2019_2020学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式三排序不等式讲义(含解析)新人教A版选修4_5

三 排序不等式

1.顺序和、乱序和、反序和 设 a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn 为两组实数,c1,c2,…,cn 为 b1,b2,…,bn 的任一 排列,称 a1b1+a2b2+…+anbn 为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和),称 a1bn+a2bn-1 +…+anb1 为这两个实数组的反序积之和(简称反序和).称 a1c1+a2c2+…+ancn 为这两个实 数组的乱序积之和(简称乱序和). 2.排序不等式(排序原理) 定理:(排序原理,又称为排序不等式) 设 a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn 为两组实数, c1,c2,…,cn 为 b1,b2,…,bn 的任一排列,则有 a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1c1+a2c2+…+ ancn≤a1b1+a2b2+…+anbn,等号成立(反序和等于顺序和)?a1=a2=…=an 或 b1=b2=…= bn. 排序原理可简记作:反序和≤乱序和≤顺序和. [点睛] 排序不等式也可以理解为两实数序列同向单调时,所得两两乘积之和最大;反 向单调(一增一减)时,所得两两乘积之和最小.

用排序不等式证明不等式(所证不等式) 中字母大小顺序已确定

[例 1] 已知 a,b,c 为正数,且 a≥b≥c,求证: a5 b5 c5 1 1 1 b3c3+c3a3+a3b3≥a+b+c.

[思路点拨] 分析题目中已明确 a≥b≥c,所以解答本题时可直接构造两个数组,再用

排序不等式证明即可.

[证明] ∵a≥b>0,于是1a≤1b,

又 c>0,从而b1c≥c1a,

11

111

同理ca≥ab,从而bc≥ca≥ab.

又由于顺序和不小于乱序和,故可得 a5 b5 c5 b5 c5 a5 b3c3+c3a3+a3b3≥b3c3+c3a3+a3b3

=bc23+ca23+ab23???∵a2≥b2≥c2,c13≥b13≥a13??? c2 a2 b2 1 1 1 1 1 1
≥c3+a3+b3=c+a+b=a+b+c. ∴原不等式成立.
利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构,从而正 确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组.

1.已知 0<α





<π2 ,求证:sin

α

cos

β

+sin

β

cos

γ

+sin

γ

·cos

α

1 >2(sin

2α +sin 2β +sin 2γ ).

证明:∵0<α <β <γ <π2 ,且 y=sin x 在???0,π2 ???为增函数,y=cos x 在???0,π2 ???为减函

数,

∴0<sin α <sin β <sin γ ,cos α >cos β >cos γ >0.

∴sin α cos β +sin β cos γ +sin γ cos α >sin α cos α +sin β cos β +sin γ cos γ
1 =2(sin 2α +sin 2β +sin 2γ ).

2.设 x≥1,求证:1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)xn. 证明:∵x≥1,∴1≤x≤x2≤…≤xn. 由排序原理得 12+x2+x4+…+x2n ≥1·xn+x·xn-1+…+xn-1·x+xn·1 即 1+x2+x4+…+x2n≥(n+1)xn.① 又因为 x,x2,…,xn,1 为 1,x,x2,…,xn 的一个排列, 由排序原理得 1·x+x·x2+…+xn-1·xn+xn·1 ≥1·xn+x·xn-1+…+xn-1·x+xn·1, 即 x+x3+…+x2n-1+xn≥(n+1)xn.② 将①②相加得 1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)xn.

用排序不等式证明不等式

(对所证不等式中的字母大

小顺序作出假设)

[例 2] 设 a,b,c 为正数,求证:

ab1c2+bc1a2+ca1b2≥a10+b10+c10.

[思路点拨] 本题考查排序不等式的应用,解答本题需要搞清:题目中没有给出 a,b,

c 三个数的大小顺序,且 a,b,c 在不等式中的“地位”是对等的,故可以设 a≥b≥c,再

利用排序不等式加以证明.

[证明] 由对称性,不妨设 a≥b≥c,于是 a12≥b12≥c12,b1c≥c1a≥a1b,

故由排序不等式:顺序和≥乱序和,得

a b c a b c a b c 12

12

12

12

12

12

11

11

11

bc+ca+ab≥ab+bc+ca= b + c + a .①

又因为 a11≥b11≥c11,1a≤1b≤1c.

再次由排序不等式:反序和≤乱序和,得

a b c a b c 11

11

11

11

11

11

a + b + c ≤ b + c + a .②

所以由①②得ab1c2+bc1a2+ca1b2≥a10+b10+c10.

在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系,对于没有给出大小关系的情况,要 根据各字母在不等式中地位的对称性,限定一种大小关系.

3.设 a,b,c 都是正数,求证:bac+cba+acb≥a+b+c. 证明:由题意不妨设 a≥b≥c>0, 由不等式的单调性,知 ab≥ac≥bc,1c≥1b≥1a. 由排序不等式,知 ab×1c+ac×1b+bc×1a ≥ab×1b+ac×1a+bc×1c=a+c+b, 即bac+cba+acb≥a+b+c. 4.设 a1,a2,a3 为正数,求证:aa1a3 2+aa2a1 3+aa3a2 1≥a1+a2+a3. 证明:不妨设 a1≥a2≥a3>0,于是 a11≤a12≤a13,a2a3≤a3a1≤a1a2,

由排序不等式:顺序和≥乱序和得 aa1a3 2+aa3a2 1+aa2a1 3≥a12·a2a3+a13·a3a1+a11·a1a2 =a3+a1+a2. 即aa1a3 2+aa2a1 3+aa3a2 1≥a1+a2+a3.

1.有两组数:1,2,3 与 10,15,20,它们的顺序和、反序和分别是( )

A.100,85

B.100,80

C.95,80

D.95,85

解析:选 B 由顺序和与反序和的定义可知顺序和为 100,反序和为 80.

2.若 0<a1<a2,0<b1<b2,且 a1+a2=b1+b2=1,则下列代数式中值最大的是( )

A.a1b1+a2b2

B.a1a2+b1b2

C.a1b2+a2b1 D.12

解析:选 A 因为 0<a1<a2,0<b1<b2,所以由排序不等式可知 a1b1+a2b2 最大. 3.锐角三角形中,设 P=a+2b+c,Q=acos C+bcos B+ccos A,则 P,Q 的大小关系

为( )

A.P≥Q

B.P=Q

C.P≤Q

D.不能确定

解析:选 C 不妨设 A≥B≥C,则 a≥b≥c,cos A≤cos B≤cos C,则由排序不等式有

Q=acos C+bcos B+ccos A≥acos B+bcos C+ccos A

=R(2sin Acos B+2sin Bcos C+2sin Ccos A)

=R[sin(A+B)+sin(B+C)+sin(A+C)]

=R(sin C+sin A+sin B)=P=a+2b+c.

4.儿子过生日要老爸买价格不同的礼品 1 件、2 件及 3 件,现在选择商店中单价为 13

元、20 元和 10 元的礼品,至少要花( )

A.76 元

B.20 元

C.84 元

D.96 元

解析:选 A 设 a1=1(件),a2=2(件),a3=3(件),b1=10(元),b2=13(元),b3=20(元), 则由排序原理反序和最小知至少要花 a1b3+a2b2+a3b1=1×20+2×13+3×10=76(元).
5.已知两组数 1,2,3 和 4,5,6,若 c1,c2,c3 是 4,5,6 的一个排列,则 1c1+2c2+3c3

的最大值是________,最小值是________.

解析:由反序和≤乱序和≤顺序和知,顺序和最大,反序和最小,故最大值为 32,最

小值为 28.

答案:32 28

6.设正实数 a1,a2,…,an 的任一排列为 a1′,a2′,…,an′,则aa1′1 +aa2′2 +…+aan′n

的最小值为________.

解析:不妨设 0<a1≤a2≤a3…≤an,

11

1

则a1≥a2≥…≥an.

其反序和为aa11+aa22+…+aann=n,

则由乱序和不小于反序和知

aa1′1 +aa2′2 +…+aan′n ≥aa11+aa22+…+aann=n,

∴aa1′1 +aa2′2 +…+aan′n 的最小值为 n.

答案:n

7.设 a1,a2,a3,a4 是 1,2,3,4 的一个排序,则 a1+2a2+3a3+4a4 的取值范围是________. 解析:a1+2a2+3a3+4a4 的最大值为 12+22+32+42=30,最小值为 1×4+2×3+3×2

+4×1=20,

∴a1+2a2+3a3+4a4 的取值范围是[20,30].

答案:[20,30]

8.设 a,b,c 是正实数,用排序不等式证明 aabbcc≥(abc)a+3b+c.

证明:由所证不等式的对称性,不妨设 a≥b≥c>0,

则 lg a≥lg b≥lg c,据排序不等式有:

alg a+blg b+clg c≥blg a+clg b+alg c,

alg a+blg b+clg c≥clg a+alg b+blg c,

以上两式相加,再两边同加 alg a+blg b+clg c,整理得

3(alg a+blg b+clg c)≥(a+b+c)(lg a+lg b+lg c),

即 lg(aabbcc)≥a+3b+c·lg(abc),

故 aabbcc≥(abc)a+3b+c.

9.某学校举行投篮比赛,按规则每个班级派三人参赛,第一人投 m 分钟,第二人投 n

分钟,第三人投 p 分钟,某班级三名运动员 A,B,C 每分钟能投进的次数分别为 a,b,c,

已知 m>n>p,a>b>c,如何派三人上场能取得最佳成绩?

解:∵m>n>p,a>b>c,

且由排序不等式知顺序和为最大值,

∴最大值为 ma+nb+pc,此时分数最高,

∴三人上场顺序是 A 第一,B 第二,C 第三. 10.已知 0<a≤b≤c,求证:a+c2 b+a+b2 c+b+a2 c≥a+a2 b+b+b2 c+c+c2 a.

证明:因为 0<a≤b≤c,所以 0<a+b≤c+a≤b+c,

所以a+1 b≥c+1 a≥b+1 c>0,

又 0<a2≤b2≤c2,

c2

b2

a2

a2

b2

c2

所以a+b+a+c+b+c是顺序和, a+b+b+c+c+a是乱序和,

由排序不等式可知顺序和大于等于乱序和,

c2

b2

a2

a2

b2

c2

即不等式a+b+a+c+b+c≥a+b+b+c+c+a成立.


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