河南省中原名校高二下期期末检测数学(理)试题

中原名校 2016—2017 学年期末检测 高二数学(理)试题 第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,有且 只有一项符合题目要求.

1. 已知集合

,集合

,则

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】

2. 设复数满足

,则

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】试题分析:

,综上所述, 故

选 A. 考点:复数加减乘除法的运算.

3. 若双曲线

的离心率为 ,则其渐近线方程为

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】由离心率为 ,得

,所以渐近线的方程为

,故选 B.

4. 设 ,向量

,且 ,则

A. -4 B.

C.

D. 20

【答案】D

【解析】∵a=(1,x),b=(2,-6)且 a∥b,

∴-6-2x=0,x=-3,∴a=(1,-3),a·b=20,故选 D.

5. 下列四个结论:

①若“ ”是真命题,则 可能是真命题;

②命题“

”的否定是“

”;

③“ 且

”是“

”的充要条件;

④当 时,幂函数 在区间

上单调递减.其中正确的结论个数是

A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 【答案】B 【解析】①若 是真命题,则和同时为真命题, 必定是假命题;

②命题“

”的否定是“

”;

③“ 且

”是“

”的充分不必要条件;



,当 时, ,所以在区间

上单调递减. 选 B

6. 在单调递减等差数列 中,若

,则

A. 1 B. 2 C. D. 3

【答案】B

【解析】由题知,a2+a4=2a3=2,又∵a2a4=,数列{an}单调递减,

∴a4=,a2=.∴公差

.∴a1=a2-d=2.故选 B.

7. 从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加某项活动,则所选的 3 人中女生人数不少于 1 人的 概率是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意可知所选人中女生人数不超过人,则包括女生有一个人和女生有零个人,当

女生有一个人时的概率

,当女生有零个人时的概率

,所以事件的

概率为

,故选 A.

8. 把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,形成的三棱锥 A-BCD 的正视图与俯视图如图 所示,则其几何体的表面积为

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】

由题意及三视图可知,平面

平面

,所以

, 由勾股定理可得

那两个正三角形面积之和,即

,设 的中点为,则

可得 平面

,该几何体的表面积是两个等腰直角三角形与

,故选 B.

9. 函数

的图象大致是

A.

B.

C.

D.

【答案】A 【解析】因为函数 y=f(x)= 可化简为

,可知函数为奇函数关于原点对称,可排

除答案 C; 同时有 y′=

故函数在 x∈(0,)时 >0,则 x∈(0,)上单调递增,排除答案 A 和 D, 故选:B. 点睛:识别函数的一般主要观察以下几点:定义域,奇偶性,单调性,特殊值,端点值,极 限等等. 10. 如果函数 在区间 D 上是增函数,且 在区间上是减函数,则称函数 在区间 D 上是

缓增函数,区间 D 叫做缓增区间.若函数

在区间 D 上是缓增函数,则缓增区间 D



A.

B.

【答案】D

C.

D.

【解析】试题分析:



上是增函数,





是减函数 的缓增区间为 . 考点:1、函数的单调性;2、导数的应用. 【方法点晴】本题考查函数的单调性、导数的应用,涉及函数与方程思想、数形结合思想和 转化化归思想,考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力,综合性较强,属于较难

题型. 首先利用数形结合思想由



上是增函数,



上是减函数 的缓增区间为

.

11. 若函数

在区间 上不是单调函数,则函数 在 R 上的极大

值为

A.

B.

C. 0 D.

【答案】D

【解析】



在区

间 上不单调,





上递增,在

上递减, 在上的极

大值为

,故选 D.

【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值,属于难题.求函数

极值的步骤:(1) 确定函数的定义域;(2) 求导数 ;(3) 解方程

求出函数定义域

内的所有根;(4) 列表检查 在

的根左右两侧值的符号,如果左正右负(左增右减),

那么 在处取极大值,如果左负右正(左减右增),那么 在处取极小值.

12. 已知函数

,若 是函数 的唯一极值点,则实数的取值范围是

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】已知

,则

,当 时,

恒成立,即 ,





易知

因此 . 故选 A.

点睛:函数

,若 是函数 的唯一极值点等价于其导函数有唯一的可变

零点,故此题本质还是零点问题,在导函数中不难发现 已经是可变零点,问题转化为当

时,

恒成立,然后通过变量分离的方法,最终归结为函数的最值问题,问题

迎刃而解. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13.

________________.

【答案】0

【解析】



14. 曲线

在点

【答案】x-y-1=0

,故答案为. 处的切线方程为________________.

【解析】由

,得

,即曲线

在点

处的切线的斜率为,则曲线

在点

处的切线方程为

,整理得

,故答案为

.

【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线,属于中档题.求曲线切线方程的一般步骤是:

(1)求出

在 处的导数,即

在点

出的切线斜率(当曲线



处的切线与轴平行时,在 处导数不存在,切线方程为

);(2)由点斜式求得切线方程

.

15. 若将函数

的图象向右平移

个单位长度得到函数

的图象,则的最小值为________________.

【答案】

【解析】

,将函数的图象向右平移

个单位长度后,得到

的图象,而

,所以,

,可得

,故答案为.

16. 已知函数

,其中是自然对数的底数,若

取值范围为________________.

【答案】

,则实数的

【解析】函数

的导数为

,可得

在上递增,又

,可得 为奇函数,



,即有

,即有

,解得



故答案为

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.

17. 已知命题 P:函数

是增函数,命题 Q:

(1)写出命题 Q 的否命题 ,并求出实数的取值范围,使得命题 为真命题; (2)如果 是真命题, 是假命题,求实数的取值范围.

【答案】(1)

;(2)

.

【解析】试题分析:(1)否命题 ,就是把命题的条件和结论都否定,联系对应二次函数图

象,由

,解得的取值范围;(2)命题和命题中,一个真命题,一个为假命题,

分命题真命题且是假命题、命题是假命题且是真命题,两种情况,计算可得答案.

试题解析:(1) :



若 为真命题,则

解得:



故所求实数的取值范围为:

(2)若函数

是增函数,则



为真命题时,由

的取值范围为 由“ ” 为真命题,“

”为假命题,故命题、中有且仅有一个真命题

当真假时,实数的取值范围为:

当假真时,实数的取值范围为:

综上可知实数的取值范围:

18. 如图,在长方体 (1)求证: (2)若二面角

中, ;

为 的中点.

的大小为 ,求 的长.

【答案】(1)见解析;(2)AD=2. 【解析】试题分析:(1)以为原点, 为轴, 为轴,

为轴,建立空间直角坐标系,根



能证明

;(2)求出平面

的法向量和平面

的法向量,根

据两法向量的数量积为零可求出 的长. 试题解析: (1)证明:以 D 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz,设 AD=a,则 D(0,0,0),

A(a,0,0),B(a,1,0),C(0,1,0),B1(a,1,1),C1(0,1,1),D1(0,0,1),E



∴=(0,-1,-1),=







∴C1D⊥D1E. (注:可采用几何法证明。)

(2)设平面 AD1E 的法向量为 n=(x,y,z),=

,=(-a,0,1),

则 ∴平面 AD1E 的一个法向量为 n=(2,a,2a),

设平面 B1AE 的法向量为 m=(x′,y′,z′),=

,=(0,1,1),

则 ∴平面 B1AE 的一个法向量为 m=(2,a,-a). ∵二面角 B1AED1 的大小为 90°, ∴m⊥n,∴m·n=4+a2-2a2=0, ∵a>0,∴a=2,即 AD=2.

19. 已知椭圆 椭圆于另一点 B.
(1)若

的左、右焦点分别为 ,A 是椭圆的上顶点,直线 交 ,求椭圆的离心率;

(2)若

,求椭圆的方程.

【答案】(1) ;(2)+=1.

【解析】试题分析:(1)根据

推断出

为等腰直角三角形,进而可知



求得 b 和 c 的关系,进而可求得 a 和 c 的关系,即椭圆的离心率;(2)根据题意可推断出 A,

和两个焦点的坐标,设出 B 的坐标,利用已知条件中向量的关系,求得 x 和 y 关于 c 的表达

式,代入椭圆方程求得 a 和 c 的关系,利用

求得 a 和 c 的关系,最后联立求得 a

和 b,则椭圆方程可得

试题解析:(1)若

,则

为等腰直角三角形,所以

,即 ,所以

既有

,综上可得

,从而

考点:椭圆的应用;椭圆的简单性质

,所以椭圆方程为

20. 设等差数列 的公差 ,且

,记

(1)用 分别表示

,并猜想 ;

(2)用数学归纳法证明你的猜想.

【答案】(1)Tn=

.;(2)见解析.

【解析】试题分析:(1)分别求出

的值,观察共有性质,从而可归纳猜想出 ;

(2)根据数学归纳法的基本原理,①当 n=1 时,验证猜想正确,②假设当 n=k 时(k∈N*)

时结论成立,证明当 n=k+1 时结论正确即可.

试题解析:(1)T1= =



T2= + =

×=

×=



T3= + + =

×=

×=

由此可猜想 Tn=

.

(2)证明:①当 n=1 时,T1=

,结论成立.

②假设当 n=k 时(k∈N*)时结论成立,

即 Tk=

.

则当 n=k+1 时,Tk+1=Tk+









.

即 n=k+1 时,结论成立.

由①②可知,Tn=

对于一切 n∈N*恒成立.

21. 已知

(1)求函数 在区间 (2)对一切实数

(3)证明:对一切



上的最小值; 恒成立,求实数的取值范围; 恒成立.

【答案】(1)

;(2)4;(3)见解析.

【解析】试题分析:(1)求出 ,分三种情况讨论,分别令

减区间,从而可得函数 在区间

上的最小值;(2)

得增区间,



等价于

,只需以

即可;(3)问题等价于证明

,由

的最小值是 ,

最大值为 .

试题解析:(1)

,当



, 单调递减,当

单调递增.············ 2 分



,t 无解;







,即

时,





,即 时, 在

上单调递增,

所以

.········· 5 分

(2)

,则





,则





, 单调递增,



单调递减,所以

,因为对一切

所以



(3)问题等价于证明



, ,

恒成立,

由⑴可知

的最小值是 ,当且仅当 时取到,



,则

,易得

,当且仅当 时取到,

从而对一切

,都有

成立.

22. 选修 4-4:参数方程与极坐标系 在平面直角坐标系 中,直线的参数方程为

(为参数),直线的参数方程为

(为参数),设直线,的交点为 P,当变化时,P 的轨迹为曲线.

(1)写出曲线 C 的普通方程;

(2)以坐标原点 O 为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设

,M

为与 C 的交点,求 M 的极径.

【答案】(1)

;(2) .

【解析】试题分析:(1)利用消参法求轨迹方程;(2) 将参数方程转化为一般方程,联立解出 M 点坐标,进而得到极半径. 试题解析: (1)将参数方程转化为一般方程
……①

……②

① ②消可得:

即的轨迹方程为



(2)将参数方程转化为一般方程 ……③

联立曲线和

解得



解得

.即的极半径是 .

23. 选修 4-5:不等式选讲

已知函数

(1)当 时,求不等式

的解集;

(2)若不等式

的解集包含,求实数的取值范围.

【答案】(1)

;(2)

.

【解析】试题分析:(1)利用零点分段法解含有绝对值的不等式;(2) 不等式

的解集

包含

等价于



恒成立,借助二次函数图象数形结合处理问

题. 试题解析:

(1)当 时,

,是开口向下,对称轴 的二次函数.





时,令

,解得



上单调递增, 在

上单调递减

∴此时

解集为





时,







时, 单调递减, 单调递增,且



综上所述,

解集



(2)依题意得:



恒成立.





恒成立.

则只须

,解出:

.故取值范围是

.

点睛:f(x)<a 恒成立?f(x)max<a. f(x)>a 恒成立?f(x)min>a. |x-a|+|x-b|≥c(或≤c)(c>0),|x-a|-|x-b|≤c(或≤c)(c>0)型不等式的解法 可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解. 零点分区间法的一般步骤 ①令每个绝对值符号的代数式为零,并求出相应的根; ②将这些根按从小到大排列,把实数集分为若干个区间; ③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式,解这些不等式,求出解集; ④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集.


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