高二数学周日试卷理科答案

数学答案(理科)
一、选择题 题号 答案 【答案】D 【解析】 观察发现幂指数是奇数的,结果后三位数字为 125,故排除 B、 C 选项;而 52011 ? 3125 , 故 A 也不正确, 所以选 D. 二、填空题: 11. 4 ? 4i 14. 84 12. 1 B 2 D 3 A 4 C 5 A 6 D 7 C 8 D 9 A 10 B

1 3
2

13. ? 5 ? a ? 1且a ? ?

1 2

【答案】

x (n ? 1) x ? n 2

【 解 析 】 观 察 知 : 四 个 等 式 等 号 右 边 的 分 母 为 x ? 2,3x ? 4,7 x ? 8,15x ? 16 , 即

(2 ?1) x ? 2,(4 ?1) x ? 4,(8 ?1) x ? 8,(16 ?1) x ? 16 , 所以归纳出分母为 fn ( x ) ? f ( fn?1 (x ))
的分母为 (n2 ?1) x ? n2 ,故当 n ? N 且 n ? 2 时, f n ( x) ? f ( f n?1 ( x)) ?
?

x . (n ? 1) x ? n 2
2

15.

abc a 2b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2
1 3 x ? mx 2 ? nx ,? f ' ?x ? ? x 2 ? 2mx ? n 3

三、解答题: 16.解: (1)已知 f ? x ? ?

' 2 又? g ?x ? ? f ?x ? ? 2 x ? 3 ? x ? ?2m ? 2?x ? n ? 3 在 x ? ?2 处取极值, ' 则 g ?? 2? ? 2?? 2? ? ?2m ? 2? ? 0 ? m ? 3 ,又在 x ? ?2 处取最小值-5.

则 g ?? 2? ? ?? 2? ? ?? 2? ? 4 ? n ? 3 ? ?5 ? n ? 2 ,? f ? x ? ?
2

1 3 x ? 3x 2 ? 2 x 3

(2)要使 f ? x ? ?

1 3 x ? mx 2 ? nx 单调递减,则? f ' ?x ? ? x 2 ? 2mx ? n ? 0 3
' 2

又递减区间长度是正整数,所以 f ?x ? ? x ? 2mx ? n ? 0 两根设做 a,b。即有: b-a 为区间长度。又 b ? a ?

?a ? b?2 ? 4ab ?

4m 2 ? 4n ? 2 m 2 ? n ?m, n ? N ? ?

又 b-a 为正整数,且 m+n<10,所以 m=2,n=3 或, m ? 3, n ? 5 符合。

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17 .解: ( 1 )根据题意有 S ? 602 ? 4 x2 ? (60 ? 2 x)2 ? 240 x ? 8x2 ? ?8( x ?15)2 ? 1800 (0<x<30), 所以 x=15cm 时包装盒侧面积 S 最大. (2)根据题意有 V ? ( 2 x) 所以, V ' ? 6 2x(20 ? x), 当 0 ? x ? 20, 时, V ? ? 0,V 递增;当20 ? x ? 30时,V?<0,V 递减 , 所以,当 x=20 时,V 取极大值也是最大值.
2

2 (60 ? 2 x) ? 2 2 x 2 (30 ? x)(0 ? x ? 30) , 2

2 (60-2x) 1 2 ? . 此时,包装盒的高与底面边长的比值为 2 2x
即 x=20 包装盒容积 V(cm )最大, 此时包装盒的高与底面边长的比值为
3

1 2

18.解: (Ⅰ)定义域为 ? ?1, ?? ? , f '( x ) ?

2a ? 1 ………2 分 1? x

令 f '( x) ? 0 ? ?1 ? x ? 2a ? 1 ,令 f '( x) ? 0 ? x ? 2a ? 1 故 f ( x ) 的单调递增区间为 ? ?1,2a ?1? , f ( x ) 的单调递减区间为

? 2a ?1, ???

f ( x) 的极大值为 2a ln 2a ? 2a ? 1
(1? n )n nn

lg e lg e lg e (Ⅱ)证:要证 4lg e ? ? ? ??? ? ? lg e 2 3 n
(1?n ) n nn

(n ? 1)
(1?n ) n

1 1 1 1 1 1 lg e ( n ?1) nn 即证 4 ? ? ? ??? ? ? , 即证 4 ? ? ? ??? ? ? ln e ( n ?1) 2 3 n 2 3 n lg e 1 1 1 1 n 即证 1 ? ? ? ??? ? ? 3 ? ln( n ?1) ? (1 ? ) ……………………8 分 2 3 n n 1 令 a ? ,由(Ⅰ)可知 f ( x ) 在 (0, ??) 上递减,故 f ( x) ? f (0) ? 0 2 1 1 n ?1 1 * ? ln( n ? 1) ? ln n ? 即 ln(1 ? x) ? x ,令 x ? (n ? N ) ,故 ln(1 ? ) ? ln n n n n 1 1 1 累加得, ln(n ? 1) ? 1 ? ? ? ??? ? ………………………………11 分 2 3 n 1 1 1 1 ln(1 ? ) ? ? ln(1 ? ) n ? 1 ? (1 ? ) n ? e ? 3 n n n n
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1 1 1 1 ? ? ??? ? ? 3 ? ln(n ? 1) ? (1 ? ) n ,得证………………14 分 2 3 n n 1 n 1 1 1 1 1 0 1 2 n 1 法二: (1 ? ) = Cn ? Cn ? Cn 2 ? ??? ? Cn n ? 2 ? ? ? ??? ? n n n n 2! 3! n! 1 1 (1 ? ) n ?1 1 1 1 1 2 2 ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? n? ? 2 ? 其余相同证法. ? 3 ? n ?1 ? 3 …………11 分, 1 2 2 2 2 1? 2 19.证明:因为 a ? 0
故1 ? 所以 a ?
2

1 1 ? 2 ? 0,a ? ? 2 ? 0 2 a a

要证: a ?
2

1 1 1 1 ? 2 ? a ? ? 2 即证: ( a 2 ? 2 ? 2)2 ? (a ? ? 2)2 2 a a a a
1 1 1 1 ? 2(a ? ? 1) 即证: a 2 ? 2 ? 4(a ? ) ? 6 ? 0 2 a a a a
2

即证: a ?
2

1 ? 2) 2 ? 0 上式显然成立,所以原不等式成立. a 1 (2 x ? 1)(ax ? 1) . 20. 21 . 解: (I)f ( x)的定义域为(0, ??), f ?( x) ? ? 2ax ? (2 ? a) ? ? x x (a ? ) ? 4(a ? ) ? 4 ? 0 即证: (a ? 即证:
(i)若 a ? 0, 则f ?( x) ? 0, 所以f ( x) 在(0, ??) 单调增加. ( ii ) 若

1 a

1 a

a ? 0 则由 ,?

1 f 得 ? (x a

) 且?

x 当 0

,

1 1 x ? (0, )时, f ?( x) ? 0, 当x ? 时, f ?( x) ? 0. a a 1 1 所以 f ( x)在(0, ) 单调增加,在 ( , ??) 单调减少. ………………4 分 a a 1 1 (II)设函数 g ( x) ? f ( ? x) ? f ( ? x), 则 a a

g ( x) ? ln(1 ? ax) ? ln(1 ? ax) ? 2ax, g ?( x) ? a a 2a 3 x 2 ? ? 2a ? . 1 ? ax 1 ? ax 1 ? a2 x2

1 时, g ?( x) ? 0, 而g (0) ? 0, 所以g ( x) ? 0 . a 1 1 1 故当 0 ? x ? 时 , f ( ? x) ? f ( ? x). ………………8 分 a a a
当0 ? x ? (III)由(I)可得,当 a ? 0时,函数y ? f ( x) 的图像与 x 轴至多有一个交点, 故 a ? 0 ,从而 f ( x ) 的最大值为 f ( ), 且f ( ) ? 0.

1 a

1 a

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不妨设 A( x1 , 0), B( x2 , 0), 0 ? x1 ? x2 , 则0 ? x1 ? 由 (II) 得 f(

1 ? x2 . a
从而 x2 ?

2 1 1 ?x ) ? ? x )? x)? . 1 ?f ( 1 f ( 10 a a a
………………12 分

x ? x2 1 2 ? x1 , 于是x0 ? 1 ? . a 2 a

由(I)知, f ?( x0 ) ? 0.

21.解:因为对任意的 n ? N ,点 (n, Sn ) ,均在函数 y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数 的 图 像 上 . 所 以 得 Sn ? n b? , 当 n ? 1 时 , a1 ? S1 ? b ? r , 当 n ? 2 r

?

时, an ? Sn ? Sn?1 ? bn ? r ? (bn?1 ? r ) ? bn ? bn?1 ? (b ?1)bn?1 ,又因为{ an }为等比数列,所以

r ? ?1 ,公比为 b , an ? (b ?1)bn?1
(2)当 b=2 时, an ? (b ?1)bn?1 ? 2n?1 , 则

bn ? 2(log2 an ?1) ? 2(log2 2n?1 ?1) ? 2n
2n ? 1 2n

bn ? 1 2n ? 1 b ?1 3 5 7 b ? 1 b2 ? 1 ,所以 1 ? · · · · · · ·n ? ? ? b1 b2 bn 2 4 6 bn 2n

w. w.w. k. s.5.u.c.o.m

下面用数学归纳法证明不等式

b ?1 3 5 7 b1 ? 1 b2 ? 1 · · · · · · ·n ? ? ? b1 b2 bn 2 4 6

2n ? 1 ? n ? 1 成立. 2n

① 当 n ? 1 时,左边=

3 3 ,右边= 2 ,因为 ? 2 ,所以不等式成立. 2 2

② 假设当 n ? k 时不等式成立,即

b ?1 3 5 7 b1 ? 1 b2 ? 1 · · · · · · ·k ? ? ? b1 b2 bk 2 4 6

2k ? 1 ? k ? 1 成立. 2k ? 2k ? 1 2 k ? 3 ? 2k 2k ? 2

则当 n ? k ? 1 时,左边=

b ? 1 bk ?1 ? 1 3 5 7 b1 ? 1 b2 ? 1 · · · · · · ·k ? ? ? ? b1 b2 bk bk ?1 2 4 6

? k ?1 ?

2k ? 3 (2k ? 3) 2 4(k ? 1) 2 ? 4(k ? 1) ? 1 1 ? ? ? (k ? 1) ? 1 ? ? (k ? 1) ? 1 2k ? 2 4(k ? 1) 4(k ? 1) 4(k ? 1)
w.w.w. k.s.5. u.c.o.m

所以当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 由①、②可得不等式恒成立.

【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知 Sn

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