同心中学高二数学选修1-1第三章导数及其应用单元检测题

阳江同心中学 2010-2011 学年高二数学选修 1-1 单元检测题 阳江同心中学 2010同心 导数及其应用
命题人:蔡永登

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 、选择题 1、已知函数 f(x)=ax2+c,且 f ′(1) =2,则 a 的值为( A.0 B. 2 C.-1 ) D.1 )

2、已知二次函数 f ( x ) 的图象如图 1 所示 , 则其导函数 f ′ ( x) 的图象大致形状是(

3、曲线 y = x 3 ? 3 x 2 + 1 在点 (1,?1) 处的切线方程为( A. y = ?3 x + 2 B. y = 3 x ? 4 C. y = ?4 x + 3

) D. y = 4 x ? 5 ( )

4.(2009 年广东卷文)函数 f ( x) = ( x ? 3)e x 的单调递增区间是 A. (?∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D. ( 2,+∞)

5、曲线 y = e x 在点 (2,e 2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(



A.

e2 2

B. 2e

2

C. e

2

D.

9 2 e 4

6.(2009 江西卷理)设函数 f ( x ) = g ( x ) + x 2 ,曲线 y = g ( x ) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程为

y = 2 x + 1 ,则曲线 y = f ( x) 在点 (1, f (1)) 处切线的斜率为

(

)

A. 4 7、已知 y =

B. ?

1 4

C. 2

D. ?

1 2
)

1 3 x + bx 2 + (b + 2) x + 3 是 R 上的单调增函数,则 b 的取值范围是( 3 A. b < ?1,或b > 2 B. b ≤ ?1,或b ≥ 2 D. ? 1 ≤ b ≤ 2 C. ? 1 < b < 2
3 2

8、函数 y = 2 x ? 3 x ? 12 x + 5 在 [0, 3] 上的最大值和最小值分别是(

)

A. 5,15 B. 5, ? 4 C. 5, ? 15 D. 5, ? 16 9.(2008 年福建卷)已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图,那么 y=f(x),y=g(x)的图 象可能是 ( )

10. (广东省惠州市 2010 届高三第三次调研理科) 给出定义: 若函数 f ( x ) 在 D 上可导, f ′( x ) 即 存 在 , 且 导 函 数 f ′( x ) 在 D 上 也 可 导 , 则 称 f ( x ) 在 D 上存在二阶导函数,记

f ′′( x) = ( f ′ ( x ) )′ ,若 f ′′( x) < 0 在 D 上恒成立,则称 f ( x) 在 D 上为凸函数。以下四个函数
在 ? 0,

? π? ? 上不是凸函数的是( ? 2?



A. f ( x ) = sin x + cos x C. f ( x ) = ? x 3 + 2 x ? 1

B. f ( x ) = ln x ? 2 x D. f ( x ) = ? xe ? x

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 填空题 11、已知函数 y = f ( x) 的图象在点 M (1,f (1)) 处的切线方程是 y =

1 x + 2 ,则 2

f (1) + f ′(1) = M ?m =
.



14 、 已 知 函 数 f ( x ) = x 3 ? 12 x + 8 在 区 间 [ ?3,3] 上 的 最 大 值 与 最 小 值 分 别 为 M , m , 则

13.(2009 陕西卷理)设曲线 y = x n +1 ( n ∈ N * ) 在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn , 令 an = lg xn ,则 a1 + a2 + ? + a99 的值为 .

14. (广东省佛山市顺德区质量检测试题理科)已知一系列函数有如下性质: 函数 y = x +

1 在 (0,1] 上是减函数,在 [1, +∞ ) 上是增函数; x 2 函数 y = x + 在 (0, 2] 上是减函数,在 [ 2, +∞ ) 上是增函数; x 3 函数 y = x + 在 (0, 3] 上是减函数,在 [ 3, +∞ ) 上是增函数; x
……………… 利用上述所提供的信息解决问题:

3m 若函数 y = x + ( x > 0) 的值域是 [6, +∞) ,则实数 m 的值是___________. x
三、解答题(本大题共 6 小题,满分共 80 分) 解答题 15、 (本小题 12 分)已知抛物线 y = ax 2 + bx + 9 在点(2,-1)处的切线的斜率为 1,求 a, b 的值.

16、 (2005 年全国卷) (本小题 12 分) 用长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方 形,然后把四边翻转 90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最 大容积是多少?

x

x

17、 (本小题 14 分) 已知 f ( x) = ax + bx ? 2 x + c 在 x = ?2 时有极大值 6,在 x = 1 时有极小值,求 a,b,c
3 2

的值;并求 f ( x ) 区间 [ ?3,3] 上的最大值和最小值.

18.(2009 北京文) (本小题共 14 分) 设函数 f ( x ) = x 3 ? 3ax + b( a ≠ 0) . (Ⅰ)若曲线 y = f ( x) 在点 (2, f ( x )) 处与直线 y = 8 相切,求 a, b 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间与极值点.

19. 2010 年 3 月广东省广州市高三一模数学文科试题) 本小题满分 14 分) ( 月广东省广州市高三一模数学文科试题) (本小题满分 已知函数 f ( x ) = ? x + ax + bx + c 在 ( ?∞, 0 ) 上是减函数,在 ( 0,1) 上是增函数,函数
3 2

f ( x ) 在 R 上有三个零点,且 1 是其中一个零点.
(1)求 b 的值; (2)求 f ( 2 ) 的取值范围;

20. 辽宁文) (21) (本小题满分 12 分) 20.(2010 辽宁文) 已知函数 f ( x) = ( a + 1) ln x + ax 2 + 1 . (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)设 a ≤ ?2 ,证明:对任意 x1 , x2 ∈ (0, +∞ ) , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |≥ 4 | x1 ? x2 | .

2010同心中学 2010-2011 学年高二数学选修 2-2 单元检测题 导数及其应用 答案
一、选择题 、 1、D 2、B 3、A 4、D 5、A 6、A 7、D 8、C 9、D 10、D 二、填空题 11、3 12、25 三、解答题

13、-2

14、2

15、解:∵ y = ax 2 + bx + 9 分别过(2,-1)点 4a+2b+9=-1 (1) 又 y′=2ax+b ∴y′|x=2=4a+b=1 (2) 由(1)(2)可得,a=3,b=-11.

16、解:设该容器的高为 xcm。容器的容积为 ycm3。 解 依题意有 y=(90-2x)(48-2x)x (0<x<24) 3 2 =4(x -69x +1080x) ∴ y ′ =4(3x2-138x+1080)=12(x-10)(x-36)=0 ∴x=10 x=36(不合题意,舍去) ∴当高为 10cm 时,容器的容积最大,最大容积是 19600cm3

17、.解: (1) f ′( x ) = 3ax 2 + 2bx ? 2 由条件知

? f ′(?2) = 12a ? 4b ? 2 = 0, 1 1 8 ? 解得a = , b = , c = . ? f ′(1) = 3a + 2b ? 2 = 0, 3 2 3 ? f (?2) = ?8a + 4b + 4 + c = 6. ?
(2) f ( x ) = x -3

1 3 1 2 8 x + x ? 2 x + , f ′( x) = x 2 + x ? 2 3 2 3
(-3,-2) + -2 0 6 (-2,1) - ↘ 1 0 (1,3) + ↗ 3

f ′( x) f ( x)
4 1 6



3 2

10

1 6

由上表知,在区间[-3,3]上,当 x=3 时, f max = 10 18.解(Ⅰ) f
'

1 3 ,当 x=1 时, f min = . 6 2

( x ) = 3x 2 ? 3a ,

∵曲线 y = f ( x) 在点 (2, f ( x )) 处与直线 y = 8 相切,

? ' ? ?a = 4, ? f ( 2 ) = 0 ?3 ( 4 ? a ) = 0 ∴? ?? ?? ? ? f ( 2) = 8 ?8 ? 6a + b = 8 ?b = 24. ?
(Ⅱ)∵ f ' ( x ) = 3 x 2 ? a 当 a < 0 时, f
'

(

) ( a ≠ 0) ,

( x ) > 0 ,函数 f ( x) 在 ( ?∞, +∞ ) 上单调递增,

此时函数 f ( x ) 没有极值点. 当 a > 0 时,由 f
'

( x) = 0 ? x = ±
'

a,

( x ) > 0 ,函数 f ( x) 单调递增, ( ) 当 x ∈ ( ? a , a ) 时, f ( x ) < 0 ,函数 f ( x ) 单调递减, 当 x ∈ ( a , +∞ ) 时, f ( x ) > 0 ,函数 f ( x ) 单调递增,
当 x ∈ ?∞, ? a 时, f
' '

∴此时 x = ? a 是 f ( x ) 的极大值点, x =

a 是 f ( x) 的极小值点.
2

19、 (1)解:∵ f ( x ) = ? x + ax + bx + c ,∴ f ′ ( x ) = ?3 x + 2ax + b . 解
3 2

∵ f ( x ) 在 ( ?∞, 0 ) 上是减函数,在 ( 0,1) 上是增函数, ∴当 x = 0 时, f ( x ) 取到极小值,即 f ′ ( 0 ) = 0 . ∴b = 0. (2)解:由(1)知, f ( x ) = ? x + ax + c , 解
3 2

∵1 是函数 f ( x ) 的一个零点,即 f (1) = 0 ,∴ c = 1 ? a . ∵ f ′ ( x ) = ?3 x + 2ax = 0 的两个根分别为 x1 = 0 , x2 =
2

2a . 3

∵ f ( x ) 在 ( 0,1) 上是增函数,且函数 f ( x ) 在 R 上有三个零点, ∴ x2 =

2a 3 > 1 ,即 a > . 3 2 5 . 2

∴ f ( 2 ) = ?8 + 4a + (1 ? a ) = 3a ? 7 > ? 故 f ( 2 ) 的取值范围为 ? ?

? 5 ? , +∞ ? . ? 2 ?

20.(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+ ∞ ), f ′( x) =

a +1 2ax 2 + a + 1 + 2ax = . x x

当 a≥0 时, f ′( x ) >0,故 f(x)在(0,+ ∞ )单调增加; 当 a≤-1 时, f ′( x ) <0, 故 f(x)在(0,+ ∞ )单调减少; 当-1<a<0 时,令 f ′( x ) =0,解得 x= ?

a +1 .当 x∈(0, 2a ?

?

a +1 )时, f ′( x ) >0; 2a

x∈( ?

a +1 , ∞ )时, f ′( x ) <0, 故 f(x)在 + (0, 2a

a +1 a +1 ) 单调增加, ( ? 在 , ∞) + 2a 2a

单调递减. (Ⅱ)不妨假设 x1≥x2.由于 a≤-2,故 f(x)在(0,+ ∞ )单调递减. 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≥ 4 x1 ? x2 等价于

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≥4x1-4x2,
即 f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1. 令 g(x)=f(x)+4x,则

g ′( x) =


a +1 + 2ax +4 x

2ax 2 + 4 x + a + 1 . x

?4 x 2 + 4 x ? 1 ?(2 x ? 1) 2 于是 g ′( x ) ≤ = ≤0. x x
从而 g(x)在(0,+ ∞ )单调递减,故 g(x1) ≤g(x2), 即

f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2,故对任意 x1,x2∈(0,+ ∞ ) , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≥ 4 x1 ? x2 .


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