上课用-弦长公式_图文

练习:已知直线y=x- 1 与椭圆x2+4y2=2 ,判断它们的位置关系。
2

解:联立方程组
1 y? x? 2

消去y

x2+4y2=2
因为

5 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 ----- (1)

4 ? x ? x2 ? 由韦达定理 ? 1 5 ? 1 ? x1 ? x2 ? ? 5 ?

?>0

所以,方程(1)有两个根, 则原方程组有两组解….

那么,相交所得的弦的弦长是多少?
6 AB ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 2( x1 ? x2 ) ? 2 ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 ? x2 ? 2 5
2 2 2 2

知识点2:弦长公式

可推广到任意二次曲线

设直线与椭圆交于P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,直线P1P2的斜率为k.

弦长公式: | AB |? 1 ? k 2 | x ? x |? 1 ? 1 | y ? y | A B A B 2

k

当直线斜率不存在时,则 AB ? y1 ? y2 .

题型二:弦长公式
例1:已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A,B两点,求弦AB之长.
解 :由椭圆方程知 : a 2 ? 4, b2 ? 1, c 2 ? 3.
右焦点F ( 3, 0). 直线l方程为 : y ? x ? 3.

的右焦点,

?y ? x ? 3 ? 2 ?x ? y2 ? 1 ? ?4

消y得:x 2 ? 8 3x ? 8 ? 0 5

设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

8 3 8 ? x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? 5 5
? AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2

8 ? 2 ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 ? x2 5

题型二:弦长公式

x2 y2 ? 1 的左、右 例 2:已知点 F1 、F2 分别是椭圆 ? 2 1 ? 焦点,过 F2 作倾斜角为 的直线交椭圆于 A、B 两点, 4 求 △F1 AB 的面积.

分析:先画图熟悉题意,
点 F1 到直线 AB 的距离易知,

要求 S△F1 AB ,关键是求弦长 AB. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 由直线方程和椭圆方程联立方程组

x2 y2 ? 1 的左、右 例 2:已知点 F1 、F2 分别是椭圆 ? 2 1 ? 焦点,过 F2 作倾斜角为 的直线,求 △F1 AB 的面积. 4 x2
解:∵椭圆

∴直线 AB 的方程为 y ? x ? 1 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
? y ? x ?1 ? 由 ? x2 消去 y 并化简整理得 2 ? y ?1 ? ? 2
2

2

? y 2 ? 1 的两个焦点坐标 F1 ( ?1, 0), F2 (1, 0)

3x ? 4x ? 0

4 ∴ AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 2( x1 ? x2 )2 ? 2 ?( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? = ? ? 3 2

4 ∴ x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 0 3
0 ? ( ?1) ? 1 2

∵点 F1 到直线 AB 的距离 d ?
∴ SF1 AB

= 2

1 1 4 4 4 ? ? d ? AB = ? 2 ? 2= . 答: △F1 AB 的面积等于 2 2 3 3 3

题型三:中点弦问题
例3 :已知椭圆 过点P(2,1)引一弦,使弦在这点被 平分,求此弦所在直线的方程. 解:

韦达定理→斜率 韦达定理法:利用韦达定理及中点坐标公式来构造

题型三:中点弦问题
例 3 已知椭圆 过点P(2,1)引一弦,使弦在这点被 平分,求此弦所在直线的方程.

点 作差

点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,作差构造 出中点坐标和斜率.

知识点3:中点弦问题
点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,作 差构造出中点坐标和斜率.

设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), AB中点M ( x0 , y0 ), 则有:x0 ? x1 ? x2 , 2 y0 ? y1 ? y2 2 y1 ? y2 又k AB ? x1 ? x2 ? A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )在椭圆上, 2 2 x2 2 y2 2 x1 y1 ? 2 ?1 ? 2 ?1 2 a b a2 b

两式相减得:

b2 ( x12 ? x2 2 ) ? a 2 ( y12 ? y12 ) ? 0

由b 2 ( x12 ? x2 2 ) ? a 2 ( y12 ? y12 ) ? 0

y ?y b 即 ?? 2 x ?x a
2 1 2 1 2 1 2 2 2

? k AB

y1 ? y1 b 2 x1 ? x2 b 2 x0 ? ?? 2 x1 ? x2 a y1 ? y1 ? ? a 2 y 0

直线和椭圆相交有关弦的中点问题,常用设而不求的 思想方法.


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