【课堂新坐标】2017届高三文科数学(通用版)二轮复习:专题限时集训7 用样本估计总体 Word版含解析

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专题限时集训(七)

用样本估计总体

建议 A、B 组各用时:45 分钟] A组 一、选择题 1.(2016· 山西考前模拟)某同学将全班某次数学考试成绩整理成频率分布直方 图后,并将每个小矩形上方线段的中点连接起来得到频率分布折线图(如图 75所 示),据此估计此次考试成绩的众数是( ) 高考达标]

图 75 A.100 C.115 C B.110 D.120

分析频率分布折线图可知众数为 115,故选 C.]

2.(2016· 南昌二模)如图 76 所示是一样本的频率分布直方图.若样本容量为 100,则样本数据在 15,20)内的频数是( )

图 76 A.50 C.30 C B.40 D.14

因为 15,20]对应的小矩形的面积为 1-0.04×5-0.1×5=0.3,所以样本落

在 15,20]的频数为 0.3×100=30,故选 C.] 3.(2016· 青岛模拟)已知数据 x1,x2,x3,?,x50,500(单位:kg),其中 x1,x2, x3, ?, x50 是某班 50 个学生的体重, 设这 50 个学生体重的平均数为 x, 中位数为 y,

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则 x1,x2,x3,?,x50,500 这 51 个数据的平均数、中位数分别与 x,y 比较,下列 说法正确的是( ) 【导学号:85952030】 A.平均数一定变大,中位数一定变大 B.平均数一定变大,中位数可能不变 C.平均数可能不变,中位数可能不变 D.平均数可能不变,中位数可能变小 B 显然 500 大于这 50 个学生的平均体重, 则这 51 个数据的平均数一定增大,

中位数可能增大也可能不变,故选 B.] 4.(2016· 沈阳模拟)从某小学随机抽取 100 名同学,现已将他们的身高(单位: 厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图 77).若要从身高在 120,130),130,140), 140,150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取 18 人参加一项活动,则从身高在 140,150]内的学生中选取的人数应为( )

图 77 A.2 C.4 B B.3 D.5 依题意可得 10×(0.005+0.010+0.020+a+0.035)=1,解得 a=0.030,故

身高在 120,130),130,140),140,150]三组内的学生比例为 3∶2∶1,所以从身高在 140,150]内的学生中选取的人数应为 3.]

图 78 5.(2016· 郑州模拟)某车间共有 6 名工人,他们某日加工零件个数的茎叶图如 图 78 所示,其中茎为十位数,叶为个位数,日加工零件个数大于样本均值的工人 为优秀工人. 从该车间 6 名工人中, 任取 2 人, 则至少有 1 名优秀工人的概率为( 8 A.15
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)

4 B.9

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3 C.5 C 依题意,平均数 x =

1 D.9 20+60+30+?7+9+1+5? =22,故优秀工人只有 2 6

人,用 a,b 表示优秀工人,用 c,d,e,f 表示非优秀工人,故任取 2 人的情况如 下: (a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c, d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f)共 15 种,其中至少有 1 名优秀工人只有 9 3 9 种情况,故所求概率 P=15=5.] 二、填空题 6.某中学共有女生 2 000 人,为了了解学生体质健康状况,随机抽取 100 名女 生进行体质监测,将她们的体重(单位:kg)数据加以统计,得到如图 79 所示的频 率分布直方图,则直方图中 x 的值为________;试估计该校体重在 55,70)的女生有 ________人.

图 79 0.024 1 000 由 5×(0.06+0.05+0.04+x+0.016+0.01)=1,得 x=0.024.

在样本中,体重在 55,70)的女生的频率为 5×(0.01+0.04+0.05)=0.5, 所以该校体重在 55,70)的女生估计有 2 000×0.5=1 000 人.] 7.某校开展“ 爱我海西、爱我家乡” 摄影比赛,9 位评委为参赛作品 A 给出 的分数如茎叶图 710 所示. 记分员在去掉一个最高分和一个最低分后, 算得平均分 为 91,复核员在复核时,发现有一个数字(茎叶图中的 x)无法看清,若记分员计算 无误,则数字 x 应该是________.

图 710 1 当 x≥4 时,

89+89+92+93+92+91+94 640 = 7 ≠91, 7
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∴x<4,∴ ∴x=1.]

89+89+92+93+92+91+x+90 =91, 7

8.从甲、乙两种树苗中各抽测了 10 株树苗的高度,其茎叶图如图 711.根据茎 叶图,树苗的平均高度较高的是__________种树苗,树苗长得整齐的是__________ 种树苗. 【导学号:85952031】

图 711 乙 甲 根据茎叶图可知,甲种树苗中的高度比较集中,则甲种树苗比乙种树

苗长得整齐;而通过计算可得, x 甲=27, x 乙=30,即乙种树苗的平均高度大于甲 种树苗的平均高度.] 三、解答题 9.(2016· 太原二模)某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生,将他们的期中 考试数学成绩(满分 100 分,成绩均为不低于 40 分的整数)分成如下六段:40,50), 50,60),?,90,100],得到如图 712 所示的频率分布直方图.

图 712 (1)若该校高一年级共有学生 640 名, 试估计该校高一年级期中考试数学成绩不 低于 60 分的人数; (2)在抽取的 40 名学生中,若从数学成绩在 40,50)与 90,100]两个分数段内随机 选取 2 名学生,求这 2 名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率. 解] (1)由 10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1,得 a=0.03.2 分

根据频率分布直方图, 成绩不低于 60 分的频率为 1-10×(0.005+0.01)=0.85.4 分
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估计期中考试数学成绩不低于 60 分的人数约为 640×0.85=544(人).6 分 (2)成绩在 40,50)分数段内的人数为 40×0.05=2,成绩在 90,100]分数段内的人 数为 40×0.1=4,则记在 40,50)分数段的两名同学为 A1,A2,在 90,100]分数段内的 同学为 B1,B2,B3,B4. 若从这 6 名学生中随机抽取 2 人,则总的取法共有 15 种.8 分 如果 2 名学生的数学成绩都在 40,50)分数段内或都在 90,100]分数段内, 那么这 2 名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10, 则所取 2 名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的取法有(A1,A2),(B1, B2),(B1,B3),(B1,B4),(B2,B3),(B2,B4),(B3,B4),共 7 种取法,所以所求概 7 率为 P=15.12 分 10.(2016· 郑州一模)为了整顿道路交通秩序,某地考虑将对行人闯红灯进行处 罚.为了更好地了解市民的态度,在普通行人中随机选取了 200 人进行调查,当不 处罚时,有 80 人会闯红灯,处罚时,得到如下数据: 处罚金额 x(单位:元) 会闯红灯的人数 y 若用表中数据所得频率代替概率. (1)当罚金定为 10 元时,行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少? (2)将先取的 200 人中会闯红灯的市民分为两类:A 类市民在罚金不超过 10 元 时就会改正行为;B 类是其他市民.现对 A 类与 B 类市民按分层抽样的方法抽取 4 人依次进行深度问卷,则前两位均为 B 类市民的概率是多少. 解] (1)设“当罚金定为 10 元时,闯红灯的市民改正行为”为事件 A,2 分 5 50 10 40 15 20 20 10

40 1 则 P(A)=200=5.4 分 1 所以当罚金定为 10 元时,比不制定处罚,行人闯红灯的概率会降低5.6 分 (2)由题可知 A 类市民和 B 类市民各有 40 人,故分别从 A 类市民和 B 类市民中 各抽出 2 人,设从 A 类市民中抽出的 2 人分别为 A1,A2,从 B 类市民中抽出的 2 人分别为 B1,B2.设“A 类与 B 类市民按分层抽样的方法抽取 4 人依次进行深度问 卷”为事件 M,8 分 则事件 M 中首先抽出 A1 的事件有:(A1,A2,B1,B2),(A1,A2,B2,B1),(A1, B1,A2,B2),(A1,B1,B2,A2),(A1,B2,A2,B1),(A1,B2,B1,A2),共 6 种. 同理首先抽出 A2,B1,B2 的事件也各有 6 种.
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故事件 M 共有 24 种.10 分 设“抽取 4 人中前两位均为 B 类市民”为事件 N,则事件 N 有(B1,B2,A1, A2),(B1,B2,A2,A1),(B2,B1,A1,A2),(B2,B1,A2,A1). 4 1 ∴P(N)=24=6.12 分 B组 一、选择题 1.已知甲、乙两组数据的茎叶图如图 713 所示,若它们的中位数相同,平均 m 数也相同,则图中的 m,n 的比值 n =( ) 名校冲刺]

图 713 A.1 3 C.8 C 由茎叶图可知乙的中位数是 1 B.3 2 D.9 32+34 2 =33,根据甲、乙两组数据的中位数相

同,可得 m=3,所以甲的平均数为

27+33+39 =33,又由甲、乙两组数据的平均 3

20+n+32+34+38 m 3 数相同,可得 = 33 ,解得 n = 8 ,所以 4 n =8,故选 C.] 2.(2016· 山西四校二联)某学校组织学生参加数学测试,成绩的频率分布直方 图如图 714,数据的分组依次为 20,40),40,60),60,80),80,100),若低于 60 分的 人数是 15,则该班的学生人数是( )

图 714 A.45 C.55
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B.50 D.60

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B =50.]

15 ∵20,40),40,60)的频率为(0.005+0.01)×20=0.3,∴该班的学生人数是0.3

3.为了了解某城市今年准备报考飞行员的学生的体重情况,将所得的数据整 理后,画出了频率分布直方图(如图 715),已知图中从左到右的前 3 个小组的频率 之比为 1∶ 2∶ 3,第 2 小组的频数为 120,则抽取的学生人数是( )

图 715 A.240 C.320 D B.280 D.480

由频率分布直方图知:学生的体重在 65~75 kg 的频率为(0.012 5+0.037

5)× 5=0.25, 则学生的体重在 50~65 kg 的频率为 1-0.25=0.75.从左到右第 2 个小组的频率 2 为 0.75×6=0.25. 所以抽取的学生人数是 120÷ 0.25=480,故选 D.] 4.3 个老师对某学校高三三个班级各 85 人的数学成绩进行分析,已知甲班平 均分为 116.3 分,乙班平均分为 114.8 分,丙班平均分为 115.5 分,成绩分布直方图 如图 716,据此推断高考中考生发挥差异较小的班级是( )

图 716 A.甲 C.丙 C B.乙 D.无法判断

由于平均分相差不大,由直方图知丙班中,学生成绩主要集中在 110~120

区间上且平均分较高,其次是乙,分数相对甲来说比较集中,相对丙而言相对分 散.数据最分散的是甲班,虽然平均分较高,但学生两极分化,彼此差距较大,根 据标准差的计算公式和性质知甲的方差大于乙的方差大于丙的方差,所以丙班的学 生发挥差异较小.故选 C.]
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二、填空题 5.已知某单位有 40 名职工,现要从中抽取 5 名职工,将全体职工随机按 1~ 40 编号,并按编号顺序平均分成 5 组.按系统抽样方法在各组内抽取一个号码.

图 717 (1)若第 1 组抽出的号码为 2,则所有被抽出职工的号码为________; (2)分别统计这 5 名职工的体重(单位:kg),获得体重数据的茎叶图如图 717 所 示,则该样本的方差为________. (1)2,10,18,26,34 2,10,18,26,34. 1 (2) x =5(59+62+70+73+81)=69. 1 s2=5(59-69)2+(62-69)2+(70-69)2+(73-69)2+(81-69)2]=62.] 6. 如图 718 是某个样本的频率分布直方图, 分组为 100,110), 110,120), 120,130), 130,140),140,150),已知 a,b,c 成等差数列,且区间 130,140)与 140,150)上的数 据个数相差 10,则区间 110,120)上的数据个数为__________. (2)62 40 (1)分段间隔为 5 =8,则所有被抽出职工的号码为

图 718 20 由频率分布直方图得 130,140)上的频率为 0.025×10=0.25,

140,150)上的频率为 0.015×10=0.15. 设样本容量为 x,则由题意知 0.25x-0.15x=0.1x=10,解得 x=100. 因为 a,b,c 成等差数列,则 2b=a+c. 又 10a+10b+10c=1-0.25-0.15=0.6?a+b+c=0.06?3b=0.06,解得 b= 0.02. 故区间 110,120)上的数据个数为 10×0.020×100=20.]
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三、解答题 7.从甲、乙两部门中各任选 10 名员工进行职业技能测试,测试成绩(单位:分) 数据的茎叶图如图 719(1)所示:

(1) 图 719

(2)

(1)分别求出甲、乙两组数据的中位数,并比较两组数据的分散程度(只需给出 结论); (2)甲组数据频率分布直方图如图 719(2)所示,求 a,b,c 的值; (3)从甲、乙两组数据中各任取一个,求所取两数之差的绝对值大于 20 的概率. 解] (1)甲组数据的中位数为 78+79 75+82 乙组数据的中位数为 2 =78.5. 2 =78.5,

从茎叶图可以看出,甲组数据比较集中,乙组数据比较分散.3 分 (2)由题图易知 a=0.05,b=0.02,c=0.01.7 分 (3)从甲、乙两组数据中各任取一个,得到的所有基本事件共有 100 个,其中满 16 4 足“两数之差的绝对值大于 20”的基本事件有 16 个,故所求概率 P=100=25.12 分 8.(2016· 河南六市联考)在某大学自主招生考试中,所有选报Ⅱ类志向的考生 全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试, 成绩分为 A, B, C, D,E 五个等级.某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图 720 所示,其中“数 学与逻辑”科目的成绩为 B 的考生有 10 人.

图 720 (1)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为 A 的人数; (2)若等级 A,B,C,D,E 分别对应 5 分,4 分,3 分,2 分,1 分,求该考场 考生“数学与逻辑”科目的平均分;

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(3)已知参加本考场测试的考生中,恰有 2 人的两科成绩均为 A,在至少一科成 绩为 A 的考生中,随机抽取 2 人进行访谈,求这 2 人的两科成绩均为 A 的概率. 解] (1)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生有 10 人,所以该考场

有 10÷ 0.25=40(人),2 分 所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为 A 的人数为 40×(1- 0.375-0.375-0.15-0.025)=40×0.075=3.4 分 (2)该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为 1×(40×0.2)+2×(40×0.1)+ 3×(40×0.375)+4×(40×0.25)+5×(40×0.075)]÷ 40=2.9.8 分 (3)由题图可知,“数学与逻辑”科目的成绩为 A 的有 3 人,“阅读与表达”科 目的成绩为 A 的有 3 人,因为恰有 2 人的两科成绩等级均为 A,所以还有 2 人只有 一个科目得分为 A. 设这 4 人为甲,乙,丙,丁,其中甲,乙是两科成绩都是 A 的同学,则在至少 一科成绩等级为 A 的考生中,随机抽取 2 人进行访谈,基本事件空间为 Ω={{甲, 乙},{甲,丙},{甲,丁},{乙,丙},{乙,丁},{丙,丁}},一共有 6 个基本事 件. 设“随机抽取 2 人进行访谈,这 2 人的两科成绩等级均为 A”为事件 B,所以 1 事件 B 中包含的基本事件有 1 个,则 P(B)=6.12 分

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