点与直线、直线与直线的位置关系

第二节

点与直线、直线与直线的位置关系

一、基础练习: 2 1.已知两条直线 y=a x-2 和 x-ay+1=0 互相垂直,则 a 等于________.-1 或 0 2.直线 x+ay+3=0 与直线 ax+4y+6=0 平行的充要条件是 a=________.-2 3.已知点 P(3,2)与点 Q(1,4)关于直线 l 对称,则直线 l 的方程为______________.X-y+1=0 4. 若点 P(a,3)到直线 4x-3y+1=0 的距离为 4, 且点 P 在不等式 2x+y-3<0 表示的平面区域内, 则实数 a 的值为________.-3 5. 在平面直角坐标系中, 定义平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量, 若直线 l 过点 A(- 2,3),且法向量为 n=(1,-2),则直线 l 的方程为______________.X-2y+8=0 二、重点知识: 1、判断两直线的关系 例 1:已知两条直线 l1:ax-by+4=0,直线 l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的 a、b 的值。 (1) l1 ? l2 ,且 l1 过点 (?3,?1) ;a=b=2(2) l1 // l2 ,且原点到这两直线的距离相等。a=2,b=-2; 2 a= ,b=2 3 规律:已知两条直线 l1:ax+by+c=0,直线 l2:mx+ny+p=0。 (1)若 l1∥l2,则_____________________________________; (2)若 l1 ? l2,则____________________________________; 练习题:1.已知两条直线 l1:ax+by+c=0,直线 l2:mx+ny+p=0,则 an=bm 是直线 l1∥l2 的 ________________条件.必要不充分 2.已知{(x,y)|(m+3)x+y=3m-4}∩{(x,y)|7x+(5-m)y-8=0}=φ ,则直线(m+3)x+y=3m+4 与坐标轴 围成的三角形面积是_________________。2 3.若三条直线 l1: x+y=7, l2: 3x-y=5, l3: 2x+y+c=0 不能围成三角形, 则 c 的值为________. -10 4.过点 P(1,2)作直线 l,使直线 l 与点 M(2,3)和点 N(4,-5)距离相等,求直线 l 的方程。 4x+y-6=0,3x+2y-7=0 5.设 a、b、c、分别是△ABC 中∠A、∠B、∠C 所对边的边长,则直线 xsinA+ay+c=0 与 bx- ysinB+sinC=0 的位置关系是______.垂直 6.已知 0<k<4,直线 l1:kx-2y-2k+8=0 和直线 l2:2x+k2y-4k2-4=0 与两坐标轴围成一个 1 四边形,则使得这个四边形面积最小的 k 值为______. 8 7.已知 n 条直线 l1:x-y+C1=0,C1= 2,l2:x-y+C2=0,l3:x-y+C3=0,…,ln:x-y+ Cn=0(其中 C1<C2<C3<…Cn),在这 n 条平行直线中,每相邻两条直线之间的距离顺次为 2、3、4、…、 n. (1)求 Cn; (2)求 x-y+Cn=0 与 x 轴、y 轴围成图形的面积; (3)求 x-y+Cn-1=0 与 x-y+Cn=0 及 x 轴、y 轴围成的图形的面积. 解:(1)原点 O 到 l1 的距离 d1 为 1,原点 O 到 l2 的距离 d2 为 1+2,…,原点 O 到 ln 的距离 dn n(n+1) 2n(n+1) 为 1+2+…+n= .∵Cn= 2dn,∴Cn= . 2 2 (2)设直线 ln:x-y+Cn=0 交 x 轴于 M,交 y 轴于 N,则 1 1 2 n2(n+1)2 S△OMN= |OM|·|ON|= Cn = . 2 2 4

(3)所围成的图形是等腰梯形,由(2)知 Sn= ∴Sn-Sn-1=

n2(n+1)2
4

(n-1)2·n2 ,则有 Sn-1= . 4

n (n+1)

2

2

4 2、点、直线的对称性 例 2: (1)求点 P(3,2)关于点 Q(1,4) 的对称点 P′的坐标; (2)求点 A(-4,2)关于直线 y=2x 的对称点 A′的坐标; (3)求直线 l:3x-y-1=0 关于点 Q(1,4) 的对称直线; (4)求直线 l:3x-y-1=0 关于直线 y=2x 的对称直线。 解: (1)P′(-1,6) (2)A′(4,-2) (3)3x-y+3=0 (4)13x-9y+5=0 总结: 例 3:在直线 l:3x-y-1=0 上求点 P 和 Q,使得: (1)Q 到 A(4,1)和 C(3,4)的距离之和最小. (2)P 到 A(4,1)和 B(0,4)的距离之差最大;



(n-1) ·n =n3,∴所求面积为 n3. 4

2

2

?3 24? 解:(1)如图所示,设 C 关于 l 的对称点为 C′,求出 C′的坐标为? , ?. ?5 5 ? ∴AC′所在直线的方程为 19x+17y-93=0, ?11 26? AC′和 l 交点坐标为? , ?, 7? ?7 ?11 26? 故 Q 点坐标为? , ?. 7? ?7 (2)如图所示,设点 B 关于 l 的对称点 B′的坐标为(a,b), 则 kBB′·kl=-1, b-4 即 3· =-1.

a

∴a+3b-12=0.① 又由于线段 BB′的中点坐标为 a b+4 ?a b+4? ? , ?, 且在直线 l 上, ∴3× - -1=0, 即 3a-b-6=0.② 2 ? 2 2 ?2 解①②得 a=3,b=3,∴B′(3,3). y-1 x-4 于是 AB′的方程为 = ,即 2x+y-9=0. 3-1 3-4 ?x=2, 得? 即 l 与 AB′的交点坐标为 P(2,5). ?y=5. 练习题:1.如图,已知 A(4,0)、B(0,4),从点 P(2,0)射出的光线经直 线 AB 反射后再射到直线 OB 上, 最后经直线 OB 反射后又回到 P 点, 则光 线所经过的路程是______. 解析:分别求点 P 关于直线 x+y=4 及 y 轴的对称点,为 P1(4,2)、 P2(-2,0),由物理知识知,光线所经路程即为 P1P2=2 10.答案:2 10 2.直线 y=2x 是△ABC 中∠C 的角平分线所在的直线,若 A、B 的坐标分 别为 A(-4,2),B(3,1),求点 C 的坐标,并判断△ABC 的形状. 解:设 A(-4,2)关于直线 y=2x 对称的点 A′的坐标是(m,n) ?3x-y-1=0, 解? ?2x+y-9=0,

2+n -4+m ? ? 2 = 2 ·2, 由? 2-n ? ?-4-m·2=-1,

?m=4, 解得? ?n=-2,

即 A′的坐标是(4,

-2),

?3x+y-10=0, 由 B、 A′得 BC 所在的直线方程, 3x+y-10=0, 由? 解得 C 的坐标是(2,4), ?y=2x, 1 又∵kAC′= ,kBC′=-3, 3 ∴AC′⊥BC′,即△ABC′是直角三角形. 3.在△ABC 中,BC 边上的高所在直线方程为 x-2y+1=0,∠A 的平分线所在直线方程为 y=0, 若点 B 坐标为(1,2),求点 A 和 C 的坐标. ?x-2y+1=0, 解:由? 得 A(-1,0).又 B(1,2),∴kAB=1. ?y=0, ∵x 轴是∠A 的平分线,∴kAC=-1. AC 直线方程 y=-(x+1).又 BC 方程为:y-2=-2(x-1), ?y=-(x+1), 由? 得 C(5,-6). ?y-2=-2(x-1), 1 4.若函数 y=ax+8 与 y=- x+b 的图象关于直线 y=x 对称,则 a+b=________. 2 1 解析:直线 y=ax+8 关于 y=x 对称的直线方程为 x=ay+8,所以 x=ay+8 与 y=- x+b 2 ?a=-2 为同一直线,故得? ?b=4 ,所以 a+b=2.答案:2


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