2015届高考数学大一轮复习 基本不等式精品试题 理(含2014模拟试题)

2015 届高考数学大一轮复习 基本不等式精品试题 理(含 2014 模拟 试题)

1.(2014 重庆一中高三下学期第一次月考,4)已知实数 为( )

满足

,则

的值域

(A)

(B)

(C)

(D)

[解析] 1.





,所以

.

2. (2014 湖北黄冈高三 4 月模拟考试,7) 若实数 、 的取值范围是( )

、 满足

,则

A.

B.

C.

D.

[解析] 2.因为

,所以

,所以





;又因为



1

所以

,所以

的取值范围是

.

3. (2014 河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 10) 已知 , 是两个互相垂直的单位向量, 且 A. 2 ,则对任意的正实数 , 的最小值是( )

B. C. 4

D.

[解析] 3.

是互相垂直的单位向量,设











,即











,当且仅当

时取等号,

,故

的最小值为

.

4.(2013 年广东省广州市高三 4 月综合测试,7,5 分)某辆汽车购买时的费用是 15 万元, 每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为 1.5 万元.年维修保养费用第一年 3000 元,以后 逐年递增 3000 元, 则这辆汽车报废的最佳年限 (即使用多少年的年平均费用最少) 是( ) A. 8 年 B. 10 年 C. 12 年 D. 15 年

[解析] 4.设使用 年的年平均费用为 万元,则

2

,当

且仅当

,即

时等号成立,故这辆汽车报废的最佳年限是 10 年.

5. (2013 山东, 12,5 分) 设正实数 x, y, z 满足 x -3xy+4y -z=0. 则当 取得最大值时, + 的最大值为( )

2

2

A. 0

B. 1
2 2

C.
2

D. 3
2

[解析] 5.由 x -3xy+4y -z=0, 得 z=x -3xy+4y ,

∴ =

=

.

又 x、y、z 为正实数, ∴ + ≥4, 当且仅当 x=2y 时取等号, 此时 z=2y .
2

∴+ -= + -

=-

+ =-

+1, 当 =1, 即 y=1 时, 上式有最大值 1, 故选 B.

6.(2014 山东青岛高三第一次模拟考试, 14) 已知 的最小值为__________.

均为正实数, 且

, 则

[解析] 6. 或 为 9.

因为

均为正数,且 (舍去),所以

,所以 9,当且仅当 时取等号.故

,解得 的最小值

7. (2014 广东广州高三调研测试,12) 已知点 数)上, 为曲线在点

在曲线

(其中 为自然对数的底

处的切线的倾斜角,则

的取值范围是_______.

3

[解析] 7.

由导数的几何意义

,又因为 ,故 .

,所以

8. (2014 山东潍坊高三 3 月模拟考试数学 (理) 试题, 13) 若 的最大值为 [解析] 8. .

, 则

(当且仅当

时等号成立).

9.(2014 湖北八校高三第二次联考数学(理)试 题,12)已知正数 x, y, z 满足 x+2y+3z=1,

则 [解析]

的最小值为



9.

, 而 小值为 18.

, 所以

的最

10. (2014 湖南株洲高三教学质量检测 (一) , 10) 已知 ,若 是 , . 和



内的一点, 且 的最小值



的面积分别为, , ,则

4

[解析] 10.

由已知得





,即





. 上,其中 ,则

11. (2014 天津七校高三联考, 12) 若点 (-2, -1) 在直线 的最小值为 [解析] 11. 点 在直线 . 上, ,即

,又



,当且仅当

,即

时取等号.



的最小值为 8.

12.(2014 广州高三调研测试, 12) 已知点 在曲线 为曲线在点 处的切线的倾斜角,则 的取值范围是

(其中 为自然对数的底数)上, .

[解析] 12.

, 又



, 即

的取值范围是

.

13.(2013 湖北黄冈市高三三月质量检测,14,5 分)已知椭圆 是椭圆上两点,有下列三个不等式

① 是





. 其中不等式恒成立的序号

. (填 所有正确命题的序号)

[解析] 13.对于①,不妨设

,易知当直线

与椭圆

在第一象限

相切时,

取得最大值, 由

, 得





5



,得

,此时

,故此时

. 故 故①正确;

. 故

.

对于②,在①式中,令

,得

,故②正确;对于③,由

两式相乘得

,故

.故

.



. 故③正确.

14.(2013 年四川成都市高新区高三 4 月月考,13,5 分)已知向量 ,且 为 . ,若正数 满足 ,则

的模长都为 的最大值

[解析] 14. 由

平方,得

, 得

,化简得 . 即 的最大值为 2.

,解得

15. (2013 陕西, 15A, 5 分) 已知 a, b, m, n 均为正数, 且 a+b=1, mn=2, 则(am+bn) (bm+an) 的最小值为 . [解析] 15.(am+bn) (bm+an) =ab(m +n ) +mn(a +b ) ≥2mnab+mn(a +b ) =mn(a+b) =mn=2,
2 2 2 2 2 2 2

当且仅当 m=n=

时等号成立.

16.(2013 江苏,13,5 分)在平面直角坐标系 xOy 中, 设定点 A(a, a), P 是函数 y= (x> 0)

6

图象上一动点. 若点 P, A 之间的最短距离为 2 为 .

, 则满足条件的实数 a 的所有值

[解析] 16.设 P

,

则|PA| =(x-a) +

2

2

=

-2a

+2a -2,

2

令 t=x+ ≥2(当且仅当 x=1 时取“=” 号), 则|PA| =t -2at+2a -2. (1) 当 a≤2 时, (|PA| )
2 2 min 2 2 2

=2 -2a×2+2a -2=2a -4a+2,

2

2

2

由题意知, 2a -4a+2=8, 解得 a=-1 或 a=3(舍). (2) 当 a> 2 时, (|PA| )
2 min

=a -2a×a+2a -2=a -2.

2

2

2

由题意知, a -2=8, 解得 a=

2

或 a=-

(舍),

综上知, a=-1 或

.

17.(2013 天津,14,5 分) 设 a+b=2, b> 0, 则当 a=

时,

+ 取得最小值.

[解析] 17.∵a+b=2, ∴

+ =

+ =

+ =

+

+ ≥

+2

=

+1.

当且仅当

= 且 a< 0, 即 b=-2a, a=-2 时,

+ 取得最小值. 中,已知直线 的参数方

18.(2014 江苏苏北四市高三期末统考, 21C) 在平面直角坐标系

7

程是

( 为参数);以

为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 圆 的极坐标方程为 向圆 引切线,求切线长的最小值.

. 由直线 上的点

[解析] 18.因为圆 的极坐标方程为



所以



所以圆 的直角坐标方程为

,圆心为

, 半径为 1, (4 分)

因为直线 的参数方程为

( 为参 数),

所以直线 上的点

向圆 C 引切线长是



所以直线 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 D. (2014 江苏苏北四市高三期末统考, 21D) 已知 .

. (10 分) 均为正数, 证明:

证法一

因为

均为正数,由均值不等式得



因为

,所以

. (5 分)



.

8

又3

,所以原不等式成立. (10 分)

证法二

因为

均为正数,由基本不等式得





.

所以

.

同理

,(5 分)

所以 所以原不等式成立. (10 分)

.

19. (2014 江苏苏北四市高三期末统考, 17) 某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所 示) ,该扇环面是由以点 为圆心的两个同 心圆弧和延长后通过点 的两条直线段围成. 按设计要求扇环面的周长为 30 米,其中大圆 弧所在圆的半径为 10 米. 设小圆弧所在圆的半径为 米,圆心角为 (弧度). (Ⅰ)求 关于 的函数关系式; (Ⅱ)已知在花坛的边缘(实线部分) 进行装饰时,直线部分的装饰费用为 4 元/米, 弧线部分的装饰费用为 9 元/米. 设花坛的面积与装饰总费用的比为 ,求 关于 的 函数关系式,并求出 为何值时, 取得最大值?

[解析] 19.

解析 (Ⅰ)设扇环的圆心角为?,则



所以

,(4 分)

9

(Ⅱ)花坛的面积为

.

装饰总费用为

,(9 分)

所以花坛的面积与装饰总费用的比



令 答:当

,则

,当且仅当 t=18 时取等号,此时

.

时,花坛的面积与装饰总费用的比最大. (14 分)

(注:对 也可以通过求导,研究单调性求最值,同样给分)

20. (本题满分 12 分)设关于 不等式

的解集为 ,且



.

(1)

,

恒成立,且

,求 的值;

(2)若

,求

的最小值并指出取得最小值时 的值.

[解析] 20.(1)







,

, 又 . (5 分)

(2)

,

10

当且仅当

,即

时上式取等号



所以,

的最小值是

,取最小值时

.

(12 分) .

21.(2013 年湖北七市高三 4 月联考,22,14 分) 已知函数 f(x) =lnx,g(x) =k·

(I) 求函数 F(x) = f(x) - g(x) 的单调区间; (Ⅱ) 当 x> 1 时,函数 f(x) > g(x) 恒成立, 求实数 k 的取 值范围; (Ⅲ) 设正实数 a1,a2,a3,?,an 满足 a1+a2+a3+?+an=1,

求证:ln(1+

) +ln(1+

) +?+ln(1+

) >

.

21. 22.(2013 课标Ⅱ,24,10 分)设 a, b, c 均为正数, 且 a+ b +c=1, 证明:

(Ⅰ) ab+bc+ca≤ ;

(Ⅱ) 22.

+ + ≥1.

23.(2013 课标Ⅱ, 17,12 分)△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 a=bcos C+csin B. (Ⅰ) 求 B; (Ⅱ) 若 b=2, 求△ABC 面积的最大值. 23.

11

答案和解析 理数 [答案] 1. C

[解析] 1.





,所以

. [答案] 2. A

[解析] 2.因为

,所以

,所以





;又因为



所以 [答案] 3. B

,所以

的取值范围是

.

[解析] 3.

是互相垂直的单位向量,设











,即











,当且仅当

时取等号,

,故 [答案] 4.B

的最小值为

.

[解析] 4.设使用 年的年平均费用为 万元,则

12

,当

且仅当

,即

时等号成立,故这辆汽车报废的最佳年限是 10 年.

[答案] 5.B [解析] 5.由 x -3xy+4y -z=0, 得 z=x -3xy+4y ,
2 2 2 2

∴ =

=

.

又 x、y、z 为正实数, ∴ + ≥4, 当且仅当 x=2y 时取等号, 此时 z=2y .
2

∴+ -= + [答案] 6. 9

=-

+ =-

+1, 当 =1, 即 y=1 时, 上式有最大值 1, 故选 B.

[解析] 6. 或 为 9.

因为

均为正数,且 (舍去),所以

,所以 9,当且仅当 时取等号.故

,解得 的最小值

[答案] 7. [解析] 7. 由导数的几何意义

,又因为 ,故 .

,所以

[答案] 8.

13

[解析] 8.

(当且仅当 [答案] 9. [解析] 18

时等号成立).

9.

, 而 小值为 18. [答案] 10. 18

, 所以

的最

[解析] 10.

由已知得





,即



而 [答案] 11. [解析] 11. 8 点 在直线 上,

.

,即

,又



,当且仅当

,即

时取等号.



的最小值为 8.

14

[答案] 12.

[解析] 12. [答案] 13.①②③

, 又



, 即

的取值范围是

.

[解析] 13.对于①,不妨设

,易知当直线

与椭圆

在第一象限

相切时,

取得最大值, 由

, 得







,得

,此时

,故此时

. 故 故①正确;

. 故

.

对于②,在①式中,令

,得

,故②正确;对于③,由

两式相乘得

,故

.故

.



. 故③正确.

[答案] 14.2

[解析] 14. 由

平方,得

, 得

,化简得 . 即 的最大值为 2.

,解得

15

[答案] 15.2 [解析] 15.(am+bn) (bm+an) =ab(m +n ) +mn(a +b ) ≥2mnab+mn(a +b ) =mn(a+b) =mn=2,
2 2 2 2 2 2 2

当且仅当 m=n=

时等号成立.

[答案] 16.-1 或

[解析] 16.设 P

,

则|PA| =(x-a) +

2

2

=

-2a

+2a -2,

2

令 t=x+ ≥2(当且仅当 x=1 时取“=” 号), 则|PA| =t -2at+2a -2. (1) 当 a≤2 时, (|PA| )
2 2 min 2 2 2

=2 -2a×2+2a -2=2a -4a+2,

2

2

2

由题意知, 2a -4a+2=8, 解得 a=-1 或 a=3(舍). (2) 当 a> 2 时, (|PA| )
2 min

=a -2a×a+2a -2=a -2.

2

2

2

由题意知, a -2=8, 解得 a=

2

或 a=-

(舍),

综上知, a=-1 或 [答案] 17.-2

.

[解析] 17. ∵a+b=2, ∴

+ =

+ =

+ =

+

+ ≥

+2

=

+1.

16

当且仅当

= 且 a< 0, 即 b=-2a, a=-2 时,

+ 取得最小值.

[答案] 18.查看解析

[解析] 18.因为圆 的极坐标方程为



所以



所以圆 的直角坐标方程为

,圆心为

, 半径为 1, (4 分)

因为直线 的参数方程为

( 为参数),

所以直线 上的点

向圆 C 引切线长是



所以直线 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 D. (2014 江苏苏北四市高三期末统考, 21D) 已知 .

. (10 分) 均为正数, 证明:

证法一

因为

均为正数,由均值不等式得



因为

,所以

. (5 分)



.

又3

,所以原不等式成立. (10 分)

17

证法二

因为

均 为正数,由基本不等式得





.

所以

.

同理

,(5 分)

所以 所以原不等式成立. (10 分) [答案] 19.查看解析

.

[解析] 19.

解析 (Ⅰ)设扇环的圆心角为?,则



所以

,(4 分)

(Ⅱ)花坛的面积为

.

装饰总费用为

,(9 分)

所以花坛的面积与装饰总费用的比



令 答:当

,则

,当且仅当 t=18 时取等号,此时

.

时,花坛的面积与装饰总费用的比最大. (14 分)

(注:对 也可以通过求导,研究单调性求最值,同样给分) [答案] 20.查看解析

[解析] 20.(1)







,

18

, 又 . (5 分)

(2 )

,

当且仅当

,即

时上式取等号



所以,

的最小值是

,取最小值时

.

(12 分)

[答案] 21.(Ⅰ)

.



的判别式

①当



时,

恒成立,则



单调递增

②当

时,



恒成立, 则



单调递增

③当

时,方程

的两正根为





单调递增, 单调递增

单调递减,

19

综上,当

时,只有单调递增区间



时,单调递增区间为



单调递减区间为

(Ⅱ)即

时,

恒成立



时,



单调递增 ∴当

时,

满足条件



时,



单调递减





单调递减

此时

不满足条件

故实数 的取值范围为

.

(Ⅲ)由(2)知,



恒成立.









.





20





.

21. [答案] 22.(Ⅰ) 由 a +b ≥2ab, b +c ≥2bc, c +a ≥2ca 得 a +b +c ≥ab+bc+c a. 由题设得(a+b+c) =1, 即 a +b +c +2ab+2bc+2c a=1.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

所以 3(ab+bc+ca) ≤1, 即 ab+bc+ca≤ .

(Ⅱ) 因为 +b≥2a,

+c≥2b,

+a≥2c,

故 + + +(a+b+c) ≥2(a+b+c),

即 + + ≥a +b+c.

所以 + + ≥1. 22. [答案] 23.(Ⅰ) 由已知及正弦定理得 sin A=sin Bcos C+sin C·sin B. ① 又 A=π -(B+C), 故 sin A=sin(B+C) =sin Bcos C+cos Bsin C. ② 由①, ②和 C∈(0, π ) 得 sin B=cos B.

21

又 B∈(0, π ), 所以 B= .

(Ⅱ) △ABC 的面积 S= acsin B= ac.

由已知及余弦定理得 4=a +c -2accos .

2

2

又 a +c ≥2ac, 故 ac≤

2

2

, 当且仅当 a=c 时, 等号成立.

因此△ABC 面积的最大值为 23.

+1.

22


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