云南省昆明市第一中学2017届高三月考卷(五)文数试题 Word版含答案

昆明第一中学 2017 届高中新课标高三第五次二轮复习检测 文科数学
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A ? {0,1, 2,3, 4,5} ,集合 B ? {x ? N , A. {5} B. {0,5} C. {1,5}

x?4 ? 0} ,则 C A B ? ( x
D. {0, 4,5}



2. 已知 sin ? ? 0 ,且

2 tan 1 ? tan

?
2 ? 0 ,则 ? 所在象限为(
2

?



2
C.第三象限 ) D. D.第四象限

A.第一象限 3.已知复数 A. -

B.第二象限

i 5

1 ? ?5i ,则 z 等于( z i 1 B. C.5 5

1 5


4.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(m ? 0) 的离心率为 3 ,则 m 的值是( 4 m2
B.

A. 2 2

2

C. 3

D. 3 )

5.设函数 f ? x ? 的定义域为 R ,且 f ? x ? 是偶函数,则下则结论中正确的是( A. f ? x ? 是偶函数 C. B. f ? x ? 是奇函数

f ? x ? 1? 的图像关于直线 x ? 1 对称

D. f ? x ? ? 1 的图像关于(0,1)对称

6.如图所示,某几何体的三视图中,正视图和侧视图都是腰长为 1 的等腰直角三角形,则该 几何体的体积为( )

1

A.

1 6

B.

1 3

C.1

D. 1 ? 2 )

7.执行如下图所示的程序框图,如果输入 s ? 0.1 ,则输出的 n ? (

A.2

B. 3

C.

4

D.5 ) D.2

8.菱形 ABCD 中, AC ? 2 ,则 AC ? AD =( A. -

3 2

B.-3

C.

1 2

9.在函数① y ?| sin x | ; ② y ? tan 的所有函数为( A.①②③④ ) B.②③④

x ; ③ y ?| tan x | ; ④2 y ? cos | x | 中, 最小正周期为 2? 2

C. ②④

D.①③

? x ? 2 y ? 1 ? 0, ? 10. 已知点 P 为不等式组 ? x ? 2, 所表示的平面区域内的一点,点 Q 是圆 ? x ? y ? 1 ? 0, ?
2 M : ? x ? 1? ? y 2 ? 1 上的一个动点,则 PQ 的最大值是(



A.

3 5?2 2

B.

2 5 ?3 3
2

C.

2 5 3

D.

10

11. 若函数 f ( x) ? ln x ? ax ? 2 在区间 ? , 则实数 ? 的取值范围 2 ? 内存在单调递增区间, 是( ) B. (?2, ??)
2

?1 ?2

? ?

A. (??, ?2]

C. (-2,-

1 ) 8

D. [? , ??)

1 8

12. 已知抛物线 C : y ? 4 x 的焦点是 F ,过点 F 的直线与抛物线 C 相交于 P、Q 两点,且 点 Q 在第一象限,若 3PF ? FQ ,则直线 PQ 的斜率是(

??? ?

??? ?



A.1

B.

3 3

C. 2

D. 3

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.若 1,2,3,4, m 这五个数的平均数为 3,则这五个数的方差为 .

2

14.甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步,跳远,铅球比赛,每人参加一项,每项都要有 人参加,他们的身高各不同,现了解到已下情况: (1)甲不是最高的; (2)最高的是没报铅球; (3)最矮的参加了跳远; (4)乙不是最矮的, 也没参加跑步. 可以判断丙参加的比赛项目是 .

?ln x, x ? 1 ? ?2 15.设函数 f ( x) ? ? 1 ,则 f ( f (e )) ? f ( ), 0 ? x ? 1 ? ? x



16.为测得河对岸塔 AB 的高,先在河岸上选点 C ,使得塔底 A 恰好在点 C 的正西方,此时 测得塔顶 B 点仰角为 45° ,再由点 C 沿北偏东 30° 方向走 30 米到达 D 点,在 D 点测得塔 顶 B 点仰角为 30° ,则塔 AB 高 米.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
17. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ?满足 a1 ? 1 , an ?1 ?

an ,n? N*. 2an ? 1

(1)证明:数列 { (2)设 bn ?

1 } 是等差数列,并求数列 {an } 的通项公式; an

an ,数列 {bn } 的前 n 项和为 S n ,求使不等式 S n ? k 对一切 n ? N * 恒成立 2n ? 1

的实数 k 的范围. 18. (本小题满分 12 分) 微信是现代生活中进行信息交流的重要工具.据统计,某公司 200 名员工中 90%的人使用微 信,其中每天使用微信时间在一小时以内的有 60 人,其余的员工每天使用微信时间在一小 时以上,若将员工分成青年(年龄小于 40 岁)和中年(年龄不小于 40 岁)两个阶段,那么 使用微信的人中 75%是青年人.若规定:每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信, 那么经常使用微信的员工中都是青年人. (1) 若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系, 列出并完成 2×2 列联表:

3

(2)由列联表中所得数据判断,是否有 99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”? (3)采用分层抽样的方法从“经常使用微信”的人中抽取 6 人,从这 6 人中任选 2 人,求 选出的 2 人,均是青年人的概率. 附:

n(ad ? bc) 2 k ? . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

19. (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC - A1 B1C1 的底面是边长为 2 的等边三角形, AA1 ? 底面 ABC ,点 E , F 分别是棱 CC1 , BB1 上的点,且 EC ? B1 F ? 2 FB. (1)证明:平面 AEF ? 平面 ACC1 A1 ; (2)若 AA1 ? 3 ,求点 E 到平面 ACF 的距离. 20. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 2 2 已知椭圆 M : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率是 ,上顶点 B 是抛物线 x ? 4 y 的焦点. a b 2
(1)求椭圆 M 的标准方程; ,试问:点到直线的 (2)若 P、Q 是椭圆 M 上的两个动点,且 OP ? OQ(O 是坐标原点) 距离是否为定值?若是,试求出这个定值;若不是,请说明理由. 21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ax 2 ?

1 ? ln x ,曲线 y ? f ( x) 在 x ? 2 处与直线 2 x ? 3 y ? 0 垂直. 2

(1)求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)当 x ? 1 时,证明 f ( x) ?

1 ? e f ?x . x
4

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? 2 ?

9 ,以极点为平面直角坐标系的原点,极 cos ? ? 9sin 2 ?
2

轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系. (1)求曲线 C 的普通方程; (2) A、B 为曲线 C 上两个点,若 OA ? OB ,求 23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? 2 x ? 1 ? 2 x ? 3 , (1)若关于 x 的不等式 f ( x) ?|1 ? 3a | 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)若关于 t 的一元二次方程 t 2 ? 4 2t ? f (m) ? 0 有实根,求实数 m 的取值范围.

1 1 的值. ? 2 | OA | | OB |2

5

昆明市第一中学 2017 届第五期月考 参考答案(文科数学)

一、选择题
题号 答案 1. 2. 3. 1[来 B 2 B 3 A 4 A 5 C 6 B 7om] C 8 D 9 C 10 A 11 D 12 D

详细分析:集合 A ? ?0,1, 2,3, 4,5? ,集合 B ? ?1, 2,3, 4? ,所以 ?A B ? ?0,5? ,选 B. 详细分析:由已知得 tan ? ? 0 ,因为 sin ? ? 0 ,所以 ? 在第二象限,选 B. 详细分析:因为

1 i i ? ?5i , z ? , z ? ? ,选 A. z 5 5

4. 5.

详细分析:依题设知

4 ? m2 ? 3 ,所以 m ? 2 2 ,选 A. 2

详细分析:因为 f ( x) 是偶函数,所以 f ( x) 的图象关于 y 轴对称,所以 f ( x ? 1) 的图象 关于直线 x ? 1 对称,选 C.

6. 详细分析:由三视图可知,该几何体是一个底面为正方形的四棱锥,高为 1 ,所以它的
1 1 体积 V ? ? 1 ? 1 ? 1 ? ,选 B. 3 3

7. 详细分析:由框图知,T ?

1 1 1 1 时 n ? 1 ;T ? 时 n ? 2 ;?;T ? 时 n ? 4 ,此时 ? 0.1 2 4 16 16

满足题意,输出 n ? 4 ,选 C. 8. 9.
???? ???? ???? ???? 1 ???? 2 详细分析:因为 AC ? AD ? AC AD cos ?CAD ? AC ? 2 ,选 D. 2

详细分析: 函数① y ? sin x 的最小正周期为 ? ; 函数② y ? tan

x 的最小正周期为 2? ; 2

函数③ y ? tan x 的最小正周期为 ? ;函数④的 y ? cos x ? cos x 最小正周期为 2? , 选 C.

6

10. 详细分析:由图可知: PQ 的最大值为 AM ? r ?

3 5?2 ,选 A. 2

11. 12. 详 细 分 析 : f ?( x ) ?
a ? (?

1 2ax 2 ? 1 ?1 ? ? 2ax ? , 2ax 2 ? 1 ? 0 在 ? , 2 ? 内 恒 成 立 , 所 以 x x ?2 ?

1 1? 1 1 ?1 ? ?1 ? ? 由于 x ? ? , 2 ? , 所以 x 2 ? ? , 4 ? , ( ? 2 ) 所以 a ? ? , ? ? ?2, ? ? , ) , 2 max 2x 8? 2x 8 ?2 ? ?4 ? ?

选 D.

13. 详细分析:过点 P , Q 分别作抛物线的准线 l : x ? ?1 的垂线,垂足分别是 P 1 、 Q1 , 由抛物线的定义可知 Q1Q ? QF , P 1 P ? FP ,设 PF ? k ( k ? 0) ,则 FQ ? 3k , 又过点 P 作 PR ? Q1Q 于点 R ,则在直角 ?PRQ 中, RQ ? 2k , PQ ? 4k ,所以

? RPQ ?
二、填空题

?
3

,所以直线 QP 的倾斜角为

?
3

,所以直线 PQ 的斜率是 3 ,选 D.

14. 详细分析:由

1? 2 ? 3 ? 4 ? m ? 3 得 m ? 5 ,所以这五个数的方差为 5

1? 2 2 2 2 2 1 ? 3? ? ? 2 ? 3? ? ? 3 ? 3? ? ? 4 ? 3? ? ? 5 ? 3 ? ? ? 2 . ? ? 5?
15. 详细分析:由(4)可知,乙参加了铅球比赛,再由(2)可知乙不是最高的,所以三人 中乙身高居中;再由(1)可知,甲是最矮的,参加了跳远,所以丙最高,参加了跑步 比赛. 16. 详 细 分 析 : 当 x ? ? 0,1? 时 ,
1 1 1 ? 1 , 所 以 f ( x) ? f ( ) ? ln ? ? ln x , 则 x x x

f (e?2 ) ? f (e 2 ) ? ln e 2 ? 2 ,所以 f (2) ? ln 2 .
17. 详 细 分 析 : 设 AB = h , 则 AC = AB = h , AD =
AC AD , = sin行 ADC sin ACD
7

3 AB =

3h , 在 D ACD 中 ,



h 3h ,得 sin? ADC = sin?ADC sin120o

1 ,所以 ? ADC 2

30o ,所以

? DAC

180o - 120o - ? ADC

30o = ? ADC ,所以 AC = CD = 30 ,所以

AB = AC = h = 30 米.

三、解答题 18. (Ⅰ)证明:因为 an ?1 ?

an 1 1 ,所以 ? ? 2 ,又因为 a1 ? 1 2an ? 1 an ?1 an

故数列 ?

?1? ? 是以 1 为首项,2 为公差的等差数列, ? an ?
???5 分

所以

1 1 . ? 2n ? 1 ,所以 an ? 2n ? 1 an

(Ⅱ)解:由 bn ? 所以 S n ?

1 1 1 1 an 得 bn ? ? ( ? ), 2n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 [(1 ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? )] 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 ???10 分 = (1 ? )? 2 2n ? 1 2

要使不等式 S n ? k 对一切 n ? N? 恒成立,则 k 的范围为 ? , ?? ? .

?1 ?2

? ?

???12 分

19. 详细分析:(Ⅰ)由已知可得,该公司员工中使用微信的有 200 ? 90% ? 180 人, 经常使用微信的有 180 ? 60 ? 120 人,其中青年人有 120 ? 人有 180 ? 75% ? 135 人. 所 为: 青年人 经常使用微信 不经常使用微信 合计 中年人 合计 以

2 ? 80 人,使用微信的人中青年 3
联 ???4 分 表

2? 2



80
55

40
5

120
60

135

45

180
2 2

180 ? 80 ? 5 ? 55 ? 40? ? 13.333 , 由 于 (Ⅱ)将列联表中数据代入公式可得: k ? 120 ? 60 ? 135 ? 45

8

13.333 ? 10.828 ,
所 以 有

99.9% 的 把 握 认 为 “ 经 常 使 用 微 信 与 年 龄 有
???8 分

关”.

(Ⅲ)从“经常使用微信”的人中抽取 6 人,其中,青年人有

80 ? 6 ? 4 人,中年人有 120

40 ?6 ? 2, 120
记 4 名青年人的编号分别为 1 , 2 , 3 , 4 ,记 2 名中年人的编号分别为 5 , 6 , 则从这 6 人中任选 2 人的基本事件有 ?1, 2 ? ,?1,3? ,?1, 4 ? ,?1,5 ? ,?1, 6 ? ,? 2,3? ,? 2, 4 ? ,

? 2,5? , ? 2, 6 ? , ? 3, 4 ? , ? 3,5? , ? 3, 6 ? , ? 4,5? , ? 4, 6 ? , ? 5, 6 ? ,共15 个,其中选出的 2
人均是青年人的基本事件有 ?1, 2 ? , ?1,3? , ?1, 4 ? , ? 2,3? , ? 2, 4 ? , ? 3, 4 ? ,共 6 个,故所 求事件的概率为 P ?

6 2 ? . 15 5

???12 分

20. 解: (Ⅰ)证明:取 AC 中点 M ,连接 BM ,则 BM ? AC ,因为 AA1 ? 底面 ABC , 所以侧面 ACC1 A1 ? 底面 ABC ,所以 BM ? 平面 ACC1 A1 . 取 AE 中点 N ,连接 MN , FN ,则 MN // EC ,且 MN ? 又因为 BB1 // CC1 , EC ? 2 FB ,所以 FB // EC 且 FB ?
1 EC , 2

1 EC , 2

所以 MN // FB 且 MN ? FB ,所以四边形 BMNF 是平行四边形, 所以 FN // BM ,所以 FN ? 平面 ACC1 A1 .又 FN ? 平面 AEF , 所
ACC1 A1 .







AEF ?

平 ???6 分



C1 A1 N C M A F B E B1

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, FN ? 平面 ACE ,连接 MF ,由 AC ? 平面 BMNF 得 AC ? MF ,

9

因为 AA1 ? 3 ,依题意得 MF ? ( 3) 2 ? 12 ? 2 ,所以 S?ACF ?

1 ? 2? 2 ? 2 , 2

1 1 设点 E 到平面 ACF 的距离为 h ,由 VE ? ACF ? VF ? ACE ,得 S?ACF ? h ? S?ACE ? FN , 3 3

即 2h ? 故
3.

1 ? 2 ? 2 ? 3 ,所以 h ? 3 2



E







ACF









???12 分

21. 解: (Ⅰ)由题设知 又b ?1 所 以 ② 椭

c 2 ? ? a 2 ? 2b 2 a 2





M













x2 ? y2 ? 1 2

???4 分

(Ⅱ)(i ) 若直线 PQ ? x 轴,设直线 PQ : y ? m ,并联立椭圆方程解出 P ( 2 ? 2m ,m) ,
2

??? ? ???? 6 ; Q(? 2 ? 2m 2 , m) ,由 OP ? OQ 得 OP ? OQ ? 0 ? 3m 2 ? 2 ? 0 ? m ? 3

(ii ) 若直线 PQ 不平行 x 轴,设直线 PQ : x ? ty ? n , ( t ? R , n ? R ) ,代入椭圆 M 的方
程消 x 得 (t ? 2) y ? 2tny ? (n ? 2) ? 0 ,设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) ,由韦达定理得
2 2 2

2tn y1 ? y2 ? ? 2 t ?2


③,

n2 ? 2 y1 y2 ? 2 t ?2

④,由 OP ? OQ 得 OP ? OQ ? 0 ,

??? ? ????

x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 (ty1 ? n)(ty2 ? n) ? y1 y2 ? 0 ,


即 (t 2 ? 1) y1 y2 ? tn( y1 ? y2 ) ? n 2 ? 0 把 ③ 、 ④ 代 入 ⑤ 并 化





t2 ?

3n 2 ?1 2







n2 ?


2 3


???9 分

O





线

PQ







d?

n 1? t2

?

n 3n 2 2

?

6 ? 3



值.

???12 分

10

22. 解

:

(Ⅰ)
1 , x





f ( x)









(0 , ? ?)



f ?( x) ? 2ax ?

???2 分 ???

由已知得 f ?(2) ? 3分 所以 f ?( x) ? x ? 单 调 递

3 1 ,所以 a ? , 2 2

1 x2 ? 1 ? ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,由 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? 1 ,所以,函数 f ( x) 的 x x
增 区 间 为

?1 , ? ? ?

















? 0 , 1? .
(Ⅱ)
g ?( x) ? x ?

???5 分 令
1 1 ? ? e1? x , x x2 1 g ( x) ? f ( x) ? ( ? e1? x ) x





???6 分



1 1? x e x ?1 ? x ?e ? ,令 h( x) ? e x ?1 ? x ,则 h?( x) ? e x ?1 ? 1 ,当 x ? 1 时, h?( x) ? 0 ,所以 h( x) 在 x x e x ?1 1 ?1 , ? ? ? 上 为 增 函 数 , 所 以 h( x) ? h(1) ? 0 , 所 以 ? e1? x ? 0 , 即 : x
1 ? e1? x ? ? , x

???9 分

所以 g ?( x) ? x ? 在

2 1 x3 ? 2 x ? 1 x 2 ? 2 x ? 1 2 1 ? ? 0 ,所以 g ?( x) ? 0 ,所以 g ( x) ? 2 ,而 x ? ? 2 ? x x x2 x2 x x
上 为 增 函 数 , 所 以
g ( x) ? g (1) ? 0

?1 , ? ? ?
1 1? x ?e x







f (x) ?

???12 分

第 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.解:(Ⅰ)由 ? 2 ? 将
x ? ? cos ?
9 得 ? 2 cos 2 ? ? 9? 2 sin 2 ? ? 9 , cos 2 ? ? 9sin 2 ?



y ? ? sin ?

代 入 得 到 曲 线 ???5 分

C

的 普 通 方 程 是

x2 ? y2 ? 1 . 9
(Ⅱ)因为 ? 2 ? 所以
1
2

9 , cos ? ? 9sin 2 ?

?2

?

cos 2 ? ? sin 2 ? , 9

由 OA ? OB ,设 A( ?1 , ? ) ,则 B 点的坐标可设为 ( ? 2 , ? ? 所以
1 1 1 1 ? ? 2? 2 2 2 | OA | | OB | ?1 ? 2
11

?
2

),

cos 2 ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? ? cos 2 ? 9 9 1 10 ? ?1 ? . 9 9 ?
23.解: (Ⅰ)因为

???10 分

f ( x) ? 2 x ? 1 ? 2 x ? 3 ? (2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 4,
5 , 3

所以 1 ? 3a ? 4 ,即 ?1 ? a ?

5? ? 所以实数 a 的取值范围为 ? ?1 , ? .???5 分 3? ? (Ⅱ) ? ? 32 ? 4( 2m ? 1 ? 2m ? 3 ) ? 0 ,



2m ? 1 ? 2m ? 3 ? 8 ,

所以不等式等价于

3 3 1 ? ? 1 ? ?m ? , ?? ? m ? , ?m ? ? , 或 或 2 2 2 ? ? 2 ? ? ? ? ?(2m ? 1) ? (2m ? 3) ? 8, ?(2m ? 1) ? (2m ? 3) ? 8, ??(2m ? 1) ? (2m ? 3) ? 8.
所以
3 5 3 1 1 3 ? m ? ,或 ? ? m ? ,或 ? ? m ? ? , 2 2 2 2 2 2

3 5? ? 所以实数 m 的取值范围是 ?m | ? ? m ? ? . 2 2? ?

???10 分

12


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