2014年高考模拟试卷及答案_数学卷2

2014 年高考数学模拟考试试卷
一、填空题(本大题满分 56 分,每题 4 分) 1.已知集合 M ? {x | 2. 若 sin ? ? ?

x ? 0}, N ? { y | y ? 3x 2 ? 1, x ? R}, 则M ? N 等于 。 x?2
sin ? cos ? ? ___________。
。 。 。

cos ? 3 ,则行列式 sin ? 5

3. 已知 a ? R ,若 (1 ? ai)(3 ? 2i) 为纯虚数,则 a 的值为 4. 若 ( a ? 1) 6 的展开式中的第 5 项等于

15 , 则 lim(a ? a 2 ? ? ? a n ) 的值为 n? ? 2
2

5. 已知等比数列 {a n } 的公比为正数,且 a3 · a9 =2 a5 , a 2 =1,则 a1 = 6.设 f ( x ) 的反函数为 f 则x?
?1

( x) ,若函数 f ( x ) 的图像过点 (1, 2) ,且 f ? 1 ( 2 x ? 1) ? 1 ,

开始

7.甲、乙、丙三人参加某项测试,他们能达到标准的概率分别 是 0.8,0.6,0.5,则三人中至少有一人达标的概率是 8.在极坐标系中,已知点 A(2, ? ), B(2,

a ? 2, n ?1
输出 a



?
2

) ,C 是曲线 ? ? 2 cos?

n ? n ?1
a ? 3a

上任意一点,则 ?ABC 的面积的最小值等于_______________。 9. 程序框图如图所示,将输出的 a 的值依次记为 a1 , a 2 , ? a n , 那么数列 {an } 的通项公式为 a n ? 。

n ? 2010
是 结束



10.在北纬 45 东经 30 有一座城市 A,在北纬 45 东经 120 有一座城市 B,设地球半径为 R, 则 A、B 两地之间的距离是 11. 已知点 Q 2 2, 0 及抛物线 y ? 。

0

0

0

0

?

?

x2 上一动点 P ? x0 , y0 ? ,则 y0 ? PQ 的最小值为 4



12. 已知函数 y=f(x)的图像是开口向下的抛物线,且对任意 x∈R,都有 f(1-x)=f(1+x), 若向量 a ? (log 1 m, ? 1), b ? (1,?2) ,则满足不等式 f (a ? b) ? f (?1) 的实数 m 的取值范
2

围是



x 13. 设 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数,如 ?1.5? ? 1, ? ?1.5? ? ?2 ,若函数 f ? x ? ? a x ? a ? 0, a ? 1? , 1? a

则 g ? x ? ? ? f ? x ? ? ? ? ? f ? ? x ? ? ? 的值域为 2 2

? ?

1? ? ? ?

1? ?



a , , 14. 已 知 数 列 A : a1 , 2 ? an

?

?0 ? a ? ? ? an n ? a 1 , 2

?

3 具有性质 P :对任意

i, j ?1 ? i ? j ? n ? , a j ? ai 与 a j ? ai 两数中至少有一个是该数列中的一项. 现给出以下四

个命题: ①数列 0,1,3,5,7 具有性质 P ; ②数列 0,2,4,6,8 具有性质 P ; ③若数列 A 具有性质 P ,则 a1 ? 0 ; ④若数列 a1 , a 2 , a3 , a 4 , a5 (0 ? a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 ? a5 ) 具有性质 P ,则 a1 ? a3 ? 2a2 。 其中真命题有 。 二、选择题(本大题满分 20 分,每题 5 分) 15.a=3 是直线 ax+2y+3a=0 与直线 3x+(a-1)y=a-7 平行的 (A)充分非必要条件 ( )

(B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)非充分非必要条件 ( )

16.下列四个命题中真命题是 (A)同垂直于一直线的两条直线互相平行; (B)过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条; (C)底面各边相等、侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱; (D)过球面上任意两点的大圆有且只有一个。 17.随机变量 ? 的分布律如下,其中 a、b、c 为等差数列,若 E (? ) ? (A)

1 ,则 D(? ) 的值为( 3
0 b 1 c 常数



4 9

(B)

5 9

(C)

1 3

(D)

2 3

? P (? )

-1 a

18.设函数 f ( x) 的定义域为 D,若存在非零

l ,使得对于任意 x ? M (M ? D)
都有 f ( x ? l ) ? f ( x) ,则称 f ( x) 为 M 上的高调函数, l 是一个高调值。 现给出下列命题: ①函数 f ( x) ? ( ) 为 R 上的高调函数;
x

1 2

②函数 f ( x) ? sin 2 x 为 R 上的高调函数 ③若函数 f ( x ) ? x 2 ? 2 x 为 (??,1] 上的高调函数,则高调值 l 的取值范围是 ( ??,?4] . 其中正确的命题个数是 (A)0 个 (B) 1 个 三、解答题 ( (C) 2 个 (D) 3 个 )

19、 (满分 12 分) 已知复数 z1 ? sin 2 x ? ?i , z2 ? m ? (m ? 3 cos 2 x)i (? , m, x ? R, ) ,且 z1 ? z2 . (1)若 ? ? 0 且 0 ? x ? ? ,求 x 的值;[来源:学科网] (2)设 ? = f ( x) ,求 f ( x) 的最小正周期和单调递减区间.

20、 (满分 14 分) 如图已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,PD⊥底面 ABCD,E,F 分别为 棱 BC,AD 的中点. (1)若 PD=1,求异面直线 PB 和 DE 所成角的大小。 6 (2 若二面角 P-BF-C 的余弦值为 ,求四棱锥 P-ABCD 的体积. P 6

D F
A B E

C

21、 (满分 14 分) 某地区的农产品 A 第 x 天 (1 ? x ? 20, x ? N * ) 的销售价格 p ? 50 ? x ? 6 (元∕百斤) ,一 农户在第 x 天 (1 ? x ? 20, x ? N * ) 农产品 A 的销售量 q ? a ? x ? 8 (百斤) a 为常数) ( ,且 该农户在第 7 天销售农产品 A 的销售收入为 2009 元。 (1)求该农户在第 10 天销售农产品 A 的销售收入是多少? (2)这 20 天中该农户在哪一天的销售收入最大?为多少?

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 5 分,第 3 小题 7 分. 已知点 M (?2,0), N (2,0) ,动点 P 满足条件 PM ? PN ? 2 2 ,记动点 P 的轨迹为 W 。 (1)求 W 的方程; (2)过 N (2,0) 作直线 l 交曲线 W 于 A, B 两点,使得 | AB |? 2 2 ,求直线 l 的方程。 (3)若从动点 P 向圆 C : x ? ( y ? 4) ? 1 作两条切线,切点为 A 、 B ,令|PC|=d,
2 2

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 试用 d 来表示 PA ? PB ,并求 PA ? PB 的取值范围。

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小 题满分 9 分. 已知数列{an}和{bn}满足:a1=λ ,an+1=

2 an ? n ? 4, bn ? (?1)n (an ? 3n ? 21), 其中λ 为 3

实数,n 为正整数. (1)对任意实数λ ,证明:数列{an}不是等比数列; (2)证明:当 ? ? ?18时,数列{bn }是等比数列; (3)设 0<a<b(a,b 为实常数),Sn 为数列{bn}的前 n 项和.是否存在实数λ ,使得对任意 正整数 n,都有 a<Sn<b?若存在,求λ 的取值范围;若不存在,说明理由.

答案
一、填空题 1. [1,2) 2.

7 25

3. ?

3 2

4. 1

5.

2 2

6.

1 2

7. 0.96

8. 3 ? 2

9. 2 ? 3 n?1 ( n ? N * , n ? 2010 ) 10. 13.{-1,0} 14.②③④ 二、选择题 15. C 16. B 17. 三、解答题 19. 解: (1)∵ z1 ? z2 ∴ ?

?
3

R

11. 2

1 12. (0, ) ? (8,??) 2

B

18. D

?sin 2 x ? m ? ?? ? m ? 3 cos 2 x ?

∴ ?=sin 2 x ? 3 cos 2 x ------------

2分

若 ? ? 0 则 sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 0 得 tan 2 x ? 3 ---------------------4 分 ∵0 ? x ??, ∴x?

?0 ? 2 x ? 2?

∴ 2x ?

?

2? -------------------------------------------------6 分 6 3 1 3 (2)∵ ? ? f ( x) ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2( sin 2 x ? cos 2 x) 2 2 或 ? cos 2 x sin ) ? 2sin(2 x ? ) ------------- 9 分 3 3 3 ∴函数的最小正周期为 T ? ? -----------------------------------------10 分 ? ? 3? 5? 11? 由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z 得 k? ? ? x ? k? ? ,k ?Z 2 3 2 12 12 5? 11? ∴ f ( x) 的单调减区间 [k? ? , k? ? ], k ? Z .-------------------------12 分 12 12
= 2(sin 2 x cos 20、解: (1)E,F 分别为棱 BC,AD 的中点,ABCD 是边长为 2 的正方形 ? DF ∥ BE 且 DF = BE ? DFBE 为平行四边形 P ? DE ∥ BF ? ?PBF是PB与DE 的所成角 2分

?

3

, 或 2x ?

4? 3

?

?

?

?PBF 中,BF= 5 ,PF= 2 ,PB=3? cos ?PBF ?
?异面直线 PB 和 DE 所成角的大小为 arccos

2 5 5
5分

2 5 5

D F
B E

C

2)如图,以 D 为原点,射线 DA,DC,DP 分 别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系.设 PD=a, 可得如下点的坐标: P(0,0,a),F(1,0,0),B(2,2,0) ??? ? ??? ? 则有: PF ? (1,0, ?a), FB ? (1, 2,0), 因为 PD⊥底面 ABCD,所以平面 ABCD 的 一个法向量为 m ? (0,0,1) , 设平面 PFB 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,则可得

A

7分 8分

??? ? ? PF ? n ? 0 ? ? ? ??? ? FB ? n = 0 ?



? x ? az ? 0 ? ?x + 2 y = 0

1 1 1 1 令 x=1,得 z ? , y ? ? ,所以 n ? (1, ? , ) . 10 分 a 2 2 a 6 由已知,二面角 P-BF-C 的余弦值为 ,所以得: 6 1 m?n 6 a cos < m , n > ? ? ? | m || n | 6 5 1 ? 4 a2 解得 a =2.…… 12 分 因为 PD 是四棱锥 P-ABCD 的高, 1 8 所以,其体积为 VP ? ABCD ? ? 2 ? 4 ? 14 分 3 3 21、解:⑴由已知第 7 天的销售价格 p ? 49 ,销售量 q ? 41 . ∴第 7 天的销售收入

W7 ? 49 ? (a ? 1) =2009 (元) . ? a ? 40
第 10 天的销售收入 W10 ? 46 ? 42 ? 1932 (元)

3分 5分

1? x ? 6 ?(44 ? x)(48 ? x) ? 2009 x?7 ⑵设第 x 天的销售收入为 Wx ,则 Wx ? ? 8分 ? (56 ? x)(32 ? x) 8 ? x ? 20 ? (44 ? x) ? (48 ? x) 2 ) ? 2116 .(当且仅当 x ? 2 时 当 1 ? x ? 6 时, Wx ? (44 ? x)(48 ? x) ? ( 2 取等号)∴当 x ? 2 时取最大值 W2 ? 2116 10 分 (56 ? x) ? (32 ? x) 2 W ) ? 1936 . 当 8 ? x ? 20 时, x ? (56 ? x)(32 ? x) ? ( (当且仅当 x ? 12 时 2 取等号)∴当 x ? 12 时取最大值 W12 ? 1936 . 12 分
由于 W2 ? W7 ? W12 ,∴第 2 天该农户的销售收入最大 答:⑴第 10 天的销售收入 2009 元;⑵第 2 天该农户的销售收入最大 13 分 14 分

22. 解: (1)由 PM ? PN ? 2 2 ,知点 P 的轨迹是以 M (?2,0), N (2,0) 为焦点, 实轴长为 2 2 的双曲线。 即设 2a ? 2 2, 2c ? 4 ? a ?
2

2分

2, c ? 2, b ? 2
2

所以所求的 W 的方程为 x ? y ? 2

4分

(2)若 k 不存在,即 x=2 时,可得 A(2, 2 ),B(2,- 2 ),|AB|=2 2 满足题意; 5 分 若 k 存在,可设 l:y=k(x-2)
? y ? k ( x ? 2) 联立 ? 2 , ? (1 ? k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 4k 2 ? 2 ? 0 x ? y2 ? 2 ?
?1 ? k 2 ? 0 由题意知 ? ? k?R且k ? ?1 ? ??0

6分

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=

? 1? k2 |a|



8k 2 ? 8 |1 ? k2 |

1 ? k 2 =2 2

? k=0 即 l:y=0 所以直线 l 的方程为 x=0 或 y=0
(3) PA ? PB ? PA PB cos ?APB ? (d ? 1)(1 ? 2sin APO ?)
2 2

8分 9分

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

2 2 2 ? ? 1 ? ? ( d ? 1)( d ? 2) ? (d 2 ? 1) ?1 ? 2 ? ? ? ? d2 ?d ? ? ? ? ?

11 分

又 d ? x ? ( y ? 4) ? y ? 2 ? ( y ? 4) ? 2 y ? 8 y ? 18 ? 2( y ? 2) ? 10 ? 10
2 2 2 2 2 2 2

??? ??? (d 2 ? 1)(d 2 ? 2) ? ? 2 ? d 2 ? 2 ? 3 -----? d 2 ? 10 则 PA ? PB ? 2 d d
2 2 1 ? 3 在 ? 10, ?? 是增函数, ? f (d ) ? 10 ? ? 3 ? 7 2 ? d 10 5 ??? ??? ? ? 1 ? ? 则所求的 PA ? PB 的范围为 ?7 , ?? ? 。 ? 5 ? 2 23. (1)证明:假设存在一个实数?,使{an}是等比数列,则有 a 2 ? a1 a 2 , 2 4 2 ?4? ? 9 ? 4 ? 2 ? 4? ? 9 ? 0, ?4 ? 2 即( ? ? 3 ) = ? ? ? ? 4 ? ? ? 矛盾. 9 9 3 ?9 ? f (d ) ? d 2 ?
所以{an}不是等比数列.
n+1 n+1 2 (2)解:因为 bn+1=(-1) [an+1-3(n-1)+21]=(-1) ( an-2n+14) 3 2 2 n =- (-1) · n-3n+21)=- bn (a 3 3 b 2 + 当λ ≠-18 时,b1=-(λ +18) ≠0,由上可知 bn≠0,∴ a ?1 ? ? (n∈N ). bn 3 2 故当λ ≠-18 时,数列{bn}是以-(λ +18)为首项,- 为公比的等比数列 3

13 分

?

16 分 2分

4分

7分 8分 9分 10 分

(3)由(2)知,当λ =-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求. ∴λ ≠-18,故知 bn= -(λ +18)(- ·

2 n-1 ) ,于是可得 3
12 分

  Sn=- (? ? 18)·?1-(- )?. 5 3
要使 a<Sn<b 对任意正整数 n 成立, 即 a<-

3

? ?

2 n? ?

3 2 n + (λ +18)· [1-(- ) ] 〈b(n∈N ) 5 3



a 2 1 ? (? ) n 3

3 ? ? (? ? 18) ? 5

b 2 1 ? (? ) n 3

          

2 令f (n) ? 1 ? (? ) n ,则 3
当 n 为正奇数时,1<f(n) ? ∴f(n)的最大值为 f(1)= 于是,由①式得

5 5 ;当n为正偶数时, ? f (n) ? 1, 3 9
f(n)的最小值为 f(2)=

5 , 3

5 , 9

15 分 16 分

5 3 3 a<- (λ +18)< b ? ?b ? 18 ? ? ? ?3a ? 18. 9 5 5 当 a<b ? 3a 时,由-b-18 ? =-3a-18,不存在实数满足题目要求;

17 分 当 b>3a 存在实数λ ,使得对任意正整数 n,都有 a<Sn<b,且λ 的取值范围是(-b-18,-3a-18) 18 分.


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