广州市育才中学高二数学选修1-1第三章导数及其应用单元检测题B组

广州市育才中学 2008-09 学年高二数学选修 1-1 单元检测题 导数及其应用(B 组:适合 C 类及以下学校使用)
时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1、已知函数 f(x)=ax2+c,且 f ?(1) =2,则 a 的值为( A.0 B. 2 C.-1 命题人:李叶秀 邓军民

) D.1 )

2、已知二次函数 f ?x ? 的图象如图 1 所示 , 则其导函数 f ? ( x) 的图象大致形状是(

3、曲线 y ? x 3 ? 3x 2 ? 1 在点 (1,?1) 处的切线方程为( A. y ? ?3 x ? 2 B. y ? 3x ? 4 C. y ? ?4 x ? 3 4、设 f ( x) ? x ln x ,若 f '( x0 ) ? 2 ,则 x0 ? ( A. e
2

) D. y ? 4 x ? 5

)

B. ln 2

C.

5、已知 f′(x0) =3, lim A.3

?x ? 0

f ( x0 ? 2?x) ? f ( x0 ) 的值是( 3?x 2 B.2 C. 3

ln 2 2

D. e ) D.

3 2

g( x 6、 已知对任意实数 x , f (?x) ?? f (x) , ? ) ?g (x) 有
则 x ? 0 时( )

, x ? 0 时, f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 , 且

A. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 C. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0

B. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 D. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0

-1-

7、函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? a 2 在 x ? 1 处有极值 10, 则点 ( a, b) 为( A. (3,?3) 8、已知 y ? B. (3,?3) 或 (?4,11) C. (?4,11) D.不存在

)

1 3 x ? bx 2 ? (b ? 2) x ? 3 是 R 上的单调增函数,则 b 的取值范围是( 3 ,或b ? 2 ,或b ? 2 A. b ? ?1 B. b ? ?1 C. ? 1 ? b ? 2 D. ? 1 ? b ? 2
)

)

9、函数 y ? 2x 3 ? 3x 2 ? 12x ? 5 在 [0,3] 上的最大值和最小值分别是( A. 5,15 B. 5, ? 4 C. 5, ? 15 D. 5, ? 16

10、曲线 y ? e x 在点 (2,e2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(



A.

e2 2

B. 2e

2

C. e

2

D.

9 2 e 4

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11、设函数 f ( x) ? x ?

1 ? 1( x ? 2), 则 f ( x) 的最小值为 x



, 12、已知函数 y ? f ( x) 的图象在点 M (1 f (1)) 处的切线方程是 y ? f (1) ? f ?(1) ?
. .

1 x ? 2 ,则 2

13、函数 f ( x) ? x ln x( x ? 0) 的单调递增区间是

3 14 、 已 知 函 数 f ( x) ? x ?12 x ? 8 在 区 间 [? 3, 3] 的 最 大 值 与 最 小 值 分 别 为 M , m , 则 上 M ?m ? . 三、解答题(本大题共 6 小题,满分共 80 分)

15、 (本小题 12 分)已知抛物线 y ? ax2 ? bx ? 9 在点(2,-1)处的切线的斜率为 1,求 a, b 的值.

-2-

16、 (本小题 12 分) 用长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方 形,然后把四边翻转 90° 角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最 大容积是多少?

x

x

17、 (本小题 14 分) 已知 f ( x) ? ax ? bx ? cx 在区间[0,1]上是增函数,在区间 (??,0), (1,??) 上是减函数,
3 2

又 f ?( ) ?

1 2

3 .. 2

(Ⅰ)求 f (x) 的解析式; (Ⅱ)若在区间 [0, m] (m>0)上恒有 f (x) ≤x 成立,求 m 的取值范围。

18、 (本小题 14 分) 已知 f ( x) ? ax ? bx ? 2 x ? c 在 x ? ?2 时有极大值 6,在 x ? 1 时有极小值,求 a,b,c
3 2

的值;并求 f ( x ) 区间 [?3,3] 上的最大值和最小值.

-3-

19、 (本小题 14 分)

( 3) 已知二次函数 f ( x ) 满足:(1)在 x ? 1 时有极值;(2)图象过点 0, ,且在该点处的切线与直
线 2 x ? y ? 0 平行. (I)求 f ( x ) 的解析式; (II)求函数 g ( x) ? f ( x2 ) 的单调递增区间.

20、 (本小题 14 分) 设函数 f ( x) ? x ? x ? x ? 2 .
3 2

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间和极值; (Ⅱ)若当 x ? [?1, 2] 时, ?3 ? af ( x) ? 3 ,求 a ? b 的最大值.

-4-

广州市育才中学 2008-09 学年高二数学选修 1-1 单元检测题 导数及其应用(B 组:适合 C 类及以下学校使用)key
一、选择题 1、D 2、B 3、A 4、D 5、B 二、填空题 11、 6、B 7、C 8、D 9、C 10、A

3 2

12、3 13、 ? , ?? ? ?e ?

?1

?

14、25

三、解答题 15、解:∵ y ? ax2 ? bx ? 9 分别过(2,-1)点 4a+2b+9=-1 (1) 又 y′=2ax+b ∴y′|x=2=4a+b=1 (2) 由(1)(2)可得,a=3,b=-11.

16、解:设该容器的高为 xcm。容器的容积为 ycm3。 依题意有 y=(90-2x)(48-2x)x (0<x<24) =4(x3-69x2+1080x) ∴ y? =4(3x2-138x+1080)=12(x-10)(x-36)=0 ∴x=10 x=36(不合题意,舍去) ∴当高为 10cm 时,容器的容积最大,最大容积是 19600cm3
2 17、解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? c ,由已知 f ?(0) ? f ?(1) ? 0 ,

?c ? 0, ?c ? 0, ? 即? 解得 ? 3 ?3a ? 2b ? c ? 0, ?b ? ? a. ? 2

? 1 ? 3a 3a 3 ? f ?( x) ? 3ax2 ? 3ax ,? f ? ? ? ? ? ? ,? a ? ?2 ,? f ( x) ? ?2x3 ? 3x2 . ?2? 4 2 2
(Ⅱ)令 f ( x) ? x ,即 ?2 x ? 3x ? x ? 0 ,? x(2 x ? 1)( x ? 1) ? 0 ,
3 2

?0 ? x ?

1 1 或 x ? 1 .又 f ( x) ? x 在区间 ? 0,m? 上恒成立,? 0 ? m ? . 2 2

-5-

18、.解: (1) f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? 2 由条件知

? f ?(?2) ? 12a ? 4b ? 2 ? 0, 1 1 8 ? 解得a ? , b ? , c ? . ? f ?(1) ? 3a ? 2b ? 2 ? 0, 3 2 3 ? f (?2) ? ?8a ? 4b ? 4 ? c ? 6. ?
(2) f ( x) ? x -3

1 3 1 2 8 x ? x ? 2 x ? , f ?( x) ? x2 ? x ? 2 3 2 3
(-3,-2) + -2 0 6 (-2,1) - ↘ 1 0 (1,3) + ↗ 3

f ?(x)

f (x)

4

1 6



3 2

10

1 6

由上表知,在区间[-3,3]上,当 x=3 时, f max ? 10

1 3 ,当 x=1 时, f min ? . 6 2

19、解: (I)设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,则 f ?( x) ? 2ax ? b .

? f ?(1) ? 0, ?2a ? b ? 0, ? ? 由题设可得: ? f ?(0) ? ?2, 即 ?b ? ?2, ? f (0) ? ?3, ?c ? ? 3 . ? ?
所以 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 .

?a ? 1, ? 解得 ?b ? ?2, ?c ? ? 3 . ?

(II) g ( x) ? f ( x2 ) ? x4 ? 2x2 ? 3 , g ?( x) ? 4 x3 ? 4 x ? 4 x( x ?1)( x ? 1) . 列表: x f?(x) f(x) (-∞,-1) - ↘ -1 0 (-1,0) + ↗ 0 0 (0,1) - ↘ 1 0 (1,+∞) + ↗

由表可得:函数 g(x)的单调递增区间为(-1,0),(1,+∞). 20、解: (Ⅰ) f '( x) ? 3x ? 2 x ?1 ? (3x ? 1)( x ?1) .
2

于是,当 x ? ( ? ,1) 时, f '( x) ? 0 ; 当 x ? (??, ? ) ? (1, ??) 时, f '( x) ? 0 . 故 f ( x ) 在 ( ? ,1) 单调减少,在 (??, ? ) , (1, ??) 单调增加. 当 x ? ? 时, f ( x ) 取得极大值 f ( ? ) ?
-6-

1 3

1 3

1 3

1 3

1 3

1 3

59 ;当 x ? 1 时, f ( x ) 取得极小值 f (1) ? 1 . 27

(Ⅱ)根据(Ⅰ)及 f (?1) ? 1 , f (2) ? 4 , f ( x ) 在 [?1, 2] 的最大值为 4,最小值为 1. 因此,当 x ? [?1, 2] 时, ?3 ? af ( x) ? b ? 3 的充要条件是 ? 即 a , b 满足约束条件

??3 ? a ? b ? 3 , ??3 ? 4a ? b ? 3

? a ? b ? ?3 ?a ? b ? 3 ? , ? 4 a ? b ? ?3 ? ? 4a ? b ? 3 ?
由线性规划得, a ? b 的最大值为 7.

-7-


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