山西省永和县第一高级中学2001-2012学年高一必修四人教A版三角函数及恒等变换考试试卷

山西省永和县第一高级中学三角函数及恒等变换考试试卷
一、选择题(共 12 小题,满分 60 分,每小题 5 分) 1、(5 分)(2011?陕西)方程|x|=cosx 在(﹣∞,+∞)内( ) A、没有根 B、有且仅有一个根 C、有且仅有两个根 D、有无穷多个根 2、(5 分)(2011?天津)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ),x∈ R,其中 ω>0,﹣π<φ≤π.若函数 f(x) 的最小正周期为 6π,且当 x= 时,f(x)取得最大值,则( )

A、f(x)在区间[﹣2π,0]上是增函数 C、f(x)在区间[3π,5π]上是减函数

B、f(x)在区间[﹣3π,﹣π]上是增函数 D、f(x)在区间[4π,6π]上是减函数 上单调递增,在区间

3、(5 分)(2011?山东)若函数 f(x)=sinωx(ω>0)在区间 上单调递减,则 ω=( A、 4 、 ( 5 B、 分 ) ( ) C 、2 2011? 辽 D、3 宁 ) 已 知 函



,y=f(x)的部分图 象如图,则 A、 =( B、 ) C、 D、 )的

5、(5 分)(2010?重庆)已知函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< 部分图象如图所示,则( A、ω=1,φ= C、ω=2,φ= ) B、ω=1,φ=﹣ D、ω=2,φ=﹣

6、(5 分)(2009?重庆)下列关系式中正确的是( ) A、sin11° <cos10° <sin168° B、sin168° <sin11° <cos10° C、sin11° <sin168° <cos10° D、sin168° <cos10° <sin11° 7、(5 分)(2009?山东)将函数 y=sin2x 的图象向左平移 函数解析式是( A、y=2cos x
2

个单位,再向上平移 1 个单位,所得图象的

) B、y=2sin x
2

C、

D、y=cos2x )+2 的图象向右平移 个单位后与原图象重合,

8、(5 分)(2010?辽宁)设 ω>0,函数 y=sin(ωx+ 则 ω 的最小值是( A、 B、 ) C、 D、3

9、(5 分)(2009?江西)已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)的图象如图所示, f( )=﹣ ,则 f(0)=( )
1

A、﹣

B、﹣

C、
2

D、 )﹣1 是( )

10、(5 分)(2009?广东)函数 y=2cos (x﹣ A、最小正周期为 π 的奇函数 C、最小正周期为 的奇函数

B、最小正周期为 π 的偶函数 D、最小正周期为 , C、b<c<a , 的偶函数 ,则( D、b<a<c )

11、(5 分)(2008?天津)设 A、a<b<c B、a<c<b

12、(5 分)已知函数 f(x)=sin(2x﹣ a=( A、 ) B、 C、

),若存在 a∈ (0,π),使得 f(x+a)=f(x+3a)恒成立,则

D、

二、填空题(共 4 小题,满分 16 分,每小题 4 分) 13、 (4 分) (2008?辽宁) 已知 ( f x) =sin 上有最小值,无最大值,则 ω= _________ . (ω>0)在 单调增加,在 (ω>0) , ( f ) =f ( ) , 且( f x) 在区间

14、(4 分)(2008?四川)已知函数 单调减少,则 ω= _________ . 15、(4 分)(2007?四川)下面有 5 个命题: 4 4 ① 函数 y=sin x﹣cos x 的最小正周期是 π; ② 终边在 y 轴上的角的集合是



③ 在同一坐标系中,函数 y=sinx 的图象和函数 y=x 的图象有 3 个公共点; ④ 把函数 的图象向右平移 得到 y=3sin2x 的图象;

⑤ 角 θ 为第一象限角的充要条件是 sinθ>0 其中,真命题的编号是 _________ (写出所有真命题的编号) 16、(4 分)若 = _________ .

三、解答题(共 7 小题,满分 74 分) 2 4 17、(10 分)(2008?四川)求函数 y=7﹣4sinxcosx+4cos x﹣4cos x 的最大值与最小值.

2

18、(10 分)(2011?北京)已知函数 (Ⅰ )求 f(x)的最小正周期: (Ⅱ )求 f(x)在区间 上的最大值和最小值.



19、(10 分)(2010?陕西)如图,A,B 是海面上位于东西方向相距 5(3+ )海里的两个观测点,现 位于 A 点北偏东 45° ,B 点北偏西 60° 的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 60° 且与 B 点相 距 20 海里的 C 点的救援船立即即前往营救,其航行速度为 30 海里/小时,该救援船到达 D 点需要多长 时间?

20、 (10 分) (2011?浙江)已知函数

,x∈ R,A>0,

.y=f(x)

的部分图象,如图所示,P、Q 分别为该图象的最高点和最低点,点 P 的坐标为(1,A). (Ⅰ )求 f(x)的最小正周期及 φ 的值; (Ⅱ )若点 R 的坐标为(1,0), ,求 A 的值.

3

21、(10 分)(2010?江苏)某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位:m),如示意图,垂直放置的标 杆 BC 的高度 h=4m,仰角∠ ABE=α,∠ ADE=β. (1)该小组已经测得一组 α、β 的值,tanα=1.24,tanβ=1.20,请据此算出 H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位:m),使 α 与 β 之差较 大,可以提高测量精确度.若电视塔的实际高度为 125m,试问 d 为多少时,α﹣β 最大?

22、(10 分)(2008?广东)已知函数 f(x)=Asin(x+φ)(A>0,0<φ<π),x∈ R 的最大值是 1,其 图象经过点 .

(1)求 f(x)的解析式; (2)已知 ,且 , ,求 f(α﹣β)的值.

4

23、(14 分)已知函数 (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)的单调减区间; (3)画出函数 称中心.



的图象,由图象研究并写出 g(x)的对称轴和对

5

山西省永和县第一高级中学三角函数及恒等变换考试试卷答案与评分标准
一、1、C 2、A. 3、B 4、B 5、D 6、C 二、填空题(共 4 小题,满分 16 分,每小题 4 分) 13、 . 14、ω= . 15、 ① ④ 7、A. 8、C 2 . 9、C. 10、A. 11、D. 12、D.

16、=

三、解答题(共 7 小题,满分 74 分) 17、 2 4 2 2 2 2 解答:解: y=7 ﹣ 4sinxcosx+4cos x ﹣ 4cos x=7 ﹣ 2sin2x+4cos x ( 1 ﹣ cos x ) =7 ﹣ 2sin2x+4cos xsin x=7 ﹣ 2 2 2sin2x+sin 2x=(1﹣sin2x) +6 2 2 由于函数 z=(u﹣1) +6 在[﹣1,1]中的最大值为 zmax=(﹣1﹣1) +6=10 2 最小值为 zmin=(1﹣1) +6=6 故当 sin2x=﹣1 时 y 取得最大值 10,当 sin2x=1 时 y 取得最小值 6 18、 解答:解:(Ⅰ )∵ =4cosx( = = sin2x+2cos x﹣1 sin2x+cos2x )
2

)﹣1

=2sin(2x+

所以函数的最小正周期为 π (Ⅱ )∵ ﹣ ∴ ﹣ ≤2x+ = =﹣ ≤x≤ ≤ ,即 x= 时,f(x)取最大值 2 时,f(x)取得最小值﹣1 ,

∴ 当 2x+ 当 2x+

时,即 x=﹣

19、 解答:解:由题意知 AB=5(3+ )海里, ∠ DBA=90° ﹣60° =30° ,∠ DAB=90° ﹣45° =45° , ∴ ∠ ADB=180° ﹣(45° +30° )=105° , 在△ ADB 中,有正弦定理得 ∴ DB= =
0

= =10

又在△ DBC 中,∠ DBC=60 2 2 2 0 DC =DB +BC ﹣2× DB× BC× cos60 =900 ∴ DC=30 ∴ 救援船到达 D 点需要的时间为 =1(小时)

6

20、 解答:解:(I)由题意得,T= =6

∵ P(1,A)在函数 ∴ 又∵ ∴ φ= (II)设点 Q 的坐标为(x0,﹣A) 由题意可知 解得 x0=4 故 Q 的坐标为(4,﹣A) 连接 PQ,在△ PRQ 中,∠ PRQ= 由余弦定理得 cos∠ PRQ=﹣ = 即 A =3 又∵ A>0, ∴ A= 21、 解答:解:(1) =tanβ?AD= ﹣ = =
2

的图象上 =1

=

,同理:AB= , =124.

,BD=



AD﹣AB=DB,故得 得:H=

因此,算出的电视塔的高度 H 是 124m. (2)由题设知 d=AB,得 tanα= ,tanβ= tan ( α = ﹣ = , β )

=

=

=

=

d+ 故当 d=55

≥2

,(当且仅当 d=

=

=55

时,取等号)

时,tan(α﹣β)最大. ,则 0<α﹣β< ,所以当 d=55
7

因为 0<β<α<

时,α﹣β 最大.

故所求的 d 是 55 22、

m. 代入得 . , 而 , ,

解答:解:(1)依题意有 A=1,则 f(x)=sin(x+φ),将点 而 0<φ<π,∴ ( 2 ) 依 题 ,∴ 意 有 ,故





. 23、 解答:解:(1) (2)由 所以,减区间为 (3)如图所示:g(x)无对称轴,对称中心为( ,得 . ). ,周期 . ,

8


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