英才高三理科函数导数定积分练习卷

英才侨中高三理科数学练习题
(函数、导数与定积分)2012/9/24
一、 选择题 1 有相同定义域的是( x ). 1 B.f(x)= x D.f(x)=ex 1 1 可得定义域是{x|x>0}.f(x)=ln x 的定义域是{x|x>0};f(x)= 的定义域是 x x 1.下列函数中,与函数 y= A.f(x)=ln x C.f(x)=|x| 解析 由 y=

{x|x≠0};f(x)=|x|的定义域是 x∈R;f(x)=ex 定义域是 x∈R.故选 A. 答案 A 2.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是( A.y=x3 C.y=-x2+1 ).

B.y=|x|+1 D.y=2
-|x| -|x|

解析 (筛选法)对于 A:y=x3 为奇函数,不合题意;对于 C,D:y=-x2+1 和 y=2

在(0,

+∞)上单调递减,不合题意;对于 B:y=|x|+1 的图象如图所示,知 y=|x|+1 符合题意, 故选 B.

答案 B

1.(2009 年广东卷文)函数 f ( x ) ? ( x ? 3 ) e 的单调递增区间是
x

(

)

A. ( ?? , 2 ) 答案 D

B.(0,3)

C.(1,4)

D. ( 2 , ?? )

1 4.已知函数 f(x)的图象是两条线段(如图,不含端点),则 f?f?3??=( ? ? ??

).

1 A.- 3 2 C.- 3
?x+1 ? 解析 由图象知,f(x)=? ? ?x-1

1 B. 3 2 D. 3 ?-1<x<0?, ?0<x<1?.

1 1 2 ∴f?3?= -1=- , ? ? 3 3 1 2 2 1 ∴f?f?3??=f?-3?=- +1= . ? ? ?? ? ? 3 3 答案 B 2.函数 f(x)=excosx 的图象在点(0,f(0))处的切线的倾斜角的余弦值为( A.- C. 2 2 5 5 B. 5 5 )

D.1

[答案] C [解析] f ′(x)=excosx-exsinx,∴f ′(0)=1. 设 f(x)在点(0,f(0))处切线的倾斜角为 α,则 tanα=1, π 2 ∵α∈(0,π),∴α= ,∴cosα= . 4 2

5.(2009 江西卷理)设函数 f ( x ) ? g ( x ) ? x ,曲线 y ? g ( x ) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程为
2

y ? 2 x ? 1 ,则曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处切线的斜率为

(

)

A. 4 答案 A 解析 力。

B. ?

1 4

C. 2

D. ?

1 2

由已知 g ? (1) ? 2 ,而 f ? ( x ) ? g ?( x ) ? 2 x ,所以 f ? (1) ? g ?(1) ? 2 ? 1 ? 4 故选 A

3.(2010· 山东烟台模拟)?2 4-x2dx=(

?0

) π D. 2

A.4π [答案] C

B.2π

C.π

[解析] 令 y= 4-x2,则 x2+y2=4(y≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影 部分的面积,

1 ∴S= ×π×22=π. 4

7.(2009 湖南卷文)若函数 y ? f ( x ) 的导函数在区间 [ a , b ] 上是增函数, ... 则函数 y ? f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上的图象可能是 y y y y ( )

o

a

b x

o

a

b x
B.

o

a

b x
C.

o

a

b x

A .

D.

解析

因为函数 y ? f ( x ) 的导函数 y ? f ? ( x ) 在区间 [ a , b ] 上是增函数,即在区间 [ a , b ] ... 注意 C 中 y ? ? k 为常数噢.

上各点处的斜率 k 是递增的,由图易知选 A.

2.(2010· 辽宁锦州模拟)如图,阴影部分面积等于(

)

A.2 3 C. 32 3 C

B.2- 3 D. 35 3

[答案]

6. A.0 π B. 4 C.2 D.-2

(

)

[答案] D

二、 填空题 7.若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数,且满足 f(1)=1,f(2)=2,则 f(3)-f(4)=________. 解析 ∵f(x+5)=f(x)且 f(-x)=-f(x), ∴f(3)=f(3-5)=f(-2)=-f(2)=-2,f(4)=f(-1)=-f(1)=-1,故 f(3)-f(4)=(-2)-(- 1)=-1. 答案 -1

8.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x)=x2+2x(x≥0),若 f(3-a2)>f(2a),则实数 a 的取 值范围是________. 解析 依题意得,函数 f(x)=x2+2x 在[0,+∞)上是增函数,又因为 f(x)是 R 上的奇函数, 所以函数 f(x)是 R 上的增函数,要使 f(3-a2)>f(2a),只需 3-a2>2a.由此解得-3<a<1, 即实数 a 的取值范围是(-3,1). 答案 (-3,1) 7.用长为 18m 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2:1, 该长方体的最大体积是________. [答案] 3m3 9 [解析] 设长方体的宽为 x, 长为 2x, 则 高为 -3x 2 =-6x3+9x2, V′=-18x2+18x,令 V′=0 得,x=0 或 1, ∵0<x<2,∴x=1. ∴该长方体的长、宽、高各为 2m、1m、1.5m 时,体积 最大,最大体积 Vmax=3m3. 9 (0<x<2), 故体积为 V=2x2?2-3x? ? ?

8.已知函数 f(x)=3x2 +2x+1,若 ________. 1 [答案] -1 或 3

成立,则 a=

[解析] ∵ =2f(a),∴6a2+4a+2=4, 1 ∴a=-1 或 . 3



1 (3x2+2x+1)dx=(x3+x2+x)|-1=4,

f(x)dx

? x ?2a ,x≤1, 9.设 f(x)=? 且 f(2 2)=1,则 f[f(2)]=________. 2 ?loga?x -1?,x>1, ?

[答案] 6 [解析] ∵f(2 2)=loga[(2 2)2-1]=loga7=1, ∴a=7 . 又 f(2)=log73<1,∴f(f(2))=2× log73=2× 7 3=6.

三、

解答题

4 15.已知函数 f(x)=1- x (a>0 且 a≠1)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数. 2a +a (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的值域; [解析] (1)∵f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,即 f(-x)=-f(x)恒成立,∴f(0)=0. 即 1- 4 =0, 2× 0+a a

解得 a=2. 2x-1 1+y (2)∵y= x ,∴2x= , 2 +1 1-y 1+y 由 2x>0 知 >0, 1-y ∴-1<y<1,即 f(x)的值域为(-1,1).

1 16.已知函数 f(x)=ax2+blnx 在 x=1 处有极值 . 2 (1)求 a,b 的值; (2)判断函数 y=f( x)的单调性并求出单调区间. [解析] (1)因为函数 f(x)=ax2+blnx, b 所以 f ′(x)=2ax+ . x 1 又函数 f(x)在 x=1 处有极值 , 2 ? ?f ′?1=0 ?2a+b=0 ? ? 所以? , 1 ,即? 1 ?f?1?=2 ?a=2 ? ? 1 可得 a= ,b=-1. 2 1 (2)由(1)可知 f(x)= x2-lnx,其定义域是(0,+∞), 2 ? 1 ?x+1?x-1? 且 f ′(x)=x- = . x x

当 x 变化时,f ′(x),f(x)的变化情况如下表: x f ′(x) f(x) (0,1) - ↘? 1 0 极小值 (1,+∞) + ↗?

所以函数 y=f(x)的单调减区间是(0,1),单调增区间是(1,+∞).

17.函数 f(x) 对任意的 a、b∈R,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当 x>0 时,f(x)>1. (1)求证:f(x)是 R 上的增函数; (2)若 f(4)=5,解不等式 f(3m2-m-2)<3. (1)证明 设 x1,x2∈R,且 x1<x2, 则 x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1. f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1) =f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1>0. ∴f(x2)>f(x1).即 f(x)是 R 上的增函数. (2)解 ∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5, ∴f(2)=3, ∴原不等式可化为 f(3m2-m-2)<f(2), ∵f(x)是 R 上的增函数,∴3m2-m-2<2, 4 4 解得-1<m< ,故解集为?-1,3?. ? ? 3

18.甲乙两地相距 400 千米, 汽车从甲地匀速行驶到乙地, 速度不得超过 100 千米/小时, 1 4 1 已知该汽车每小时的运输成本 P(元)关于速度 v(千米/小时)的函数关系是 P= v - v3 19200 160 +15v, (1)求全程运输成本 Q(元)关于速度 v 的函数关系式; (2)为使全程运输成本最少,汽车应以多大速度行驶?并求此时运输成本的最小值. [解析] (1)汽车从甲地到乙地需用 400 400P v3 5v2 小时,故全程运输成本为 Q= = - + v v 48 2

6000 (0<v≤100). (2)Q′= v2 -5v,令 Q′=0 得,v= 80, 16

2000 ∴当 v=80 千米/小时时,全程运输成本取得最小值,最小值为 元. 3

19.已知 g(x)=-x2-3,f(x)是二次函数,当 x∈[-1,2]时,f(x)的最小值为 1,且 f(x)+g(x)

为奇函数,求函数 f(x)的表达式. 解 设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则 f(x)+g(x)=(a-1)x2+bx+c-3, 又 f(x)+g(x)为奇函数,∴a =1,c=3.[来源:学科网] b ∴f(x)=x2+bx+3,对称轴 x=- . 2 b 当- ≥2,即 b≤-4 时,f(x)在[-1,2]上为减函数, 2 ∴f(x)的最小值为 f(2)=4+2b+3=1. ∴b=-3.∴此时无解. b 当-1<- <2,即-4<b<2 时, 2 b b2 f(x)min=f?-2?=3- =1,∴b=± 2. 2 ? ? 4 ∴b=-2 2,此时 f(x)=x2-2 2x+3, b 当- ≤-1,即 b≥2 时,f(x)在[-1,2]上为增函数, 2 ∴f(x)的最小值为 f(-1)=4-b=1. ∴b=3.∴f(x)=x2+3x+3.

综上所述,f(x)=x2-2 2x+3,或 f(x)=x2+3x+3.
20.设函数 f ( x ) ? xe ( k ? 0 )
kx

(Ⅰ)求曲线 y ? f ( x ) 在点 (0, f (0 )) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若函数 f ( x ) 在区间 ( ? 1,1) 内单调递增,求 k 的取值范围. 解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查 综合分析和解决问题的能力. (Ⅰ) f ? x ? ? ? 1 ? kx ? e , f ? 0 ? ? 1, f ? 0 ? ? 0 ,
' kx '

曲线 y ? f ( x ) 在点 (0, f (0 )) 处的切线方程为 y ? x . (Ⅱ)由 f ? x ? ? ? 1 ? kx ? e
' kx

? 0 ,得 x ? ?

1 k

?k

? 0? ,

若 k ? 0 ,则当 x ? ? ? ? , ?
?

?

1? ? 时, f k ?

'

? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减,

当x???
?

?

? , ? ? , ? 时, f k ? 1 ? ?

'

? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增,
1? ? 时, f k ?

若 k ? 0 ,则当 x ? ? ? ? , ?
? ? ? , ? ? , ? 时, f k ? 1

'

? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增,

当x???

'

? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减,
1 k ? ?1 ,

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,若 k ? 0 ,则当且仅当 ? 即 k ? 1 时,函数 f ? x ? ? ? 1,1 ? 内单调递增, 若 k ? 0 ,则当且仅当 ?
1 k ?1,

即 k ? ? 1 时,函数 f ? x ? ? ? 1,1 ? 内单调递增, 综上可知,函数 f ? x ? ? ? 1,1 ? 内单调递增时, k 的取值范围是 ? ? 1, 0 ? ? ? 0,1 ? .


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