专题:二次函数在闭区间上的最值

专题:二次函数在闭区间上的最值
一、 知识要点: 一元二次函数的区间最值问题,核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为:对称轴在区间的左边,中间,右边三 种情况. 设

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) ,求 f ( x ) 在 x ?[m,n] 上的最大值与最小值。

分析:将 当a

? b b 4ac ? b2 ? f ( x ) 配方,得顶点为 ? ? , ? 、对称轴为 x ? ? 2a 4a ? ? 2a

? 0时,它的图象是开口向上的抛物线,数形结合可得在[m,n]上 f ( x ) 的最值:

b ? m,n (1)当 ? 2a
(2)当 ?

?

? 时, f ( x ) 的最小值是
?
? ?

2 ? b ? 4ac ? b f ?? ? ? ,f ( x ) 的最大值是 f (m) 、f (n) 中的较大者。 ? 2a ? 4a

b ? m,n 时 2a b ? m ,由 f ( x ) 在 m, n 上是增函数则 f ( x ) 的最小值是 f (m) ,最大值是 f ( n) 若? 2a b 若n ? ? ,由 f ( x ) 在 m , n 上是减函数则 f ( x ) 的最大值是 f (m) ,最小值是 f ( n) 2a

?

?

?

当a

? 0时,可类比得结论。

二、例题分析归类: (一)、正向型 是指已知二次函数和定义域区间,求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包 括以下四种情形:(1)轴定,区间定;(2)轴定,区间变;(3)轴变,区间定;(4)轴变,区间变。 1. 轴定区间定 二次函数是给定的,给出的定义域区间也是固定的,我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值” 。 例 1. 函数 y 解:函数

? ? x 2 ? 4x ? 2 在区间[0,3]上的最大值是_________,最小值是_______。
, y ? ? x2 ? 4 x ? 2 ? ?( x ? 2)2 ? 2 是定义在区间[0,3]上的二次函数,其对称轴方程是 x ? 2 ,顶点坐标为(2,2)

且其图象开口向下,显然其顶点横坐标在[0,3]上, 如图 1 所示。函数的最大值为

f ( 2) ? 2 ,最小值为 f (0) ? ?2 。

图1 练习. 已知 2 x
2

? 3x ,求函数 f ( x) ? x ? x ? 1 的最值。
2

解:由已知

2 x 2 ? 3x
2

,可得

0? x?

3 2

,即函数

f ( x)

是定义在区间

3? ? ?0, 2 ? ? ?

上的二次函数。将二次函数配方得

1 1? 3 ? 1 3? ? 其对称轴方程 x ? ? , 顶点坐标 ? ? , ? f ( x) ? ? x ? ? ? , ? 2 4? ? 2 2? 4
如图 2 所示。函数

, 且图象开口向上。 显然其顶点横坐标不在区间

3? ? 0, ? 内, ? 2? ?

? 3? 19 f ( x ) 的最小值为 f ( 0) ? 1 ,最大值为 f ? ? ? 。 ? 2? 4

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图2 2、轴定区间变 二次函数是确定的,但它的定义域区间是随参数而变化的,我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值” 。 例 2. 如果函数 解:函数

f ( x) ? ( x ? 1)2 ? 1 定义在区间 t, t ? 1

?

? 上,求 f ( x ) 的最小值。
min

,图象开口向上。 f ( x) ? ( x ? 1)2 ? 1 ,其对称轴方程为 x ? 1,顶点坐标为(1,1) 有 此时, 函数取得最小值 f ( x) ?t,t ? 1? 左侧时, 1? t , 当 x ? t 时,

如图 1 所示, 若顶点横坐标在区间

? f (t ) ? (t ? 1) 2 ? 1 。

图1 如图 2 所示,若顶点横坐标在区间

?t,t ? 1? 上 时 , 有 t ? 1 ? t ? 1 , 即 0 ? t ? 1 。 当 x ? 1 时 , 函 数 取 得 最 小 值

f ( x) min ? f (1) ? 1 。

图2 如图 3 所示,若顶点横坐标在区间

?t,t ? 1? 右 侧 时 , 有 t ? 1 ? 1 , 即 t ? 0 。 当 x ? t ?1 时 , 函 数 取 得 最 小 值

f ( x) m i n? f (t ? 1) ? t 2 ? 1
综上讨论,

f ( x) min

?(t ? 1) 2 ? 1, t ? 1 ? ? ?1, 0 ? t ? 1 ?t 2 ? 1 t ? 0 ?

图8 例 3. 已知

f ( x) ? x ? 2x ? 3 ,当 x ?[t,t ? 1](t ? R) 时,求 f ( x) 的最大值.
2

解:由已知可求对称轴为 x

?1.

x)min ? f (t ) ? t 2 ? 2t1 时, f ( x)max ? f (t ?1) ? t 2 ? 2 . ?3 , (1)当 t ?
(2)当 t ≤ 1 ≤ t ? 1 ,即 0 ≤ t ≤ 1 时, .

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1 t ? t ?1 1 0≤t ≤ 2 f ( x)max ? f (t ) ? t 2 ? 2t ? 3 . ? 即 根据对称性, 若 时, 2 2 t ? t ?1 1 1 ? ? t ≤1 f ( x)max ? f (t ?1) ? t 2 ? 2 . 2 2即2 若 时,
(3)当 t
2 ? 1 ? 1即 t ? 0 时, f ( x)max ? f (t ) ? t ? 2t ? 3 .

综上,

f ( x) max

1 ?2 ?t ? 2, t ? 2 ? ?? ? t 2 ? 2t ? 3,t ? 1 ? 2 ?

观察前两题的解法,为什么最值有时候分两种情况讨论,而有时候又分三种情况讨论呢?这些问题其实仔细思考就很容易解决。不难 观察:二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。第一个例题中,这个二次函数是开口向上的,在闭区间 上,它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到,有三种可能,所以分三种情况讨论;而它的最大值不可能是二次函数 的顶点,只可能是闭区间的两个端点,哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到,当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨 论。根据这个理解,不难解释第二个例题为什么这样讨论。 对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下:

当a

? 0时 f ( x) max

b 1 ? ? ? f (m), 2a ? 2 (m ? n)(如图1) ? ?? f ( x) min ? f (n), b ? 1 (m ? n)(如图2) ? ? 2a 2 ?

b ? ? ? f (n), 2a ? n(如图3) ? b b ? ? ? f (? ),m ? ? ? n(如图4) 2a 2a ? b ? ? ? f (m), 2a ? m(如图5) ?

当a

? 0时 f ( x) max

b ? ? ? f (n), 2a ? n(如图6) b 1 ? ? ? f (m) , ? 2a ? 2 (m ? n)( 如图 9) ? b b ? ? ? f (? ),m ? ? ? n(如图7) f ( x ) min ? ? 2a 2a ? f (n) , ? b ? 1 (m ? n)( 如图10) ? ? b ? 2a 2 ? f (m), ? ? m(如图8) ? 2a ?

3、轴变区间定 二次函数随着参数的变化而变化,即其图象是运动的,但定义域区间是固定的,我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值” 。 例 4. 已知 x
2

? 1 ,且 a ? 2 ? 0 ,求函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? 3 的最值。

解:由已知有
2

?1 ? x ? 1,a ? 2 , 于 是 函 数 f ( x )

是定义在区间

??1,1? 上 的 二 次 函 数 , 将

f ( x)

配方得:

a? a2 ? f ( x) ? ? x ? ? ? 3 ? ? 2? 4

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二次函数

f ( x ) 的对称轴方程是 x ? ?
??

? a a a2 ? 顶点坐标为 ? ? ,3 ? ? ,图象开口向上 2 4? ? 2

由 a ? 2 可得 x 函数的最小值是

a ? ?1,显然其顶点横坐标在区间 ?1,1 2 f ( ?1) ? 4 ? a ,最大值是 f (1) ? 4 ? a 。

?

? 的左侧或左端点上。

图3 例 5. (1) 求

f ( x ) ? x ? 2ax ? 1 在区间[-1,2]上的最大值。
2

y ? ? x( x ? a) 在 x ? [?1 , 1] 上的最大值。 解:(1)二次函数的对称轴方程为 x ? ?a , 1 1 当 ? a ? 即 a ? ? 时, f ( x )max ? f ( 2 ) ? 4a ? 5 ; 2 2 1 1 当 ? a ? 即 a ? ? 时, f ( x )max ? f ( ?1) ? 2a ? 2 。 2 2
(2) 求函数

综上所述:

f ( x )max

1 ? ??2a ? 2,a ? ? 2 ? ?? 。 ? 4a ? 5,a ? ? 1 ? ? 2
图象的对称轴方程为 x

(2)函数

a a2 y ? ?( x ? ) 2 ? 2 4

?

a a a a ? 1 , ? ? 1 , ? 1 即 ? 2 ? a ? 2 , a ? ?2 和 a ? 2 ,应分 ? 1 ? 2 2 2 2

这三种情形讨论,下列三图分别为 (1) a

? ?2 ;由图可知 f ( x)max ? f (?1)

(2) ? 2 ? (3)

a a ? 2 ;由图可知 f ( x ) max ? f ( ) 2

a ? 2 时;由图可知 f ( x)max ? f (1)

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? y 最大

?? (a ? 1) , a ? ?2 ? f (?1) , a ? ?2 ? 2 ? a ?a ? ? ? f ( ) , ? 2 ? a ? 2 ;即 y 最大 ? ? , ? 2 ? a ? 2 ?4 ? 2 ?a ? 1 , a ? 2 ? f (1) , a ? 2 ? ?

4. 轴变区间变 二次函数是含参数的函数,而定义域区间也是变化的,我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值” 。 例 6. 已知 解:将

y2 ? 4a( x ? a)(a ? 0), ,求 u ? ( x ? 3)2 ? y 2 的最小值。

y 2 ? 4a( x ? a) 代入 u 中,得

① ② 所以

,即 ,即

时, 时,

(二)、逆向型 是指已知二次函数在某区间上的最值,求函数或区间中参数的取值。

例 7. 已知函数

f ( x) ? ax2 ? 2ax ? 1 在区间 [?3, 2] 上的最大值为 4,求实数 a 的值。

解:

f ( x) ? a( x ? 1)2 ? 1 ? a, x ?[?3, 2]
? 0, f ( x) ? 1, ,不符合题意。 ? 0, 则 f ( x)max ? f (2) ? 8a ? 1
? 3 8

(1)若 a

(2)若 a

由 8a ? 1 ? 4 ,得 a

(3)若 a 由1 ? a

? 0 时,则 f ( x)max ? f (?1) ? 1 ? a

? 4 ,得 a ? ?3

综上知 a

?

3 或 a ? ?3 8

例 8.已知函数

f ( x) ? ?

x2 ? x 在区间 [m, n] 上的最小值是 3 m 最大值是 3 n ,求 m , n 的值。 2
中 1 与 m,

解法 1:讨论对称轴

m?n , n 的位置关系。 2

①若

,则 ?

? f ( x)max ? f (n) ? 3n ? f ( x)min ? f (m) ? 3m

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解得

②若

? f ( x)max ? f (1) ? 3n m?n ? 1 ? n ,则 ? ,无解 2 ? f ( x)min ? f (m) ? 3m
? f ( x) max ? f (1) ? 3n m?n ,则 ? ,无解 2 ? f ( x) min ? f (n) ? 3m
,则 ?

③若 m ? 1 ?

④若

? f ( x)max ? f (m) ? 3n ,无解 ? f ( x)min ? f (n) ? 3m

综上, m ? ?4, n ? 0

解析 2:由

1 1 1 1 f ( x) ? ? ( x ? 1) 2 ? ,知 3n ? , n ? , ,则 [m, n] ? (??,1] , 2 2 2 6

又∵在 [m, n] 上当 x 增大时

? f ( x)max ? f (n) ? 3n f (x) 也增大所以 ? ? f ( x)min ? f (m) ? 3m

解得 m ? ?4, n ? 0 评注:解法 2 利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值,缩小了 m , n 的取值范围,避开了繁难的分类讨论,解题过程简洁、明 了。 例 9. 已知二次函数

? 3 ? f ( x ) ? ax2 ? ( 2a ? 1)x ? 1 在区间 ? ? ,2 ? 上的最大值为 3,求实数 a 的值。这是一个逆向最值问题,若从求 ? 2 ? 最值入手,需分 a ? 0 与 a ? 0 两大类五种情形讨论,过程繁琐不堪。若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到,因
此先计算这些点的函数值,再检验其真假,过程就简明多了。

具体解法为: (1)令

f(?

2a ? 1 1 ) ? 3 ,得 a ? ? 2a 2

此时抛物线开口向下,对称轴方程为 x

1 ? 3 ? ? ?2 ,且 ?2 ? ? ? ,2 ? ,故 ? 不合题意; 2 ? 2 ?

(2)令

f ( 2 ) ? 3 ,得 a ?

1 2
? 1 符合题意; 2

此时抛物线开口向上,闭区间的右端点距离对称轴较远,故 a (3)若

3 2 f ( ? ) ? 3 ,得 a ? ? 2 3

此时抛物线开口向下,闭区间的右端点距离对称轴较远,故 a 综上, a

??

2 符合题意。 3

?

1 2 或a ? ? 2 3

解后反思:若函数图象的开口方向、对称轴均不确定,且动区间所含参数与确定函数的参数一致,可采用先斩后奏的方法,利用二次 函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得,不妨令之为最值,验证参数的资格,进行取舍,从而避开繁难的分类讨论,使解 题过程简洁、明了。

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