所以 12k+8<t<12k+12.

令 k=0,得 t∈(8,12);令 k=1,得 t∈(20,24).

故这一天共有 8 小时水深低于 10.3 m.

6.某港口水深 y(米)是时间 t(0≤t≤24,单位:时)的函数,下面是水深数据:

t(时)

0

3

6

9

12

15

18 21 24

y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0

据上述数据描成的曲线如图所示, 经拟合,该曲线可近似地看

成正弦函数 y=Asin ω t+B 的图象. (1)试根据数据表和曲线,求出 y=Asin ω t+B 的表达式; (2)一般情况下,船舶航行时船底与海底的距离不小于 4.5 米是

安全的,如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为 7 米,那么该船在什么时间段能够安全进港?

若该船欲当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过多长时间?(忽略离港所用的时

间)

解:(1)从拟合的曲线可知,函数 y=Asin ω t+B 在一个周期内由最大变为最小需要 9-3

=6

小时,此为半个周期,∴函数的最小正周期为

12

小时,因此2π ω

=12,ω

=π6

.

又当 t=0 时,y=10;当 t=3 时,ymax=13,

∴B=10,A=13-10=3.

于是,所求函数解析式为 y=3sinπ6 t+10(0≤t≤24).

(2)由于船的吃水深度为 7 米,船底与海底的距离不少于 4.5 米,故在船舶航行时水深 y 应

大于等于 7+4.5=11.5(米).

令 y=3sinπ6 t+10≥11.5,可得 sinπ6 t≥12.

∴2kπ +π6 ≤π6 t≤2kπ +56π (k∈Z). ∴12k+1≤t≤12k+5(k∈Z). 取 k=0,则 1≤t≤5;取 k=1,则 13≤t≤17. 而取 k=2 时,则 25≤x≤29(不合题意). ∴船只可以安全进港的时间为上午的 1~5 点和下午的 1~5 点;船舶要在一天之内在港口停 留的时间最长,就应从凌晨 1 点(1 点到 5 点都可以)进港,而下午 17 点(即 13 点到 17 点之间) 前离港,在港内停留的时间最长为 16 小时.
解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步:审题、建模、解模、还原评价. 1.审题 审题是解题的基础,它包括阅读理解、翻译、挖掘等,通过阅读,真正理解用普通文字语言 表述的实际问题的类型、思想内涵、问题的实质,初步预测所属数学模型,有些问题 中采用即时定义解释某些概念或专业术语,要仔细阅读,准确把握,同时,在阅读过程中, 注意挖掘一些隐含条件. 2.建模 在细心阅读与深入理解题意的基础上,引进数学符号,将问题中的非数学语言转化为数学语 言,然后根据题意,列出数量关系——建立三角函数模型.这时要注意三角函数的定义域应符合 实际问题要求,这样便将实际问题转化成了纯数学问题. 3.解模 运用三角函数的有关公式进行推理、运算,使问题得到解决. 4.还原评价 应用问题不是单纯的数学问题,既要符合数学科学,又要符合实际背景,因此,对于解出的 结果要代入原问题中进行检验、评判.
课下能力提升(十二)
一、填空题
1.交流电的电压 E(单位:V)与时间 t(单位:s)的关系可用 E=220 3sin???100π t+π6 ???来表

示,则最大电压值第一次出现与第二次出现的时间间隔为________.

解析:最大电压值第一次出现与第二次出现的时间间隔为一个周期 T=120π0π

1 s=50 s.

答案:510 s

2.设钟摆每经过 1.8 秒便回到原来的位置.如图,当钟摆达到最高位置

M 时开始计时,经过 1 分钟后,请你估计钟摆在铅垂线的________边.

解析:作出该单摆的一个周期的图象如右图,在该图象中,钟摆

在铅

垂线的左边时,图象在横轴的上方;钟摆在铅垂线的右边时,图象在

横轴

的下方.因为 60=1.8×33+0.6,所以钟摆在铅垂线的右边.

答案:右

3.已知某游乐园内摩天轮的中心 O 点距地面的高度为 50 m,摩天轮做匀速转动,摩天轮上

的一点 P 自最低点 A 点起,经过 t min 后,点 P 的高度 h=40sin???π6 t-π2 ???+50(单位:m),那么 在摩天轮转动一圈的过程中,点 P 的高度在距地面 70 m 以上的时间将持续________分钟.

解析:依题意,即 40sin???π6 t-π2 ???+50≥70, 即 cosπ6 t≤-12,从而在一个周期内持续的时间为

2π 3

≤π6

t≤4π3

,4≤t≤8,即持续时间为

4

分钟.

答案:4

4.右图为一半径是 3 m 的水轮,水轮圆心 O 距离水面 2 m,已知水轮

每分钟旋转 4 圈,水轮上的点 P 到水面的距离 y(m)与时间 x(s)满足函数 关系 y=Asin(ω x+φ )+2,则 ω =________,A=________.
解析:由题意有 A=3,T=640=15,∴ω =21π5 .

答案:21π5 3

5.如图所示是相对于平均海平面的某海湾的水面高度 h(m)在某天 24 小时内的变化情况,则 水面高度 h 关于从夜间零时开始的小时数 t 的函数关系式为______________.

解析:设 h=Asin(ω t+φ ),

由题图知,A=6,T=12=2ωπ ,∴ω =π6 .

把点(6,0)代入 h=6sin???π6 t+φ ???,
得 sin(π +φ )=0,即 sinφ =0,

∴φ =kπ (k∈Z),∴h=sin???π6 t+kπ ???.

再把点(3,-6)代入 h=6sin???π6 t+kπ ???,

得 sin???kπ +π2 ???=-1,即 cos kπ =-1, ∴kπ =(2m+1)π (m∈Z). 令 m=0,得 k=1,

∴y=6sin???π6 t+π ???=-6sinπ6 t.

答案:h=-6sinπ6 t

二、解答题

6.单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离 s(cm)和时间 t(s)的关系式为 s=

6sin(2π t+π6 ).

(1)作出它的图象;

(2)单摆开始摆动(t=0)时,离开平衡位置多少?

(3)单摆摆到最右边时,离开平衡位置多少?

(4)单摆来回摆动一次需多长时间?

解:(1)列表如下:

t(s)

0

1 6

5 12

2 3

11 12

s(cm)

36

0 -6

0

描点作图.

(2)t=0 时,s=3 cm,此时离开平衡位置 3 cm. (3)离开平衡位置 6 cm. (4)T=22ππ =1,所以单摆来回摆动一次需 1 s. 7.已知某地一天从 4 点到 16 点的温度变化曲线近似满足函数 y=10sin???π8 x-5π4 ???+20,x ∈[4,16]. (1)求该地区这一段时间内温度的最大温差; (2)假若有一种细菌在 15℃到 25℃之间可以生存,那么在这段时间内,该细菌能生存多长时 间? 解:(1)由函数易知,当 x=14 时函数取最大值,即最高温度为 30℃,当 x=6 时函数取最小 值,即最低温度为 10℃,所以,最大温差为 30℃-10℃=20℃.

(2)令 10sin???π8 x-5π4 ???+20=15,

可得 sin???π8 x-5π4 ???=-12,而 x∈[4,16],

所以 x=236.

令 10sin???π8 x-5π4 ???+20=25,

可得 sin???π8 x-5π4 ???=12,

而 x∈[4,16],所以 x=334.

34 26 8 故该细菌的存活时间为: 3 - 3 =3小时.

8.已知某海滨浴场的海浪高度 y(m)是时间 t(0≤t≤24,单位:h)的函数,记作:y=f(t),

下表是某日各时的浪高数据.

t(h)

0

3

6

9 12 15 18 21 24

y(m) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5

经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数 y=Acos ω t+b 的图象. (1)根据以上数据,求出函数 y=Acos ω t+b 的最小正周期 T、振幅 A 及函数表达式; (2)依据规定,当海浪高度高于 1 m 时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,那么一天内 的上午 8∶00 至晚上 20∶00 之间,有多少时间可供冲浪爱好者进行运动? 解:(1)由表中数据知周期 T=12, ∴ω =2πT =21π2 =π6 , 由 t=0,y=1.5,得 A+b=1.5; 由 t=3,y=1.0,得 b=1.0, ∴A=0.5,b=1, ∴周期为 12,振幅为12. ∴函数解析式为 y=12cosπ6 t+1. (2)由题知当 y>1 时才可对冲浪爱好者开放. ∴12cosπ6 t+1>1,∴cosπ6 t>0, ∴2kπ -π2 <π6 t<2kπ +π2 k∈Z, 即 12k-3<t<12k+3,k∈Z. 又 0≤t≤24,故可令①中 k 分别为 0,1,2,得 0≤t<3 或 9<t<15 或 21<t≤24. ∴在规定时间上午 8∶00 到晚上 20∶00 之间,有 6 个小时的时间可供冲浪者运动,即上午 9∶ 00 到下午 15∶00.
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