2012年四川省高考数学试卷理科及答案

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2012 年四川省高考数学试卷(理科)
一、选择题:每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 7 2 1. (2012?四川) (1+x) 的展开式中 x 的系数是( ) A. 42 B. 35 C. 28 2. (2012?四川)复数 A. 1 =( B. ﹣1 ) C. i D. ﹣i D. 21

3. (2012?四川)函数

在 x=3 处的极限是(



A. 不存在

B. 等于 6

C. 等于 3

D. 等于 0

4. (2012?四川)如图,正方形 ABCD 的边长为 1,延长 BA 至 E,使 AE=1,连接 EC、ED 则 sin∠ CED= ( ) A. B. C. D.

5. (2012?四川)函数 A. B.

的图象可能是( C.

) D.

6. (2012?四川)下列命题正确的是(



A. 若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C. 若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D. 若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行

7. (2012?四川)设 、 都是非零向量,下列四个条件中,使 A. B. C.

成立的充分条件是( D.





8. (2012?四川)已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O,并且经过点 M(2,y0) .若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3,则|OM|=( )

1

A.

B.

C. 4

D.

9. (2012?四川)某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千克;生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克,B 原料 1 千克.每桶甲产品的利润是 300 元,每桶乙产品的 利润是 400 元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗 A、B 原料都不超过 12 千克.通过合理 安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是( ) A. 1800 元 B. 2400 元 C. 2800 元 D. 3100 元

10. (2012?四川)如图,半径为 R 的半球 O 的底面圆 O 在平面 α 内,过点 O 作平面 α 的垂线交半球面 于点 A,过圆 O 的直径 CD 作平面 α 成 45°角的平面与半球面相交,所得交线上到平面 α 的距离最大的 点为 B,该交线上的一点 P 满足∠ BOP=60°,则 A、P 两点间的球面距离为( )

A.

B.

C.

D.

11. (2012?四川)方程 ay=b x +c 中的 a,b,c∈ {﹣3,﹣2,0,1,2,3},且 a,b,c 互不相同,在所 有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有( ) A. 60 条 B. 62 条 C. 71 条 D. 80 条

2 2

12. (2012?四川)设函数 f(x)=2x﹣cosx,{an}是公差为 则 A. 0 =( B. ) C.

的等差数列,f(a1)+f(a2)+…+f(a5)=5π,

D.

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题纸的相应位置上. ) 13. (2012?四川) 设全集 U={a, b, c, d}, 集合 A={a, b}, B={b, c, d}, 则 (?UA) ∪ (?UB) = _________ . 14. (2012?四川)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M、N 分别是 CD、CC1 的中点,则异面直线 A1M 与 DN 所成的角的大小是 _________ .

15. (2012?四川)椭圆

的左焦点为 F,直线 x=m 与椭圆相交于点 A、B,当△ FAB 的周长最大

时,△ FAB 的面积是 _________ .

2

16. (2012?四川)记[x]为不超过实数 x 的最大整数,例如,[2]=2,[1.5]=1,[﹣0.3]=﹣1.设 a 为正整数,

数列{xn}满足 x1=a, ① 当 a=5 时,数列{xn}的前 3 项依次为 5,3,2; ② 对数列{xn}都存在正整数 k,当 n≥k 时总有 xn=xk; ③ 当 n≥1 时, ; .

,现有下列命题:

④ 对某个正整数 k,若 xk+1≥xk,则 其中的真命题有 _________

. (写出所有真命题的编号)

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (2012?四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和 B,系统 A 和 B 在任意 时刻发生故障的概率分别为 和 p. ,求 p 的值;

(Ⅰ )若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为

(Ⅱ )设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ξ,求 ξ 的概率分布列及数学期望 Eξ.

18. (2012?四川)函数 f(x)=6cos

2

sinωx﹣3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示,A 为图

象的最高点,B、C 为图象与 x 轴的交点,且△ ABC 为正三角形. (Ⅰ )求 ω 的值及函数 f(x)的值域; (Ⅱ )若 f(x0)= ,且 x0∈ (﹣ ) ,求 f(x0+1)的值.

3

19. (2012?四川)如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,∠ APB=90°,∠ PAB=60°,AB=BC=CA,平面 PAB⊥ 平面 ABC. (Ⅰ )求直线 PC 与平面 ABC 所成角的大小; (Ⅱ )求二面角 B﹣AP﹣C 的大小.

20. (2012?四川)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a2an=S2+Sn 对一切正整数 n 都成立. (Ⅰ )求 a1,a2 的值; (Ⅱ )设 a1>0,数列 的前 n 项和为 Tn,当 n 为何值时,Tn 最大?并求出 Tn 的最大值.

4

21. (2012?四川)如图,动点 M 到两定点 A(﹣1,0) 、B(2,0)构成△ MAB,且∠ MBA=2∠ MAB,设 动点 M 的轨迹为 C. (Ⅰ )求轨迹 C 的方程; (Ⅱ )设直线 y=﹣2x+m 与 y 轴交于点 P,与轨迹 C 相交于点 Q、R,且|PQ|<|PR|,求 的取值范围.

5

22. (2012?四川)已知 a 为正实数,n 为自然数,抛物线 为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距. (Ⅰ )用 a 和 n 表示 f(n) ; (Ⅱ )求对所有 n 都有 成立的 a 的最小值;

与 x 轴正半轴相交于点 A,设 f(n)

(Ⅲ )当 0<a<1 时,比较



的大小,并说明理由.

6

7

2012 年四川省高考数学试卷(理科)
一 DBABD CCBCA BD 90° .15. 3 .16. ① ③ ④ . 二 13.{a,c,d} .14. 三、解答题 17.

解: (Ⅰ )设“至少有一个系统不发生故障”为事件 C,则 ∴ ;

(Ⅱ )ξ 的可能取值为 0,1,2,3 P(ξ=0)= P(ξ=2)= ∴ ξ 的分布列为 ξ P 0 1 2 3 ;P(ξ=1)= = ;P(ξ=3)= ; ;

18.

解: (Ⅰ )由已知可得,f(x)=3cosωx+ =2 sin(ωx+ ) ,

sinωx

又正三角形 ABC 的高为 2

,从而 BC=4, =8,ω= ]…6 分 sin( ,知 x0+ x0+ )= ∈ (﹣ , , ) , ,

∴ 函数 f(x)的周期 T=4×2=8,即 ∴ 数 f(x)的值域为[﹣2 (Ⅱ )∵ f(x0)= 即 sin( x0+ ,2

,由(Ⅰ )有 f(x0)=2 )= ,由

∴ cos(

x0+

)=

= .

∴ f(x0+1)=2 ( =2 = 19 x0+ ( × …12 分

sin( ]

x0+

+

)=2

sin[(

x0+

)+

]=2

[sin(

x0 +

)cos

+cos

)sin + ×



(Ⅰ )设 AB 中点为 D,AD 中点为 O,连接 OC,OP,CD. 因为 AB=BC=CA,所以 CD⊥ AB, 因为∠ APB=90°,∠ PAB=60°,所以△ PAD 为等边三角形,所以 PO⊥ AD,又平面 PAB⊥ 平面 ABC,平 面 PAB∩ 平面 ABC=AD.

8

⊥ 平面 ABC,∠ OCP 为直线 PC 与平面 ABC 所成的角 21 PO 解: (Ⅰ )设 M 的坐标为( x, y) ,显然有 x> 0,且 y≠0 不妨设 PA=2,则 OD=1 , OP= ,AB=4 . 当∠ MBA=90 °时,点 M 的坐标为( 2,±3 ) 所以 CD=2 ,OC= = = 当∠ MBA≠90°时,x≠2,由∠ MBA=2∠ MAB 有 tan∠ MBA= ,

在 RT△ OCP 中, tan ∠ OCP= = = . 2 2 化简可得 3x ﹣y ﹣3=0 2 2 而点(2,±3)在曲线 3x ﹣y ﹣3=0 上 故直线 PC 与平面 ABC 所成的角的大小为 arctan . 2 2 综上可知,轨迹 C 的方程为 3x ﹣y ﹣3=0(x>1) ; 2 2 2 2 (Ⅱ )过 D 作y= DE ⊥ AP 于与 E,连接 (Ⅱ )直线 ﹣ 2x+m 3x ﹣y CE ﹣. 3=0(x>1)联立,消元可得 x ﹣4mx+m +3=0① 由已知,可得 CD⊥ 平面 PAB .根据三垂线定理知,CE⊥ PA.所以∠ CED 为二面角 ∴ ① 有两根且均在( 1,+ ∞)内 B﹣AP﹣C 的平面角.由(Ⅰ )知,DE=
2 2 . ﹣设 APf﹣ 的大小为 arctan2 (C x) =x ﹣4mx+m +3,∴ 解: (I)当 n=1 时,a2a1=s2+s1=2a1+a2①

,在 RT△ CDE 中,tan∠ CED=

=

=2,故二面角 B

,∴ m>1,m≠2

20

当 n=2 时,得 ② 设 Q,R 的坐标分别为(xQ,yQ) , (xR,yR) , ② ﹣① 得,a2(a2﹣a1)=a2③ ∵ |PQ|<|PR| ,∴ xR=2m+ ,xQ=2m﹣ 若 a2=0,则由(I)知 a1=0, 若 a2≠0,则 a2﹣a1=1④ ∴ = = ① ④ 联立可得 或 ∵ m>1,且 m≠ 2 a =0 或 综上可得, a1=0 , 2 ∴ (II)当 a1>0,由(I)可得 当 n≥2 时, ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 的取值范围是(1,7)∪ (7,7+4 (n≥2) = ) , ,且 或



,且



由(I)可知

=

=

∴ {bn}是单调递减的等差数列,公差为﹣ lg2 ∴ b1>b2>…>b7= 当 n≥8 时,

∴ 数列

的前 7 项和最大,

=

=7﹣

9

766398

22. 解: (Ⅰ )∵ 抛物线

与 x 轴正半轴相交于点 A,∴ A(





求导得 y′ =﹣2x

∴ 抛物线在点 A 处的切线方程为

,∴
n

∵ f(n)为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距,∴ f(n)=a ; (Ⅱ )由(Ⅰ )知 f(n)=a ,则
n 3 n

成立的充要条件是 a ≥2n +1

n

3

即知,a ≥2n +1 对所有 n 成立,特别的,取 n=2 得到 a≥ 当 a= >2n +1 当 n=0,1,2 时,
3

, n≥3 时, a >4 = (1+3)≥1+

n

n

n

=1+2n +

3

∴ a=

时,对所有 n 都有 ;
k

成立

∴ a 的最小值为

(Ⅲ )由(Ⅰ )知 f(k)=a ,下面证明:

首先证明:当 0<x<1 时,
2

设函数 g(x)=

x(x ﹣x)+1,0<x<1,则 g′ (x)= 时,g′ (x)>0

x(x﹣ )

当 0<x< 时,g′ (x)<0;当

故函数 g(x)在区间(0,1)上的最小值 g(x)min=g( )=0 ∴ 当 0<x<1 时,g(x)≥0,∴

由 0<a<1 知 0<a <1,因此

k



从而

=



=



10

=

11


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