数学文卷·2016届山西省太原市高三模拟考试(一)(2016.03)word版

数学试卷(文史类) 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出 的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U ? ?1,2,3,4,5? ,集合 M ? ?3,4,5? , N ? ?1,2,5?,则集合 ?1,2? 可以 表示为( ) A. M ? N D. (CU M ) ? (CU N ) 2.已知 i 是虚数单位,则复数 A. 1 ? i B. ? 1 ? i
5 ? 3i ?( ) 4?i

B. (CU M ) ? N

C. M ? (CU N )

C.1 ? i

D. ? 1 ? i

3.下图是某样本数据的茎叶图,则该样本的中位数、众数、极差分别 是( ) A. 32 C. 34
34 45 32 32

B. 33 D. 33

45 36

35 35

4.若双曲线 A. y ? ? 2 x

x2 y2 ? ? 1 的离心率为 3 ,则其渐近线方程为( ) a2 b2

B. y ? ?2 x

C. y ? ? x

1 2

D. y ? ?

2 x 2

5.对于下列四个命题
1 1 p1 : ?x0 ? (0,??), ( ) x0 ? ( ) x0 ; p2 : ?x0 ? (0,1), log 1 x0 ? log 1 x0 ; 2 3 2 3
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1 1 1 p3 : ?x ? (0,??), ( ) x ? log 1 x ; p4 : ?x ? (0, ), ( ) x ? log 1 x . 2 3 2 2 3

其中的真命题是( ) A. p1 , p3 B. p1 , p4 C. p2 , p3 D. p2 , p4
25 ,则判断框内填入的条 24

6.执行如图所示的程序框图,若输出的 S ? 件可以是( ) A. k ? 7 B. k ? 7 C. k ? 8

D. k ? 8

7.已知函数 f ( x) ? 2 sin(2 x ? ? )( ? ? ) 图象过点 (0, 3 ) ,则 f ( x) 图象的一
2

?

个对称中心是( ) A . ( ? ,0 )
3

?

B. (? ,0)
6

?

C. ( ,0)
6

?

D. (

?
12

,0)

8.各项均为正数的等比数列 ?an ?的前 n 项的为 S n ,若 S n ? 2, S3n ? 14 ,则
S4n ? ( )

A. 80

B. 30

C. 26

D.16

9.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于( ) A. 10 B.15 C. 20 D. 30

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? 2x ? y ? 2 ? 10.设不等式组 ? x ? 2 y ? ?4 所表示的平面区域为 M ,若函数 ? 3x ? y ? 3 ?
y ? k ( x ? 1) ? 1 的图象经过区域 M ,则实数 k 的取值范围是( )

A. [3,5]

B. [?1,1]

C. [?1,3]

D. [? ,1]

1 2

11.已知三棱锥 S ? ABC ,满足 SA ? SB, SB ? SC , SC ? SA ,且 SA ? SB ? SC , 若该三棱锥外接球的半径为 3 ,Q 是外接球上一动点,则点 Q 到平面
ABC 的距离的最大值为( )

A. 3

B. 2

C.

3 3

D.

4 3 3

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.设函数 f ( x) ? ? ?log 1 (? x), x ? 0, 若 f (a ) ? f (?a ) ,则实数 a 的取值范围是
? ?
2

? log 2 x, x ? 0,

______. 14.已知圆 C : ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2 ,若等边 ?PAB 的一边 AB 为圆 C 的一条
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弦,则 PC 的最大值为____. 15.已知非零向量 a, b 的夹角为 60? ,且 a ? b ? 1 ,则 a ? b 的最大值是 ______. 16.若数列 ?an ?满足 an ? (?1) n an ?1 ? n(n ? 2) , S n 是 ?an ?的前 n 项和,则
S 40 ? ______.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分) 已知 a, b, c 分别为锐角 ?ABC 内角 A, B, C 的对边,且 3a ? 2c sin A . (1)求角 C ; (2)若 c ? 7 ,且 ?ABC 的面积为 18.(本小题满分 12 分) 某工厂对一批共 50 件的机器零件进行分类检测,其重量(克)统计如 下: 重量段 件数 [80,85) 5 [85,90) m [90,95) 12 [95,100) n
3 3 ,求 a ? b 的值. 2

规定重量在 82 克及以下的为甲型, 重量在 85 克及以上的为乙型, 已知 该批零件有甲型 2 件. (1)从该批零件中任选 1 件, 若选出的零件重量在 [95,100] 内的概率为
0.26 ,求 m 的值;

(2)从重量在 [80,85) 的 5 件零件中,任选 2 件,求其中恰有1 件为甲型 的概率.
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19.(本小题满分 12 分) 如图,已知四棱锥的侧棱 PD ? 底面ABCD ,且底面 ABCD 是直角梯形,
1 AD ? CD , AB ∥ CD , AB ? AD ? CD ? 2 . 2

(1)求证: BC ? 平面 BDP ; (2)若侧棱 PC 与底面 PD ? 底面ABCD 所成角的正切值为 ,点 M 为 侧棱 PC 的中点,求异面直线 BM 与 PA 所成角的余弦值.
1 2

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 M :
x2 y2 ? ? 0(a ? 0) 的一个焦点为 F (?1,0) ,左右顶点分别为 a2 3

A, B .经过点 F 的直线 l 与椭圆 M 交于 C , D 两点.

(1)当直线 l 的倾斜角为 45? 时,求线段 CD 的长; (2)记 ?ABD 与 ?ABC 的面积分别为 S1 和 S 2 ,求 S1 ? S 2 的最大值. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 ln x ? x 2 ? ax(a ? R) . (1)若函数 f ( x) 的图象在 x ? 2 处切线的斜率为 ? 1 ,且不等式
1 f ( x) ? 2 x ? m 在 [ , e] 上有解,求实数 m 的取值范围; e

(2)若函数 f ( x) 的图象与 x 轴有两个不同的交点 A( x1 ,0), B( x2 ,0) ,且
0 ? x1 ? x2 ,求证: f ?(
x1 ? x2 ) ? 0 (其中 f ?( x) 是 f ( x) 的导函数). 2
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请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的

第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,在 ?ABC 中, CD 是 ?ACB 的角平分线, ?ADC 的外接圆交 BC 于 点 E , AB ? 2 AC . (1)求证: BE ? 2 AD ; (2)当 AC ? 3, EC ? 6 ,求 AD 的长.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立 的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 ? ? ( ? ? R) ,曲线 C 的参数方
4

?

程为 ?

? x ? 2 cos ? , ? y ? sin ? .

(1)写出直线 l 及曲线 C 的直角坐标方程; (2)过点 M 平行于直线 l 的直线与曲线 C 交于 A, B 两点,若
MA ? MB ? 8 ,求点 M 轨迹的直角坐标方程. 3

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2 x ? a ? 2 x ? 3 , g ( x) ? x ? 1 ? 2 . (1)解不等式: g ( x) ? 5 ; (2)若对任意的 x1 ? R ,都有 x2 ? R ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数 a 的取值范围.
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