2014南京清江花苑严老师第5讲 指数与指数函数(教案)

指数与指数函数 教学目标:掌握指数运算(高考要求 A)及指数函数的有关概念(高考要求 B). 教学重难点:熟悉指数运算,掌握指数函数图像性质及其应用。 教学过程: 一.知识要点: 1.指数运算 (1) 根式的定义:若一个数的 n 次方等于 a(n ? 1, 且n ? N ? ) ,则这个数称 a 的 n 次 方根。 即若 x n ? a ,则 x 称 a 的 n 次方根( n ? 1且n ? N ? ) , ① 当 n 为奇数时, a的n 次方根记作 n a ; ②当 n 为偶数时,负数 a 没有 n 次方根,而正数 a 有两个 n 次方根且互为相反 数,记作 ? n a (a ? 0) 。 (2)根式性质:① (n a ) n ? a ;②当 n 为奇数时, n a n ? a ; ③当 n 为偶数时, n a n ?| a |? ?
?a(a ? 0) 。 ??a(a ? 0)

(3)幂运算法则:① a n ? a ? a ? ?? a(n ? N*) n个 ③ a?p ?

② a 0 ? 1(a ? 0) ;

1 * ( p ?Q,4) a n ? n a m (a ? 0, m 、 n ?N p a

m

且 n ? 1) 。

r s r ?s (4) 幂运算性质: ① a ? a ? a (a ? 0, r 、 ; ② (a r ) s ? a r?s (a ? 0, r 、 ; s ?Q) s ? Q)

③ (a ? b) r ? a r ? b r (a ? 0, b ? 0, r ? Q) 。 (注)上述性质对 r、 s ?R 均适用。 2.指数函数: (1) 指数函数定义:函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 称指数函数,函数的定义域为 R;函 数的值域为 (0,??) ;
1 南京清江花苑严老师

(2)函数图像及性质: ①指数函数的图象都经过点(0,1) ,且图 象都在第一、二象限; ②当 0 ? a ? 1 时函数为减函数,当 a ? 1 时函 数为增函数。 ③指数函数都以 x 轴为渐近线 (当 0 ? a ? 1 时, 图象向左无限接近 x 轴, 当a ?1 时,图象向右无限接近 x 轴) ; ④对于相同的 a(a ? 0, 且a ? 1) ,函数 y ? a x与y ? a ? x 的图象关于 y 轴对称。 ⑤函数值的变化特征:
? y ? 1? x ? 0 ? ? a ? 1时 ? y ? 1? x ? 0 ? ? ?0 ? y ? 1? x ? 0 ? ?0 ? y ? 1? x ? 0 ? ? 0 ? a ? 1时 ? y ? 1? x ? 0 ? ? ? y ? 1? x ? 0 ?

二.基础练习: 1.已知 a< 1 ,则化简
4
4

(4a ? 1) 2

的结果是

1 ? 4a

2.算下列各式(式中字母都是正数) :
2 1 1 1 1 5

⑴ (2a 3 b 2 )(?6a 2 b 3 ) ? (?3a 6 b 6 ) ; 解:⑴原式=[2×(-6)÷(-3)] a (2)原式
2 3 1 2 1 3 1

(2) (3 25 ? 125) ? 4 5 ; (3) 81? 9 2
2 1 1 ? ? 3 2 6

4

3

?b

1 1 5 ? ? 2 3 6

? 4ab0 ? 4a ;

= (5 3 ? 5 2 ) ? 5 4 ? 5 3 ? 5 4 ? 5 2 ? 5 4 ? 5 3 4 ? 5 2 4 ? 512 ? 5 4 = 12 55 ? 4 55 ? 12 55 ? 54 5 ;
4 (3) 81? 9 2 ? 34 ? [(32 ) 2 ]2 ? 34 ? 32 ? (34 ? 32 ) 4 ? 3 ? 38 ? 3 8 27 4 3 3 1 4 3 3 1 3

2 1 ?

3 1 ?

5

5

3.已知 x+x =3,求下列各式的值: x ? x . 解: x 2 ? x 2=(x 2 )3 ? ( x 2 )3 ? ( x 2 ? x 2 )[( x 2 )2 ? x 2 ? x 2 ? ( x ? )2 ]
( x 2 ? x 2 ) ? ( x 2 )2 ? 2 ? x 2 x
1 ? 1
2

-1

3 2

?

3 2

3

?

3

1

?

1

1

?

1

1

1

?

1

1 2

1

1

?

1 2

? ( x 2 )2 ? x1 ? x ?1 ? 2 ? 3? ? 5
2

?

1

南京清江花苑严老师

原式 ? ( x ? x )[( x ? x?1 ) ?1] ? 5(3 ?1) ? 2 5 4.比较大小: (1). 2 ,
1 2

1 2

?

1 2

2 ( )?1 , 3

3 的大小顺序为
2

1 3

2 2 ? 3 ? ( ) ?1 3
2

1 2

1 3

(2).a<0,则

( 1 )a,0.2a,2a 的大小顺序为(0.2)a>( 1 )a>2a
1
a

(3).已知实数 a、b 满足等式 ( 2 ) ? ( 3 )

1

b

①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b. 其中不可能成立的关系式有 ①④
x?0 ?1, ? 5.设函数 f ( x) ? ?0, x ? 0 ,则方程 x ? 1 ? (2x ? 1) f ( x) 的解为 ?? 1, x?0 ?

{0,2,

? 1 ? 17 } 2
2

6.当 x>0 时, 函数 f(x)=(a2-1)x 的值总大于 1, 则实数 a 的取值范围是 |a|> 三.例题精讲: 题型 1:指数运算
3

例 1(1)已知

a= 1 9

,b=9.求:

a

7 2

a ?3 ?
3 2 ?2

3

a ?8 ? a15 ;
4 3 4 3

3

的值
b3

(2) .已知: a ? 2 7 , b ? 5 2 ,求 解 (1)
9
3 7

a b ? 9b
3 2 ?2 3 4 ?

a b ? 6a b ? 9b
a 2 a ?3 ?
3

1 3

?

a ? 3b
15 1 ? 3 2

3 4

5 3

的值.

a ?8 ? a15 ;

3

= a . a ÷[a
7 1 ? 2 3
3 1 ? ? 2 3

8 1 ( ? )? 3 2

·a ]
3 5

=

a6

7 1 ? 2

4 5 ?(? ? ) 3 2

=a .
? 1 2

∵a= 1 ,∴原式=3. (2)由 a 2 b ?2 ? 6a 4 b 3 ? 9b 3 ? (a 4 b ?1 ? 3b 3 ) 2 ,又 1<a<b,∴ a 4 ? a ? 3b 3 , 从而得 a b ? 3b ,
3 10 3 10 3 10

3

3

?

1

4

3

2

3 4

?1

2 3

∴原式=

a 2 ? 9b 3
2 3 3 4

?

b
3 4 5 3

=

a 2 ? 9b 3 3b ? a
5 3 3 4

?

b2 a ? 3b
3 4 5 3

=

(a 2 ? 9b 3 )b 2 9b ? a
10 3 3 2

? ?b 2 ? ?(5 2 ) 2 ? ?50 .

3b ? a b ?1 a ? 3b

例 2.已知: 2a 3b ? 2c 3d ? 6 ,求证: (a ? 1)(d ? 1 ) ? (b ? 1)(c ? 1) .
3 南京清江花苑严老师

a b a ?1 b ?1 a ?1 b ?1 d ?1 d ?1 ? ?2 3 ? 6 ? 2 ? 3 ? ?2 3 ? 1 ? ?(2 3 ) ? 1 ? ? ? c?1 d ?1 ? c?1 d ?1 b?1 b?1 ? 证明:由已知得 ? c d ? ? ? 2 3 ? 6 ? 2 ? 3 2 3 ? 1 ? ? ?(2 3 ) ? 1
( a ?1)( d ?1) ( b ?1)( d ?1) ? 3 ? 1 ? ?(1) ?2 ,⑴÷⑵,得 2( a?1) d ?1)?(c?1)(b?1) ? 1 , ? ( c?1)(b?1) ( d ?1)(b?1) ? 3 ? 1 ? ?(2) ?2

∴ (a ? 1)(d ? 1 ) ? (b ? 1)(c ? 1) ? 0 ,即 (a ? 1)(d ? 1 ) ? (b ? 1)(c ? 1)

题型 2:指数函数
?1 , x?0 ? ?x 例 3. (2009 北京理)若函数 f ( x) ? ? ?( 1 ) x , x ? 0 ? ? 3

则不等式 | f ( x) |? 的解集为 ??3,1? .
?x ? 0 1 ? (1)由 | f ( x) |? ? ? 1 1 ? ?3 ? x ? 0 . 3 ? ? ?x 3
?x ? 0 ?x ? 0 1 ? x x (2)由 | f ( x) |? ? ? ? 1 ? 1 ? ? ?? 1 ? 1 ? 0 ? x ? 1 . 3 ?? ? ? ?? ? ? 3 3 ? ? ?3? 3 ? ? 1 ∴不等式 | f ( x) |? 的解集为 ?x | ?3 ? x ? 1? ,∴应填 ??3,1? . 3

1 3

例 4. 若函数 f(x)=a x -x-a(a>0 且 a ? 1)有两个零点, 则实数 a 的取值范围是 .

【解析】: 设函数 y ? a x (a ? 0, 且 a ? 1} 和函数 y ? x ? a ,则函数 f(x)=a x -x-a(a>0 且 a ? 1)有两个零点, 就是函数 y ? a x (a ? 0, 且 a ? 1} 与函数 y ? x ? a 有两个交点, 由图象可知当 0 ? a ? 1 时两函数只有一个交点 , 不符合 , 当 a ? 1 时 , 因为函数
y ? a x (a ? 1) 的图象过点(0,1),而直线 y ? x ? a 所过的点(0,a)一定在点(0,1)

的上方,所以一定有两个交点.所以实数 a 的取值范围是 {a | a ? 1} . 例 5.求下列函数的定义域、值域及其单调区间:
4 南京清江花苑严老师

(1)f(x)=3

x 2 ? 5x ? 4

;

(2)g(x)=-( 1 )
4

x

1 ? 4( ) x ? 5 . 2

解 (1)依题意 x2-5x+4≥0,

x≥4 或 x≤1,

∴f(x)的定义域是(-∞,1]∪[4,+∞). 令 u=
5 9 , x 2 ? 5x ? 4 ? ( x ? ) 2 ? , ∵x∈(-∞,1]∪[4,+∞) 2 4
x2 ? 5x ? 4

∴u≥0,即

≥0,而 f(x)=3

x 2 ? 5x ? 4

≥30=1,

∴函数 f(x)的值域是[1,+∞). ∵u=
5 9 (x ? )2 ? 2 4

,∴当 x∈(-∞,1]时,u 是减函数,

当 x∈[4,+∞)时,u 是增函数.而 3>1,∴由复合函数的单调性可知, f(x)=3
x2 ? 5x ? 4

在(-∞,1]上是减函数,在[4,+∞)上是增函数.

故 f(x)的增区间是[4,+∞) ,减区间是(-∞,1]. (2)由 g(x)=-( 1 )
4
x

1 1 1 ? 4( ) x ? 5 ? ?( )2 x ? 4( ) x ? 5, 2 2 2

∴函数的定义域为 R,令 t=( 1 ) x (t>0),∴g(t)=-t2+4t+5=-(t-2)2+9,
2

∵t>0,∴g(t)=-(t-2)2+9≤9,等号成立的条件是 t=2, 即 g(x)≤9,等号成立的条件是( 1 ) =2, 即 x=-1, ∴g (x) 的值域是 (-∞, 9] .
x

2

由 g(t)=-(t-2)2+9 (t>0),而 t=( 1 ) 是减函数,
x

2

∴要求 g(x)的增区间实际上是求 g(t)的减区间, 求 g(x)的减区间实际上是求 g(t)的增区间. ∵g(t)在(0,2]上递增,在[2,+∞)上递减, 由 0<t=( 1 ) ≤2,可得 x≥-1,
x

2

t=( 1 ) ≥2,可得 x≤-1.
x

2

∴g(x)在[-1,+∞)上递减,在(-∞,-1]上递增, 故 g(x)的单调递增区间是(-∞,-1] ,单调递减区间是[-1,+∞).
ex a 例 6.设 a>0,f(x)= a ? e x 是 R 上的偶函数.

(1)求 a 的值; (2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数.
5 南京清江花苑严老师

解 ( 1) ∵f(x)是 R ∴(a- 1 )(e
a
x

e? x a ex a ? ? 上的偶函数,∴f(-x)=f(x) ,∴ a e?x a ? e x ,
a

?

1 ) =0 ex

对一切 x 均成立, ∴a- 1 =0,而 a>0,∴a=1.

(2)证明 在(0,+∞)上任取 x1、x2,且 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)= e +
x1

1 ex

1

-e x2

1 ex

2

= (e
x1 ? x2

x2

? ex )
1

(

1 ? 1). ex ?x
1 2

∵x1<x2,∴ e

x1

? ex ,
2

有e

x2

? e x ? 0.
1

∵x1>0,x2>0,∴x1+x2>0,∴ e >1,

1 e x ?x
1

2

-1<0.∴f(x1)-f(x2)<0,

即 f(x1)<f(x2),故 f(x)在(0,+∞)上是增函数. 题型 3:综合应用 例 7.要使函数 y=1+2x+4xa 在 x∈(- ? ,1]上 y>0 恒成立,求 a 的取值范围. 由题意得 1+2x+4xa>0 在 x∈(- ? ,1]上恒成立, 即 a>- 1 ? 2 在 x∈(-∞,1]上恒成立.
x

4

x

又∵- 1 ? 2 =-( 1 )
x

2x

4x

2

1 1 1? 1 ?1 ? ? 1 ? ( ) x ? ??( ) x ? ? ? , ∵x ? ??? ,1?, ∴( ) x ? ? ,?? ? 2 2 2? 4 ?2 ? ? 2 1 ?1 ? ? , t ? ? ,?? ?. 2 4 ?2 ?
2

2

.

令 t=( 1 ) , 则f (t ) ? ?(t ? 1 )
x

2

则 f(t)在[ 1 ,+ ?
2

f(t)≤f( 1 ) =-( 1 ? 1 )
2
2 2

2

?

1 3 ?? , 4 4

3? 即 f(t)∈ ? ? ? ?,? ? . ? 4?

∵a>f(t),∴a∈(- 3 ,+ ? ).
4
3 x

)x 例 8.已知函数 f(x)=( 2 1? 1 ? 1 2

.

(1)求 f(x) 解(1)

2)讨论 f(x)

3)证明:f(x)>0.

由 2x-1≠0 ?x≠0,∴定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
3 x

)x (2) f(x)=( 2 1? 1 ? 1 2

可化为 f(x)=

2x ? 1 3 x, 2 ? (2 x ? 1)
1 1 3 ? ) x 是偶函数. 2x ?1 2

则 f(-x)= 2 ? (2 (3)证明

2? x ? 1 2x ? 1 3 ( ? x) 3 ? x ? f ( x). ?x ? 1) 2 ? (2x ? 1)

∴f(x)=(

当 x>0 时,2x>1,x3>0.

1 1 3 ? ) x >0. 2x ?1 2

∵f(x)为偶函数,∴当 x<0 时,f(x)=f(-x)>0.
10 x ? 10? x 例 9.已知 f(x)= 10 x ? 10? x .

f(x)>0.

(1)判断函数奇偶性; (2)判断 f(x)的单调性
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3)求 f(x)的值域.
6

10? x ? 10x 解(1)∵f(x)的定义域为 R,且 f(-x)= 10?x ? 10x

=-f(x) ,∴f(x)是奇函数.

2)方法一 f(x)= 10

? 10? x 102 x ? 1 2 ? 2 ?1? 2 . x ?x 10 ? 10 10 ? 1 10 ? 1
x
x x

令 x2>x1,则 f(x2)-f(x1 当 x2>x1 时,10 -10 >0.
2 x2
2 x1

=(1- 10
1

2 ?1

2 x2

) ? (1 ?

2 10 ? 1
2 x1
2 x2

) ? 2?

102 x ? 102 x (10 ? 1)(102 x ? 1)
2 1

2 x2

1

10 2 x +1>0,10 +1>0

故当 x2>x1 时,f(x2)-f(x1)>0, 即 f(x2)>f(x1).所以 f(x)是增函数. 方法二 考虑复合函数的增减性. 由 f(x)= 10
x ? 10? x 2 ? 1 ? 2x . ∵y1=10 为增函数, 10 ? 10?x 10 ? 1
x x

y2=102x+1 为增函数,y3= y4=2 102 x ? 1 ? 10? x 10 ? 10? x
x x

2 102 x ? 1 2 为增函数. 102 x ? 1

f(x)=1-

∴f(x)= 10 (3)解

在定义域内是增函数.
?1 , 解得 10 ? 1
2x 2x

方法一 令 y=f(x) ,由 y= 10

102x= 1 ? y .
1? y

∵102x>0,∴-1<y<1. 方法二 ∵f(x)=1∴0<

f(x)的值域为(-1,1).

2 ,∵102x>0,∴102x+1>1. 102 x ? 1

2 <2,∴-1<1- 22 <1,即值域为(-1,1). 102 x ? 1 10 x ? 1

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四.自我检测 一、填空题 1.化简下列各式(其中各字母均为正数): (1) 解
(a 3 ? b ?1 ) 2 ? a 2 ? b 3
6 2 ? 1 1 1

a ?b

5

;

(2) 5 a
6
? 1 3

1 3

? b?2 ? (?3a 2 b?1 ) ? (4a 3 ? b?3 ) 2 .

?

1

2

1

(1)原式= a
? 1 6

b2 ? a 2b3 a b
1 6 5 6

1

1

1

?a

1 1 1 ? ? ? 3 2 6

?b2

1 1 5 ? ? 3 6

? a 0 ? b 0 ? 1.

a (2)原式=- 5 2

1 1 3 3 ? ? 5 ?1 5 ?1 ?3 5 1 5 ab b ?3 ? ( 2 a 3 · b 2 ) ? ? a 6 b ?3 ? ( a 3 b 2 ) ? ? a 2 ? b 2 ? ? ? ?? . 4 4 4 ab 3 4ab 2

2.求值: 3 1 ? 解:设 3 1 ? (1+

2 7 3 2 7 . ? 1? 3 3 3 3

2 7 3 2 7 ? 1? ? x ,由公式 (a ? b) 3 ? a 3 ? b3 ? 3ab(a ? b) 得 3 3 3 3

2 7 2 7 2 7 2 7 )+(1)+3 3 (1 ? )(1 ? ) x=x3,即 x3+x-2=0, 3 3 3 3 3 3 3 3

分解因式得: ( x ? 1)(x 2 ? x ? 2) ? 0 ,∵ x 2 ? x ? 2 ? 0 ,∴ x ? 1 ? 0 ,即 x=1,∴原 式=1.
2 x2 ? 4 m n 3.设 mn>0,x= ,化简:A= . ? n m x ? x2 ? 4

解:∵x 2 -4=(
2

m n 2 m n 2 ) -4=( ) , ? ? n m n m
2m?n m?n? m?n

∴A=

m n ? n m m n ? n m

=

,又∵mn>0,∴m,n 同号.

m n ? ? n m

(1)m>0,且 n>0,则 A= A=
n?m . m

2m?n m?n? m?n

.①若 m ? n,则 A=

m?n ;②若 m<n,则 n

⑵设 m<0,且 n<0,则 A=

2n?m ?m?n? n?m

. ①若 n ? m,则 A=

m?n ;②若 n<m, n
8

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则 A=

n?m . m

?m ? n (m ? n) ? ? n 综上所述得:A= ? . ?n ? m ( m ? n ) ? ? m

4.已知下列不等式,比较 m、n 的大小 (1)2m<2n (a>1) 解:(1)考查函数 y=2x 2m<2n∴m<n; (2)考查函数 y=0.2x 函数. ∵0.2m>0.2n ∴m<n; (3)考查函数 y=ax ∵0<a<1 ∴函数 y=ax 在 R 上是减函数. ∵am< ∵0<0.2<1 ∴指数函数 y=0.2x 在 R 上是减 ∵2>1,∴函数 y=2x 在 R 上是增函数. ∵ (2)0.2m>0.2n (3)am<an(0<a<1) (4)am>an

an

∴m>n; (4)考查函数 y=ax ∵a>1 ∴函数 y=ax 在 R 上是增函数, ∴am

>an

∴m>n. 5.设函数 f(x)=a-|x|(a>0,且 a≠1),f(2)=4,则 f(-2)>f(-1)
3

6.若函数 f(x)=ax-1 (a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,2] ,则实数 a 等于

7.函数 y ? a x?2 ? 1 ( a ? 0 ,且 a ? 1 )的图象必经过点

(2,2)
2

8.函数 y=ax(a>0,且 a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大 a ,则 a 的值是
1 2

或3
2

二 9.(x)=-x2+2ax 与 g(x)=(a+1)1-x 在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的取值范围
9 南京清江花苑严老师

是 (0,1] 10. 解: (1)函数的定义域为 R. 的对称轴为 x= 1 ,
4

1)y=( 1 )
2

6? x ?2 x 2

;(2)y=2
u

x 2 ? x ?6

. u=6+x-2x2

u=6+x-2x2,则 y=( 1 ) .
2

在区间[ 1 ,+∞)上,u=6+x-2x2
4

y=( 1 ) u
2

∴函数 y=( 1 )
2

6? x ?2 x 2

在[ 1 ,+∞)上是增函数.
4

y=( 1 )
2

6? x ?2 x 2

单调递增区间为[ 1 ,+
4

∞). (2)令 u=x2-x-6,则 y=2u,
2

u=x2-x-6 的对称轴是 x= 1 ,
2

在区间[ 1 ,+∞)上 u=x2-x-6 是增函数. ∴函数 y=2 [ 1 ,+∞).
2
x 2 ? x ?6

y=2u y=2
x 2 ? x ?6

在区间[ 1 ,+∞)上是增函数.
2

的单调递增区间是

11.若函数 y=4x-3·2x+3 的定义域为集合 A,值域为[1,7] ,集合 B=(-∞,0] ∪[1,2] , 则集合 A 与集合 B 的关系为 12.已知函数 f(x)= (1)判断 f(x) ( 2 ) 验 证 性 质 f(-x)=-f(x), 当 x ∈ (-1,1) 时 , 并 应 用 该 性 质 求 满 足 f(1-m)+f(1-m2)<0 的实数 m 的范围. 解 (1)设 x1<x2,x1-x2<0,1+ a 1 >0.
x1 ? x2

A=B (a>0,且 a≠1).

a (ax-a-x) a2 ? 1

若 a>1,则 a

x1

? ax

2

, a a? 1 >0,
2

f(x1)-f(x2)= a a? 1 (a
2

x1

? a x )(1 ?
2

1 ) <0 a x ?x
1 2

即 f(x1)<f(x2),f(x)在(-∞,+∞)上 同理,若 0<a<1,则 a
x1

? ax

2

, a a? 1 <0,
2

f(x1)-f(x2)= a a? 1 (a
2

x1

? a x ) (1+
2

1 a x ?x
1

2

)<0,

即 f(x1)<f(x2),f(x)在 (-∞,+∞) 上为增函数.

f(x)在 R 上为增函数.
10

南京清江花苑严老师

(2)f(x)=

a (a x ? a ? x ), 则 a2 ? 1

f(-x)=

a (a ? x ? a x ) , a2 ? 1

显然 f(-x)=-f(x). f(m2-1),

f(1-m)+f(1-m2)<0,

f(1-m)<-f(1-m2) ? f(1-m)<

函数为增函数,且 x∈(-1,1),故解-1<1-m<m2-1<1,可得 1<m<

2

.

11 南京清江花苑严老师


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