【备战2016】(上海版)高考数学分项汇编 专题09 圆锥曲线(含解析)理

专题 09 圆锥曲线
一.基 础题组 1. 【2014 上海,理 3】若抛物线 y =2px 的焦点与椭圆 ___________. 【答案】 x ? ?2 .
2

x2 y2 ? ? 1 的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为 9 5

【考点】椭圆与抛物线的几何性质. 2. 【2013 上海 ,理 9】设 AB 是椭圆 Γ 的长轴,在 C 在 Γ 上,且∠CBA= 两个焦点之间的距离为______. 【答案】

? .若 AB=4,BC= 2 ,则 Γ 的 4

4 6 3

y 2 x2 ? =1 的一个焦点,则 m=______. 3. 【2011 上海,理 3】设 m 是常数,若点 F(0,5)是双曲线 m 9
【答案】16

4. 【2010 上海,理 3】若动点 P 到点 F(2,0)的距离与它到直 线 x ? 2 ? 0 的距离相等,则点 P 的轨迹方 程为_____________; 【答案】 y ? 8x
2

【解析】由抛物线定义知:P 的轨迹为抛物线,易知焦参数 p ? 4 ,所以点 P 的轨迹方程为 y ? 8x .
2

【点评】本题考查抛物线定义和轨迹方程的求法之——直接法,属基 础概念题. 5. 【2010 上海,理 13】如图所示,直线 x ? 2 与双曲线 ? :

x2 ? y 2 ? 1 的渐近线交于 E1 , E2 两点,记 4

???? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ,则 a 、 b 满足的一 OE1 ? e1 , OE2 ? e2 .任取双曲线 ? 上的点 P ,若 OP ? ae1 ? be2 ( a 、 b ? R )
个等式是 【答案】 4ab ? 1 ;

【点评】本题考查双曲线的几何性质,向量的坐标运算,平面向量基本定理等知识,把向量与解几结合命 题,是全国各地高考题中的主流趋势. 6. (2009 上海 ,理 9) 已知 F1 、 F2 是椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 (a > b > 0) 的两个焦点,P 为椭圆 C 上一点 ,且 a2 b2

PF 1 ? PF 2 .若△PF1F2 的面积为 9,则 b=______________.
【答案】3

7. (2009 上海 , 理 14) 将函数 y ?

4 ? 6 x ? x 2 ? 2 (x∈[ 0,6 ] ) 的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角

θ (0≤θ ≤α ), 得到曲线 C. 若对于每一个旋转角 θ , 曲线 C 都是一个函数的图像 , 则 α 的最大值为 _____________.

【答案】 arctan

2 3

8. 【2007 上海,理 8】已知双曲线 方 程为 _____

x2 y 2 ? ? 1 ,则以双曲线中心为焦点,以双曲线左焦点为顶点的抛物线 4 5

9. 【2006 上海,理 7】已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2 3 ,0) ,且长轴长是短轴长的 2 倍,则 该椭圆的标准方程是 .

x2 y2 ? ?1 【答案】 16 4

10. 【2005 上海,理 5】若双曲线的渐近线方程为 y ? ?3x ,它的一个焦点是 __________.

? 10,0? ,则双曲线的方程是

【答案】 x ?
2

y2 ?1 9

11. 【2005 上海,理 15】过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐标之 和等于 5,则这样的直线( ) A.有且仅有一条 【答案】B B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在

二.能力题组 1. 【2013 上海,理 22】如图,已知双曲线 C1:

x2 2 -y =1,曲线 C2:|y|=|x|+1.P 是平面内一点,若存 2

在过点 P 的直线与 C1、C2 都有公共点,则称 P 为“C1C2 型点”. (1)在正确证明 C1 的左焦点是“C1C2 型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的 方程 (不要求验证); (2)设直线 y=kx 与 C2 有公共点,求证|k|>1,进而证明原点不是“C1C2 型点”; (3)求证:圆 x +y =
2 2

1 内的点都不是“C1C2 型点”. 2

【答案】(1) x= ? 3 或 y= k ( x ? 3) ,其中|k|≥

3 . (2) 参考解析;(3)参考解析 3

2. 【2012 上海,理 2 2】在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C1:2x -y =1. (1)过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及 x 轴围成的三角形的面积; (2)设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P,Q 两点.若 l 与圆 x +y =1 相切,求证:OP⊥OQ; (3)设椭圆 C2:4x +y =1.若 M,N 分别是 C1,C2 上的动点,且 OM⊥ON,求证:O 到直线 MN 的距离是
2 2 2 2

2

2

定值. 【答案】(1)

2 ;(2)参考解析; (3)参考解析 8

3. 【2010 上海,理 23】 (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 9 分.

x2 y 2 已知椭圆 ? 的方程为 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) ,点 P 的坐标为( ? a, b ). a b
(1)若直角坐标平面上的点 M 、 A(0, ?b) , B (a, 0) 满足 PM ?

???? ?

? ??? ? 1 ??? ( PA ? PB ) ,求点 M 的坐标; 2

b2 (2)设直线 l1 : y ? k1 x ? p 交椭圆 ? 于 C 、 D 两点,交直线 l2 : y ? k2 x 于点 E .若 k1 ? k2 ? ? 2 ,证明: a
E 为 CD 的中点;
(3)对于椭圆 ? 上的点 Q(a cos ? , b sin ? ) ( 0 ? ? ? ? ) ,如果椭圆 ? 上存在不同的两个交点 P 1、P 2 满足

??? ? ???? ??? ? PP 1、 P 2 的步骤,并求出使 P 1、 P 2 存在的 ? 的取值范围. 1 ? PP 2 ? PQ ,写出求作点 P
【答案】 (1) M ( ,? ) ;(2)参考解析;(3) (0,

a 2

b 2

?
4

? arcsin

2 ) 4

【点评】今年以解析几何为压轴题,意图与全国大多数考区的试卷接轨.本题是具有一定深度的探究题,然 而从研究问题的一般方法入手,可以从具体到一般地层层深入,即可获得各小题的部分分值是我们对不少 考生的期望.
2 4. 【2008 上海,理 18】(6’+9’)已知双曲线 C : x ? y 2 ?1 , P 为 C 上的 任意点。

4

(1)求证:点 P 到双曲线 C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数; (2)设点 A 的坐标为 (3,0) ,求 | PA| 的最小值;

【答案】 (1)参考解析;(2)

2 5 5

5. 【2008 上海,理 20】(3’+5’+8’)设 P( a,b)(b≠0)是平面直角坐标系 xOy 中的点,l 是经过原点 与

点(1,b)的直线,记 Q 是直线 l 与抛物线 x =2py(p≠0)的异于原点的交点 ⑴ 若 a=1,b=2,p=2,求点 Q 的坐标

2

x 2 1 ⑵ 若点 P(a,b)(ab≠0)在椭圆 +y =1 上,p= , 4 2ab
求证:点 Q 落在双曲线 4x -4y =1 上 ⑶ 若动点 P(a,b)满足 ab≠0,p= 1 ,若点 Q 始终落在一条关于 x 轴对称的抛物线上,试问动点 2ab
2 2

2

P 的轨迹落在哪种二次曲线上,并说明理由. 【答案】⑴(8,16);⑵参考解析;⑶参考解析

6. 【2007 上海,理 21】已知半椭圆
2 2 2

x2 y 2 y 2 x2 ? ? 1 x ? 0 ? ? 1? x ? 0 ? 组成的曲线称为“果 与半椭圆 ? ? a 2 b2 b2 c2

圆” ,其中 a ? b ? c , a ? 0, b ? c ? 0 。如图,设点 F0 , F1 , F2 是相应椭圆的焦点, A1 , A2 和 B1 , B2 是“果圆” 与 x , y 轴的交点, (1)若三角形 F0 F1 F2 是边长为 1 的等边三角形,求“果圆”的方程; (2)若 A 1A ? B 1 B ,求

b 的取值范围; a

(3)一条直线与果圆交于两点,两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数 k , 使得斜率为 k 的直线交果 圆于两点,得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上?若存在,求出所有 k 的值 ;若不存在,说明理由. 【答案】 (1)参考解析;(2) (

2 4 , ) ;(3)参考解析 2 5

7. 【2006 上海,理 20】 (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分)

在平面直角坐标系 x O y 中,直线 l 与抛物线 y 2 =2 x 相交于 A、B 两点. (1)求证: “如果直线 l 过点 T(3,0) ,那么 OA ? OB =3”是真命题; (2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由. 【答案】 (1)参考解析;(2)假命题
?? ? ?? ?

8. (本题满分 16 分)(2009 上海,理 21)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 8 分. 已知双曲线 C:

x2 ? y 2 ? 1 ,设过点 A( ? 3 2 ,0)的直线 l 的方向向量 e=(1,k). 2

(1)当直线 l 与双曲线 C 的一条渐近线 m 平行时,求直 线 l 的方程及 l 与 m 的距离; (2)证明:当 k ?

2 时,在双曲线 C 的右支上不存在点 Q,使之到直线 l 的距离为 6 . 2

【答案】(1) x ? 2 y ? 3 2 ? 0 ,

6 ; (2) 参考解析

9. 【2005 上海,理 19】 (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满 分 8 分. 如图,点 A 、 B 分别是椭圆 位于 x 轴上方, PA ? PF . (1)求点 P 的坐标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点,M 到直线 AP 的距离等于 MB ,求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最 小值.

x2 y 2 ? ? 1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 P 在椭圆上,且 36 20

【答案】 (1) ( ,

3 5 3) ; (2) 15 2 2


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