人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题:课时提升作业(三十一) 5.3等比数列 Word版含答案

课时提升作业(三十一)
等比数列 (25 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2015 · 皖 西 七 校 模 拟 ) 在 等 比 数 列 {an} 中 ,Sn 是 它 的 前 n 项 和,a2·a3=2a1,且 a4 与 2a7 的等差中项为 17,则 S6= ( A. B.16 C.15 D. ) 60 分)

【解析】 选 A.设等比数列{an}的公比为 q,由 a2· a3=2a1 得,a1q×a1q2=2a1, 即 a1q3=2①,由 a4 与 2a7 的等差中项为 17 得,a4+2a7=34,即 a1q3(1+2q3)=34 ②, 由①②联立解得,q=2,a1= ,所以 S6= = ,故选 A.

【加固训练】 (2015 ·福州模拟 ) 已知等比数列 {an} 的前 n 项和为 Sn=x·3n-1- ,则 x 的值为 ( A. B.) C. ①, =x· (3n-1-3n-2)=2x· 3n-2, D.-

【解析】选 C.当 n=1 时,a1=S1=x当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= 因为{an}是等比数列, 所以 a1= = = ②,

由①②得 x- = ,解得 x= . 2.(2015·新余模拟)已知等比数列{an}中,各项都是正数,且 a1, a3,2a2 成等差数列,则 A. B.3-2 = ( ) C.3+2 D.

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【解析】选 C.a1, a3,2a2 成等差数列,所以 a3=a1+2a2,即 a1q2=a1+2a1q,解 得 q=1+ , =q2=(1+ )2=3+2 .

3.(2015 · 长 春 模 拟 ) 在 正 项 等 比 数 列 {an} 中 , 已 知 a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则 n= ( A.11 B.12 C.14 ) D.16

【解析】选 C.设数列{an}的公比为 q,由 a1a2a3=4= q3 与 a4a5a6=12= q12 可得 q9=3,an-1anan+1= q3n-3=324,因此 q3n-6=81=34=q36,所以 n=14. 4. 已知等比数列 {an}(n ∈ N*) 中有 a5a11=4a8, 数列 {bn} 是等差数列 , 且 a8=b8,则 b7+b9 等于 ( A.2 B.4 ) C.8 D.16 =4a8,因为 a8≠0,所以 a8=4,

【解析】 选 C.b7+b9=2b8,又 a5a11=4a8,所以 即 b8=4,所以 b7+b9=2b8=8.

【加固训练】已知各项不为 0 的等差数列{an},满足 2a3列{bn}是等比数列,且 b7=a7,则 b6b8= ( A.2 B.4 C.8 ) D.16

+2a11=0,数

【解析】 选 D.因为数列{an}是等差数列,所以 a3+a11=2a7 由 2a3得 4a7=0,又 an≠0,所以 a7=4,所以 b6b8= =42=16. )

+2a11=0

5.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=an-1(a≠0),则{an} ( A.一定是等差数列 B.一定是等比数列 C.或者是等差数列,或者是等比数列 D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列

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【 解 析 】 选 C. 因 为 Sn=an-1(a ≠ 0), 所 以 an= an=



当 a=1 时,an=0,数列{an}是一个常数列,也是等差

数列;当 a≠1 时,数列{an}是一个等比数列. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sm=10,S2m=30,则 S3m=__________. 【解析】由等比数列的性质知 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 也成等比数列 , 所以 10,20,S3m-30 成等比数列,故 10(S3m-30)=202,解得 S3m=70. 答案:70 【加固训练】已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn=3n+1+a,n∈N*,则实数 a 的值是 ( A.-3 B.3 C.-1 D.1 )

【解题提示】由 Sn 求 an,而后由 a1=S1 求 a. 【解析】选 A.当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n+1-3n=2·3n,当 n=1 时,a1=S1=9+a, 因为{an}是等比数列,所以有 9+a=2×3,解得 a=-3. 7.(2015 · 黄 山 模 拟 ) 已 知 等 比 数 列 {an} 为 递 增 数 列 , 且 =a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的通项公式 an=________. 【解题提示】由 2(an+an+2)=5an+1 得 q 的方程求 q,由 解. 【解析】因为 2(an+an+2)=5an+1,所以 2an+2an·q2=5an·q,即 2q2-5q+2=0, 解得 q=2 或 q= (舍去).又因为 =a10=a5·q5,所以 a5=q5=25=32,所以 =a10 求 a1 即可求

32=a1·q4,解得 a1=2,所以 an=2×2n-1=2n,故 an=2n.
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答案:2n 8.(2015· 赣州模拟)在数列{an}中,若 则称{an}为“等方差数列”. 下列是对“等方差数列”的判断: ①若{an}是等方差数列,则{ }是等差数列; }是等方差数列. =p(n≥2,n∈N*,p 为常数),

②已知数列{an}是等方差数列,则数列{ ③{(-1)n}是等方差数列;

④若{an}是等方差数列,则{akn}(k∈N*,k 为常数)也是等方差数列.其中 正确命题的序号为____________. 【解析】对于①,由等方差数列的定义可知,{ 列,故①正确.对于②,取 an= }是公差为 p 的等差数 }

,则数列{an}是等方差数列,但数列{

不是等方差数列,故②错.对于③,因为

-[(-1)n-1]2=0(n≥2,n∈

N*) 为 常 数 , 所 以 {(-1)n} 是 等 方 差 数 列 , 故 ③ 正 确 . 对 于 ④ , 若 =( =p(p )+( ≥ 2,n )+…+( ∈ N*), 则

)=kp 为

常数,故④正确. 答案:①③④ 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.(2015·北京模拟)已知等比数列{an}的所有项均为正数,首项 a1=1, 且 a4,3a3,a5 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式. (2)数列{an+1-λ an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn=2n-1(n∈N*),求实数λ 的值.

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【解析】(1)设数列{an}的公比为 q,由条件得 q3,3q2,q4 成等差数列,所 以 6q2=q3+q4, 解得 q=-3,或 q=2, 由数列{an}的所有项均为正数,则 q=2, 数列{an}的通项公式为 an=2n-1(n∈N*). (2)记 bn=an+1-λan, 则 bn=2n-λ·2n-1=(2-λ)2n-1, 若λ=2,bn=0,Sn=0 不符合条件; 若λ≠2,则 此时 Sn= =2,数列{bn}为等比数列,首项为 2-λ,公比为 2.

(1-2n)=(2-λ)(2n-1),

又 Sn=2n-1(n∈N*),所以λ=1. 【方法技巧】等差数列与等比数列的联系与区别 等差数列 等比数列 (1)强调每一项与前一项的 (1)强调每一项与前一项的差 不 (2)a1 和 d 可以为 0 同 (3)任意两实数的等差中项唯一 点 (4)当 m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)时 am+an=ap+aq 比 (2)a1 与 q 均不为 0 (3)两同号实数(不为 0)的 等比中项有两个值 (4)当 m+n=p+q(m,n,p,q∈ N*)时 aman=apaq 相 (1)都强调每一项与其前一项的关系 同 (2)结果都必须是常数

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点 (3)数列都可以由 a1,d 或 a1,q 确定 (1)若{an}为正项等比数列,则{logman}为等差数列,其中 m>0,且 m≠ 联 1 系 (2){an}为等差数列,则{ }为等比数列

(3)非零常数列既是等差数列又是等比数列 【加固训练】(2015·天津模拟)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S1,2S2,3S3 成等差数列,且 S4= . (1)求数列{an}的通项公式. (2)求证 Sn< . 【解析】(1)设等比数列{an}的公比为 q. 因为 S1,2S2,3S3 成等差数列,所以 4S2=S1+3S3, 即 4(a1+a2)=a1+3(a1+a2+a3),所以 a2=3a3, 所以 q= = . 又 S4= ,即 = , .

解得 a1=1,所以 an= (2)由(1)得 Sn= = =

< .

10.(2015·抚州模拟)已知等比数列{an}中,a1= ,公比 q= . (1)Sn 为{an}的前 n 项和,证明:Sn= .

(2)设 bn=log3a1+log3a2+?+log3an,求数列{bn}的通项公式. 【解析】(1)因为数列{an}为等比数列,a1= ,q= ,

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所以 an= × Sn= 又因为 所以 Sn= = = . ,

= ,

=Sn,

(2)因为 an= , 所以 bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-log33+(-2log33)+…+(-nlog33) =-(1+2+…+n)=. . (20 分钟 40 分)

所以数列{bn}的通项公式为 bn=-

1.(5 分)(2013·新课标全国卷Ⅰ)设首项为 1,公比为 的等比数列{an} 的前 n 项和为 Sn,则 ( A.Sn=2an-1 C.Sn=4-3an ) B.Sn=3an-2 D.Sn=3-2an = =3-2an.

【解析】选 D.方法一:在等比数列{an}中,Sn= 方法二:在等比数列{an}中,a1=1,q= , 所以 an=1× Sn= =3 =3 =3-2an. = .

2.(5 分)(2015·黄冈模拟)在等比数列{an}中,“8a2-a5=0”是“{an}为 递增数列”的 ( A.充分不必要条件 ) B.必要不充分条件
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C.既不充分又不必要条件

D.充要条件

【解析】选 C.由 8a2-a5=0,得到 a5=8a2.又 a5=q3a2, 则 q=2,而 a1>0 时,数列{an}为递增数列,a1<0 时,数列{an}为递减数列. 当{an}为递增数列时,q 不一定等于 2. 则“8a2-a5=0”是“{an}为递增数列”的既不充分又不必要条件. 3.(5 分)(2015·泰安模拟)在如图所示的表格中,如果每格填上一个数 后 , 每一横行成等差数列 , 每一纵列成等比数列 , 那么 x+y+z 的值为 ( ) 2 1 4 2 x y z A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】选 B.由题知表格中第三纵列中的数成首项为 4,公比为 的等 比数列,故有 x=1. 根据每横行成等差数列得第四列前两个数字依次为 5, ,故第四列的公 比为 . 所以 y=5× = ,同理 z=6× = ,因此 x+y+z=2.

【加固训练】下面给出一个“直角三角形数阵”

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, , , ?? 满足每一列成等差数列,从第三行起, 每一行的数成等比数列,且每一 行 的 公 比 相 等 , 记 第 i 行 第 j 列 的 数 为 aij(i ≥ j,i,j ∈ N*), 则 (1)anm=__________,(2)a83=__________________. 【解题提示】先求出成等差数列的第一列的通项,然后再求出第三行数 列的公比. 【解析】由已知第一列数列的通项为 ,从第三行起各行等比数列的公 比为 . (1)anm= · (2)a83= · 答案: · 4.(12 分)已知数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2= (1)令 bn=an+1-an,证明:{bn}是等比数列. (2)求{an}的通项公式. 【解析】(1)b1=a2-a1=1, 当 n≥2 时,bn=an+1-an= =- (an-an-1)=- bn-1, 所以{bn}是首项为 1,公比为- 的等比数列. (2)由(1)知 bn=an+1-an= , +…+ -an ,n∈N*. . = .

当 n≥2 时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+1+

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=1+ =1+ 当 n=1 时, ∈N*) 【加固训练】已知数列{an}中,a1=1,a2=2,且 an+1=(1+q)an-qan-1(n≥2,q ≠0). (1)设 bn=an+1-an(n∈N*),证明:{bn}是等比数列. (2)求数列{an}的通项公式. (3)若 a3 是 a6 与 a9 的等差中项,求 q 的值,并证明:对任意的 n∈N*,an 是 an+3 与 an+6 的等差中项. 【解析】(1)由题设 an+1=(1+q)an-qan-1(n≥2), 得 an+1-an=q(an-an-1),即 bn=qbn-1,n≥2. 由 b1=a2-a1=1,q≠0, 所以{bn}是首项为 1,公比为 q 的等比数列. (2)由(1),a2-a1=1,a3-a2=q,…,an-an-1=qn-2(n≥2), 将以上各式相加,得 an-a1=1+q+…+qn-2(n≥2), 即 an=a1+1+q+…+qn-2(n≥2). 所以当 n≥2 时,an= 上式对 n=1 显然成立. (3) 由 (2), 当 q=1 时 ,显然 a3 不是 a6 与 a9 的等差中项,故 q≠ 1,由 a3-a6=a9-a3,可得 q5-q2=q2-q8, = , =1=a1,所以{an}的通项公式为 an= (n

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由 q≠0 得 q3-1=1-q6, ① 整理得(q3)2+q3-2=0, 解得 q3=-2.于是 q=另一方面,an-an+3= an+6-an= = . = (1-q6), (q3-1),

由①可得 an-an+3=an+6-an, 所以对任意的 n∈N*,an 是 an+3 与 an+6 的等差中项. 5.(13 分)(能力挑战题)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,且对任意 n∈N*时, 点(an,Sn)都在函数 f(x)=- x+ 的图像上. (1)求数列{an}的通项公式. (2)设 bn= log3(1-2Sn)+10,求数列{bn}的前 n 项和 Tn 的最大值. 【 解 析 】 (1) 因 为 点 (an,Sn) 都 在 函 数 f(x)=- x+ 的 图 像 上 , 所 以 Sn=- an+ , 当 n=1 时,S1+ a1= ,因为 S1=a1,所以 a1= ; 当 n≥2 时,Sn-1=- an-1+ , 所以 an=Sn-Sn-1=- an+ + an-1- =- an+ an-1, 所以 an= an-1,所以{an}是首项为 ,公比为 的等比数列.所以 an= (2)因为{an}是首项为 ,公比为 的等比数列, 所以 Sn= = , .

所以 bn= log3(1-2Sn)+10=- n+10, 因为 b1= ,bn+1-bn=- ,

- 11 -

所以数列{bn}是以 为首项,以- 为公差的等差数列,且单调递减. 由 可得

即 5 <n≤6 ,所以 n=6 时,Tn 取得最大值, 所以数列{bn}的前 n 项和的最大值为 T6= +1 ×6= .

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