§2.01 函数的概念 (1)_图文

必修 1

第 2 章 函数

函数及表示方法

普通高中课程标准实验教科书《数学》(必修1) 第1章 函数

江苏教育出版社

问题情境

函数是描述、刻画这些变化的一个重要模型,那么初中时我们 是怎样定义函数的?

函数的传统定义
在一个变化过程中有两个变量(variable)x 与 y,如果对于 x 的每一 个值, y 都有唯一的值与它对应,那么就说 x 是自变量 (independent variable),y 是 x 的函数,将自变量 x 的取值范围叫做函数的定义域 (domain),和自变量 x 的值对应的 y 的值叫做函数值 ( 也称应变量 dependent variable) ,函数值的集合叫做函数(function)的值域.

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实例: (1)一枚炮弹发射,经 26s 后落地击中目标,射高为 845m,炮 弹距地面高度 h(m)随时间 t(s)的变化而变化,其规律是 h=130t- 5t2. (2)近几十年,大气层中臭氧 迅速减少,因而出现臭氧层空洞 问题,图中曲线是南极上空臭氧 层空洞面积 S(单位: 104km2)随时 间 t(y)变化而变化情况. (3)国际上常用恩格尔系数(食物支出金额÷ 总支出金额)反映一 个国家人民生活质量的高低.从下表中的数据可以看出“九五”计划 以来我们城镇居民的生活质量发生了显著的变化.
时间(年) 恩格尔系数(%) 1996 48.6 1997 46.4 1998 44.5 1999 41.9 2000 39.2 2001 37.9

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实例: (1) h=130t-5t2. (2) (3)用恩格尔系数(食物支出金额÷ 总支出金额)变化.
时间(年) 恩格尔系数(%) 1996 48.6 1997 46.4 1998 44.5 1999 41.9 2000 39.2 2001 37.9

?1(x为有理数), (4) y=? ?0(x为无理数).

(5) y=1(x∈[0,2])
问题 1 在上面的例子中,是否确定了函数关系?为什么? 问题 2 在上面的每一个变化过程中,存在哪些变化的量?这些变化 过程有什么共同的特点? 问题 3 能不能用集合的观点来理解函数的概念?
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数学建构

每一个问题均涉及两个非空数集 A, B 的关系. 存在某种对应法则 f, 对于 A 中的某个元素 x,B 中总有唯一元素 y 与之对应.

问题 4 如何理解对应法则 f ?
如 f:x→2x.

“将数 x 以 2 倍的方式送出去”

1 f(x)=2x+x(x≠0)

x

f

1 2x+x

问题 5 你能不能利用集合的观点重新定义函数?
设 A,B 是两个非空数集,如果按某种对应法则 f,对于集合 A 中的 每一个元素 x,在集合 B 中都有惟一的元素 y 和它对应,这样的对应叫 做从 A 到 B 的一个函数(function),通常记为 y=f (x),x∈A. 其中,所有的输入值 x 组成的集合 A 叫做函数 y= f(x)的定义域 (domain), 所有的输出值 y 组成的集合 C 叫做函数 y=f(x)的值域(range).
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数学理论

每一个问题均涉及两个非空数集 A, B 的关系. 存在某种对应法则 f, 对于 A 中的某个元素 x,B 中总有唯一元素 y 与之对应.

问题 5 你能不能利用集合的观点重新定义函数?
设 A,B 是两个非空数集,如果按某种对应法则 f,对于集合 A 中的 每一个元素 x,在集合 B 中都有惟一的元素 y 和它对应,这样的对应叫 做从 A 到 B 的一个函数(function),通常记为 y=f (x),x∈A. 其中,所有的输入值 x 组成的集合 A 叫做函数 y= f(x)的定义域 (domain), 所有的输出值 y 组成的集合 C 叫做函数 y=f(x)的值域(range).

函数的近代定义:集合语言、对应的观点.

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数学理论

设 A,B 是两个非空数集,如果按某种对应法则 f,对于集合 A 中的 每一个元素 x,在集合 B 中都有惟一的元素 y 和它对应,这样的对应叫 做从 A 到 B 的一个函数(function),通常记为 y=f (x),x∈A. 其中,所有的输入值 x 组成的集合 A 叫做函数 y= f(x)的定义域 (domain), 所有的输出值 y 组成的集合 C 叫做函数 y=f(x)的值域(range).
问题 6 怎样表示函数?

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实例: (1) h=130t-5t2. (2) (3)用恩格尔系数(食物支出金额÷ 总支出金额)变化.
时间(年) 恩格尔系数(%) 1996 48.6 1997 46.4 1998 44.5 1999 41.9 2000 39.2 2001 37.9

表示方法:解析法、列表法、图象法. (1) 列表法 用列出表格来表示两个变量之间的关系的方法称为 列表 法. (2) 解析法 用一个等式来表示两个变量的函数关系的方法称为 解析 法.这个等式(包括这个等式中的变量所满足的制约条件或所在的范 围)通常叫做函数的解析表达式(简称解析式). (3) 图象法 就是用函数的图象表示两个变量之间的关系.
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数学应用
例 1 判断下列对应是否为集合 A 到 B 的函数: (1) A={1,2,3,4,5},B={0,2,4,6,8},f:x→2x,x∈A; (2) A=R,B=R, f:x→y,y=|x|,x∈A; (3) A=[0,+?),B=R,f:x→y,y2=x,x∈A.

解 (1) 对于集合 A 中的元素 5,在集合 B 找不到中所对应的元素 10, 故这个对应不是从集合 A 到 B 的函数;
(2) 对于任意一个实数 x,|x|被 x 唯一确定, 所以这个对应是从集合 A 到 B 的函数, 这个函数也可以表示为 f(x)=|x|;

(3) 考虑输入值为 4,即当 x=4 时输出值 y. 由 y2=4 给出,得 y=2 和 y=-2. 这里一个输入值与两个输入值对应(不是单值对应), 所以,x→y(y2=x)不是函数.
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数学应用
常见的函数,如一次函数就是 R 到 R 的对应 f:R→R,使得实数集 R 中的元素 y=ax+b(a≠0)与实数集 R 中的元素 x 对应,记为 f(x)=ax +b(a≠0),实数集 R 既是定义域又是值域. 反比例函数是非零实数集 A={x|x≠0,x∈R}到实数集 R 的对应 f: k A→R,使得实数集 R 中的元素 y= (k≠0)与原象集 A 中的元素 x 对应, x k 记为 f(x)=x(k≠0), 集合 A={x|x≠0, x∈R}为定义域, 集合 C={x|x≠0, x∈R}为值域.显然,C? ?R. 二次函数是 R 到 R 的对应 f:R→R,使得实数集 R 中的元素 y=ax2+bx +c(a≠0)与实数集 R 中的元素 x 对应,记为 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),实 b2 数集 R 是定义域. 当 a>0 时, 集合 C={y|y≥c- }为值域; 当 a<0 时, 4a b2 集合 C={y|y≤c- }为值域.显然,C? ?R. 4a
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例 2 下列各题中两个函数是否表示同一个函数: (1)f(x)=|x|,g(x)= x2; (2)y= x2,y=( x)2; (3)y= x+1· x-1,y= x2-1; (4)y= x+1· 1-x,y= 1-x2; (5)y=x,y= 3 x 3 .

结论: (1) 、 (4) 、 (5)表示同一个函数, (2)和(3)中的两个式子表示 不同的函数,因为他们的定义域不同.
说明 对应法则在刻画函数概念中起着核心的作用. 只有对应法则、定义域都相同的两个函数才是同一个函数,两个函 数是否相同只与函数的对应法则和定义域有关,而与函数用什么字母表 示无关,如函数 y ? f ( x)( x ? A) 与函数 y ? f (t )(t ? A) 是同一个函数.
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例 3 已知函数 f(x)=3x2-5x+2,求 f(3),f(- 2),f(a),f(a+1).
分析 求 x 分别等于 3,- 2,a,a+1 时函数 f(x)的值.

f(3)=3×32-5×3+2=14, f(- 2)=3×(- 2)2-5×(- 2)+2=8+5 2, f(a)=3a2-5a+2, f(a+1)=3(a+1)2-5(a+1)+2=3a2+a. 说明 区别符号 f(x)和 f(2),f(2)表示 x=2 时函数 f(x)的值,而 f(x)是一 个函数. 解

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回顾反思 1.函数的集合观点的概念及其与初中的定义的区别. 2.符号 y=f(x)是“y 是 x 的函数”的抽象的数学表示,f 是对应法 则,它可以是解析式,也可以是图象、表格.

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金陵中学 2011 年高一数学讲义 作业

教材 P31 习题 第 1,2,5 题.

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