新课标人教A版高中数学常用结论与方法 -六、不等式

新课标高中数学经典结论与解题方法—理科 编辑:高中数学组 六、不等式: 54.不等式性质与解法 性质 对称性 传递性 可加性 性质内容 特别提醒 a ? b ?b ? a a ? b , b ? c ?a ? c a ? b ? a?c ?b?c a ? b , c ? 0 ? ac ? bc ? ? ? 可乘性 c 的符号 a ? b , c ? 0 ? ac ? bc 同向可加性 同向同正可乘性 同向同号可倒性 可乘方性 可开方性 a ? b,c ? d ? a ? c ? b ? d ? ? ? a ? b ? 0 , c ? d ? 0 ? ac ? bd a ? b,ab ? 0 ? 1 1 ? a b a ? b ? 0 ? a n ? bn a , b 为正数 a?b?0? a ? b n n (1)二次不等式: ax 2+bx+c ? 0 ? ? ?a ? b ? 0 ? a ? 0 ?a ? b ? 0 ? a ? 0 ; ax 2+bx+c ? 0 ? ? 或? 或? ? c?0 ?? ? 0 ? c?0 ?? ? 0 (2)分式不等式的解法: ①标准化:移项通分化为 f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) >0(或 <0); ≥0(或 ≤0)的形式. g ( x) g ( x) g ( x) g ( x) ②转化为整式不等式(组) f ( x) f ( x) f ( x) g ( x) ? 0 . ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0; ?0?? ? g ( x) ? 0 ? g ( x) g ( x) (3)含绝对值不等式的解法: ① | x |? a ? ?a ? x ? a . ② | x |? a ? x ? a 或 x ? ?a . -1- 新课标高中数学经典结论与解题方法—理科 编辑:高中数学组 55.二次项系数中含有参数时,则应先考虑二次项系数是否为零 分类讨论: 解含参数的一元二次不等式,可先考虑因式分解,再对根的大小进行分类讨论; 若不能因式分解,则可对判别式进行分类讨论,分类要不重不漏. 56.线性规划问题一般步骤: (1).在平面直角坐标系中画出可行域. (2).分析目标函数的几何意义将目标函数进行变形 (3).确定最优解(4).求出最值. 57.目标函数:(1)截距型: z=ax+by. (2)距离平方型: z=( x-a)2+( y-b)2 . (3) 斜率型: z ? y ?b x?a 58.基本不等式: a ? b ? 2 ab (a ? 0,b ? 0) 当且仅当 a ? b 时等号成立. 已知 x, y 都是正数,则有 (1).若积 xy 是定值 p ,则当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p . (2).若和 x ? y 是定值 s ,则当 x ? y 时积 xy 有最大值 (3).已知 a, b, x, y ? R? ,若 ax ? by ? 1则有 简记: “积定和小”. 1 2 s .简记: “和定积大”. 4 1 1 1 1 by ax ? ? (ax ? by )( ? ) ? a ? b ? ? ? a ? b ? 2 ab ? ( a ? b ) 2 . x y x y x y a b (4).已知 a, b, x, y ? R? ,若 ? ? 1 则有 x y a b ay bx x ? y ? ( x ? y )( ? ) ? a ? b ? ? ? a ? b ? 2 ab ? ( a ? b )2 x y x y 2 2 变形: (1) a +b ? 2ab ?(a,b ? R) ;(2) ab ? ( a +b 2 ) (a,b ? R ) ; 2 (3) ab ? a 2 ? b2 a 2 ? b2 a ? b 2ab a, b ? R ? ? (a,b ? R) ;(4)四种均值: ? ? ab ? ? 2 2 2 a ?b 2 2 2 2 2 柯西不等式: (ac ? bd ) ? (a ?b )(c ?d ) 琴生不等式: f ( x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 或 2 2 f( x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? . 则称 2 2 f (x) 为凸(或凹)函数. -2-

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