广州市育才中学高二数学选修1-1第三章导数及其应用单元检测题A组

广州市育才中学 2008-09 学年高二数学选修 1-1 单元检测题 导数及其应用(A 组:适合 A,B 类学校使用)
时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1、设 f (x) 是可导函数,且 lim 命题人:李叶秀 邓军民

?x ?0

f ( x0 ? 2?x) ? f ( x0 ) ? 2, 则f ?( x0 ) ? ( ?x
C.0 D.-2

)

A.

1 2

B.-1

2、 f ?( x) 是 f (x) 的导函数, f ?( x) 的图象如右图所示,则 f (x) 的图象只可能是(



(A)
3 2

(B)

(C)

(D) ) D. y ? 4 x ? 5

3、曲线 y ? x ? 3x ? 1 在点 (1,?1) 处的切线方程为( A. y ? ?3x ? 2 B. y ? 3x ? 4 C. y ? ?4 x ? 3 4、设 f ( x) ? x ln x ,若 f '( x0 ) ? 2 ,则 x0 ? ( A. e
2

)

B. e
x

C.

ln 2 2
1 e

D. ln 2 )

5、设 a ? R ,若函数 y ? e ? ax , x ? R 有大于零的极值点,则( A. a ? ?1 B. a ? ?1 C. a ? ? D. a ? ?

1 e

6、 已知对任意实数 x , f (?x) ?? f (x) , ? ) ?g (x) 有 g( x 则 x ? 0 时( )

, x ? 0 时, f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 , 且

A. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 C. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0
3 2 2

B. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 D. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 )

7、函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a 在 x ? 1处有极值 10, 则点 (a, b) 为( A. (3,?3) 8、已知 y ? B. (?4,11) C. (3,?3) 或 (?4,11) D.不存在

1 3 x ? bx 2 ? (b ? 2) x ? 3 是 R 上的单调增函数,则 b 的取值范围是( 3 A. b ? ?1 B. b ? ?1 ,或b ? 2 ,或b ? 2 C. ? 1 ? b ? 2 D. ? 1 ? b ? 2

)

-1-

9、函数 y ? 2 x ? 3x ? 12 x ? 5 在 [0,3] 上的最大值和最小值分别是(
3 2

)

A. 5,15

B. 5, ? 4
2

C. 5, ? 15

D. 5, ? 16

10、已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的导数为 f '(x ) , f '(0) ? 0 ,对于任意实数 x 都有

f ( x ) ? 0,则
A. 3

f (1) 的最小值为( f '(0)
B.

)

5 2

C. 2

D.

3 2


二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11、设函数 f ( x) ? 2 x ?

1 ? 2( x ? 0), 则 f ( x) 的最大值为 x

12、已知函数 y ? f ( x) 的图象在点 M (1 f (1)) 处的切线方程是 y ? ,

1 x ? 2 ,则 2

f (1) ? f ?(1) ?

. .

13、函数 f ( x) ? x ln x( x ? 0) 的单调递增区间是
3

14 、 已 知 函 数 f ( x) ? x ? 12 x ? 8 在 区 间 [? 3, 3] 的 最 大 值 与 最 小 值 分 别 为 M , m , 则 上 . 三、解答题(本大题共 6 小题,满分共 80 分) 15、 (本小题 12 分) 已知抛物线 y ? ax ? bx ? c 通过点(1,1),且在(2,-1)处的切线的斜率为 1,求 a,b, c 的值.
2

M ?m ?

16、 (本小题 12 分) 某单位用 2160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2000 平方米 的楼房。经测算,如果将楼房建为 x( x ? 10) 层,则每平方米的 平均建筑费用为 560 ? 48x (单 位:元) 。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层? (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=

购地总费用 ) 建筑总面积

-2-

17、 (本小题 14 分) 已知 f ( x) ? ax ? bx ? cx 在区间[0,1]上是增函数,在区间 (??,0), (1,??) 上是减函数,
3 2

又 f ?( ) ?

1 2

3 .. 2

(Ⅰ)求 f (x) 的解析式; (Ⅱ)若在区间 [0, m] (m>0)上恒有 f (x) ≤x 成立,求 m 的取值范围。

18、 (本小题 14 分) 已知 f ( x) ? ax ? bx ? 2 x ? c 在 x ? ?2 时有极大值 6,在 x ? 1 时有极小值,求 a,b,c
3 2

的值;并求 f ( x) 区间 [?3,3] 上的最大值和最小值.

-3-

19、 (本小题 14 分) 已知二次函数 f ( x) 满足:(1)在 x ? 1 时有极值;(2)图象过点 0, ,且在该点处的切线与直 ( 3) 线 2 x ? y ? 0 平行. (I)求 f ( x) 的解析式; (II)求函数 g ( x) ? f ( x ) 的单调递增区间.
2

20、 (本小题 14 分) 设函数 f ( x) ?

2x ?1 。 x2 ? 2

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间和极值; (Ⅱ)若对一切 x ? R , ?3 ? af ( x) ? b ? 3 ,求 a ? b 的最大值.

-4-

广州市育才中学 2008-09 学年高二数学选修 1-1 单元检测题 导数及其应用(A 组:适合 A,B 类学校使用)key
一、选择题 1、B 2、D 3、A 4、B 二、填空题 11、 2 12、3 13、 ? , ?? ? ?e ?
2

5、A 6、B 7、B 8、D 9、C 10、C

?1

?

14、25

三、解答题 15、解:∵ y ? ax ? bx ? c 分别过(1,1)点和(2,-1)点 ∴ a+b+c=1 (1) 4a+2b+c=-1 (2) 又 y′=2ax+b ∴y′|x=2=4a+b=1 (3) 由(1)(2)(3)可得,a=3,b=-11,c=9. 16、解:设楼房每平方米的平均综合费为 y 元,依题意得

2160 ?10000 10800 ? 560 ? 48 x ? ( x ? 10, x ? N * ) 2000 x x 10800 10800 则 y? ? 48 ? ,令 y? ? 0 ,即 48 ? ? 0 ,解得 x ? 15 2 x x2 当 x ? 15 时, y? ? 0 ;当 0 ? x ? 15 时, y? ? 0 , 因此,当 x ? 15 时, y 取得最小值, ymin ? 2000 元. y ? (560 ? 48 x) ?
答:为了使楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为 15 层。 17、解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? c ,由已知 f ?(0) ? f ?(1) ? 0 ,
2

?c ? 0, ?c ? 0, ? 即? 解得 ? 3 ?3a ? 2b ? c ? 0, ?b ? ? a. ? 2

? 1 ? 3a 3a 3 ? f ?( x) ? 3ax 2 ? 3ax ,? f ? ? ? ? ? ? ,? a ? ?2 ,? f ( x) ? ?2 x3 ? 3x 2 . 2 2 ?2? 4
(Ⅱ)令 f ( x) ? x ,即 ?2 x ? 3x ? x ? 0 ,? x(2 x ? 1)( x ? 1) ? 0 ,
3 2

?0 ? x ?

1 1 或 x ? 1.又 f ( x) ? x 在区间 ? 0,m? 上恒成立,? 0 ? m ? . 2 2

-5-

18、.解: (1) f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? 2 由条件知
2

? f ?( ?2) ? 12 a ? 4b ? 2 ? 0, 1 1 8 ? 解得a ? , b ? , c ? . ? f ?(1) ? 3a ? 2b ? 2 ? 0, 3 2 3 ? f ( ?2) ? ?8a ? 4b ? 4 ? c ? 6. ?
(2) f ( x) ? x -3

1 3 1 2 8 x ? x ? 2 x ? , f ?( x) ? x 2 ? x ? 2 3 2 3
(-3,-2) + -2 0 6 (-2,1) - ↘ 1 0 (1,3) + ↗ 3

f ?(x)

f (x)

4

1 6



3 2

10

1 6

由上表知,在区间[-3,3]上,当 x=3 时, f max ? 10

1 3 ,当 x=1 时, f min ? . 6 2

19、解: (I)设 f ( x) ? ax ? bx ? c ,则 f ?( x) ? 2ax ? b .
2

? f ?(1) ? 0, ?2a ? b ? 0, ? ? 由题设可得: ? f ?(0) ? ?2, 即 ?b ? ?2, ? f (0) ? ?3, ?c ? ?3. ? ?
所以 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 .
2

?a ? 1, ? 解得 ?b ? ?2, ?c ? ? 3 . ?

(II) g ( x) ? f ( x ) ? x ? 2 x ? 3 , g ?( x) ? 4 x ? 4 x ? 4 x( x ? 1)( x ? 1) .
2 4 2 3

列表: x f?(x) f(x) (-∞,-1) - ↘ -1 0 (-1,0) + ↗ 0 0 (0,1) - ↘ 1 0 (1,+∞) + ↗

由表可得:函数 g(x)的单调递增区间为(-1,0),(1,+∞).

20、解: (Ⅰ) f ( x) ?
'

2 x ? 1 ?2( x ? 2)( x ? 1) , ? x2 ? 2 ( x 2 ? 2) 2
' '

当 x ? (?2,1) 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? (??, ?2) ? (1, ??) 时, f ( x) ? 0 ; 故 f ( x) 在 (?2,1) 单调增加,在 (??, ?2) ? (1, ??) 单调减少。

1 f ( x) 的极小值 f (?2) ? ? ,极大值 f (1) ? 1 2

-6-

(Ⅱ)由 ( f ( x) ? )( f (1) ? 1) ?

1 2

?( x ? 2) 2 ( x ? 1) 2 知 2( x 2 ? 2) 2

1 ? ? f ( x) ? 1 2 1 由此及(Ⅰ)知 f ( x) 的最小值为 ? ,最大值为 1 2
因此对一切 x ? R , ?3 ? af ( x) ? b ? 3 的充要条件是,

1 ( f ( x) ? )( f (1) ? 1) ? 0 即 2

1 ? ??3 ? ? a ? b ? 3 2 ? ??3 ? a ? b ? 3 ?
即 a , b 满足约束条件

? a ? b ? ?3 ?a ? b ? 3 ? ? 1 ? ? a ? b ? ?3 , ? 2 ? 1 ?? a ? b ? 3 ? 2
由线性规划得, a ? b 的最大值为 5.

-7-


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