2013届辽宁省铁岭市高级中学高三上学期期中考试数学文试题

辽宁省铁岭市高级中学高三上学期期中

数学(文科)考试试题

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题目要求的。

1.若 1 ? 1 ? 0 ,则下列不等式① a ? b ? ab ;② a ? b ;③ a ? b ;④ b ? a ? 2 中,正

ab

ab



的不等式有( )

(A)1 个

(B) 2 个

(C) 3 个

(D) 4 个

2、已知命题 p:关于 x 的方程 x 2 ? ax ? 4 ? 0 有实根,命题 q:关于 x 函数 y ? 2x 2 ? ax ? 4

在[3, ? ?) 上为增函数,若“p 或 q”为真命题,“p 且 q”为假命题,则实数 a 取值范围为

( )A、 (?12, ? 4] ? [4, ? ?)

B、[?12, ? 4] ? [4, ? ?)

C、 (??, ?12) ? (?4, 4)

D、[?12, ? ?)

3、已知函数

? f1(x) ? 3sin(2x ? 3 )



?

f2 (x)

?

4 sin(2x

?

) 3

,则函数

f (x) ?

f1(x) ? f2 (x) 的振幅为( )

A、 13

B、5

C、7

D、13

4、已知等差数列{an }与等比数列{bn }各项都是正数,且 a1 ? b1 ,a2n?1 ? b2n?1 ,那么一定
有( )

A、 an?1 ? bn?1

B、 an?1 ? bn?1

C、 an?1 ? bn?1

D、 an?1 ? bn?1

?1

5、定义在

R

上的函数

f

(x)

?

? ?

x?2

??1

(x ? 2) ,则 f (x) 的图像与直线 y ? 1的交点为
(x ? 2)

(x1, y1 ) 、 (x2 , y2 ) 、 (x3 , y3 ) 且 x1 ? x2 ? x3 ,则下列说法错误的是( )

A、 x12 ? x22 ? x32 ? 14 B、1 ? x2 ?x3 ? 0 C、 x1 ? x3 ? 4 D、 x1 ? x3 ? 2x2

?x ? 0

6、已知点

M

(a,

b)

在不等式组

? ?

y

?

0

确定的平面区域内,则点 N (a ? b, a ? b) 所

??x ? y ? 2

在平面区域的面积是( )

A、1

B、2

C、4

D、8

? ? 7.数列 an 中,a1 ? 1,an , an?1 是方程 x2

1 ? (2n ? 1)x ?
bn

? 0 的两个根,则数列?bn ? 的

前 n 项和 Sn ? ( )

A、 1 2n ?1

B、 1 n ?1

C、 n 2n ?1

D、 n n ?1

8.已知函数 f(x)的导函数 f '(x) 的图像如左图所示,那么函数 f(x)的图像最有可能的是右图

中的 ( )

9.已知向量a ? (cos? ,sin ? ),b ? (cos ? ,sin ? ),并且满足关系 :| k a ? b |? 3 | a ? kb |

(k>0),则 ? a, b ? 的最大值为

()

(A) ? 6

(B) ? 3

(C) 5? 6

(D) 2? 3

10. 已 知 函 数

f

(x)

?

??2x ,

?log ??

1 2

x,

(x ≤1), (x>1).



y ? f (1? x)

的图象是

(A)

(B)

(C)

(D)

11.已知双曲线 x2 a2

y2 ?
b2

? 1和椭圆 x2 ? y2 m2 b2

? 1?a ? 0, m ? b ? 0? 的离心率之积大于

1,那么以

a,b, m 为边的三角形是 ( )

A.锐角三角形

B.钝角三角形

C.直角三角形

D.等边三角形

12.已知函数 f (x) ? 1 x3 ? 1 ax2 ? 2bx ? c(a,b, c ? R) ,且函数 f (x) 在区间(0,1)内取 32

得极大值,在区间(1,2)内取得极小值,则 z ? (a ? 3)2 ? b2 的取值范围为( )

A. ( 2 , 2) 2

B. (1 , 4) 2

C. (1, 2)

D. (1, 4)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分

13.△ABC 中,BC=8,AC=5,三角形面积为 12,则 cos2C 的值为

.

14.若⊙ O1 : x2 ? y2 ? 5 与⊙ O2 : (x ? m)2 ? y2 ? 20(m ? R) 相交于 A、B 两点,且两圆在点

A 处的切线互相垂直,则线段 AB 的长度是

w

15、已知曲线 y ? 1 x3 ? 4 的切线 l 过点 A (2, 4) ,则切线 l 的斜率为______.
33

16、设 O 为△ABC 的内心,当 AB=AC=5,BC=6 时, AO ? m AB ? nBC ,则 m ? n 的值为
________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17 、( 本 小 题 满 分 10 分 ) 已 知 A 、 B 、 C 是 △ ABC 的 三 个 内 角 , 若 向 量

m ? (1 ? cos(A ? B), cos A ? B ) , n ? (5 , cos A ? B ) ,且 m?n ? 9 。

2

8

2

8

(1)求证: tan A tan B ? 1 ; 9

(2)求 absin C 的最大值。 a2 ? b2 ? c2

18、(本小题满分

12 分)已知椭圆 C :

x2 a2

?

y2 b2

?1

(a

?

b

?

0 )的上顶点坐标为 (0,

3) ,

离心率为 1 .(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;(Ⅱ)设 P 为椭圆上一点, A 为椭圆左顶点, F 为椭 2

圆右焦点,求 PA? PF 的取值范围.

19.(本小题满分 12 分)等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn , 已知对任意的 n ? N ? ,点 (n, Sn ) ,均在函数 y ? bx ? r(b ? 0 且 b ? 1,b, r 均为常数)的图像上.
(1)求 r 的值;

(11)当 b=2 时,记

bn

?

n ?1 (n ?
4an

N?)

求数列{bn}的前 n 项和Tn

20.设平面直角坐标系 xoy 中,设二次函数 f ? x? ? x2 ? 2x ? b ? x ? R? 的图象与两坐标轴有
三个交点,经过这三个交点的圆记为 C.求: (Ⅰ)求实数 b 的取值范围; (Ⅱ)求圆 C 的方程;

21.已知 ,解不等式

.

22.(本小题满分 12 分)已知函数 f ?x? ? ?1 ? x?2 ? a ln?1 ? x?2 在 ?? 2, ?1? 上是增函数,在 ?? ?, ? 2?上是减函数. (1)求函数 f ?x? 的解析式; (2)若 x ?[ 1 ?1, e ?1] 时, f ?x? ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围;
e

辽宁省铁岭县高级中学高三上学期期中数学文科考试试题答案

一、BCABD CDABC BB

二、 13、 7 25

14、4

15、4 或 1

16、 15 16

三、 17、(1)证明:由已知得[1? cos( A ? B)]? 5 ? cos2 A ? B ? 9

8

28

即 5 (1? cos Acos B ? sin Asin B) ? 1? cos(A ? B) ? 9

8

2

8

故 5 ? 5 cos Acos B ? 5 sin Asin B ? 1 ? 1 cos Acos B ? 1 sin Asin B ? 9

88

8

22

2

8

整理得 9sin Asin B ? cos Acos B

? sin Asin B ? 1 即 tan A tan B ? 1

cos Acos B 9

9

(2) ? a 2 ? b2 ? c2 ? cosC 2ab

? absin C ? sin C ? 1 tan C ? ? 1 tan( A ? B) ? ? 1 tan A ? tan B

a 2 ? b2 ? c2 2 cosC 2

2

2 1? tan A tan B

= ? 1 tan A ? tan B ? ? 9 (tan A ? tan B)

2 1? 1

16

9

? A、、 为三角形内角,tan A tan B ? 1 ? 0 ? tan A tan B ? 0 9

? tan A ? tan B ? 2 tan A tan B ? 2 3

当且仅当tan A ? tan B ? 1时取等号 3

故 absin C ? ? 9 ? 2 ? ? 3 a 2 ? b2 ? c2 16 3 8

? absin C 的最大值为 ? 3

a2 ? b2 ? c2

8

18. (Ⅰ)由题意得椭圆的方程为 x2 ? y2 ? 1. 43
(Ⅱ)设 P(x, y) ,则 PA ? (?2 ? x, ? y), PF ? (1? x, ? y) , PA? PF ? (?2 ? x, ? y)(1? x, ? y) ? (x ? 2)(x ?1) ? y2 ? x2 ? x ? 2 ? y2 ? 1 x2 ? x ?1(?2 ? x ? 2)
4
? PA? PF ?[0, 4]

19.解:因为对任意的 n ? N ? ,点 (n, Sn ) ,均在函数 y ? bx ? r(b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)

的图像上.所以得 Sn ? bn ? r ,

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? b ? r ,

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? bn ? r ? (bn?1 ? r) ? bn ? bn?1 ? (b ?1)bn?1 ,

又因为{ an }为等比数列, 所以 r ? ?1 , 公比为 b ,

所以 an ? (b ?1)bn?1

(2)当 b=2 时, an ? (b ?1)bn?1 ? 2n?1 ,

bn

?

n ?1 4an

?

n ?1 4 ? 2n?1

?

n ?1 2n?1

则 Tn

?

2 22

?

3 23

?

4 24

?

?

n ?1 2n?1

1 2 Tn ?

234

n n ?1

23 ? 24 ? 25 ? ? 2n?1 ? 2n?2

相减,得

1 2 Tn

?

2 22

?

1 23

?

1 24

?

1 25

?

?

1 2n?1

?

n ?1 2n?2

1 2

?

1 23

?

(1

?

1 2n?1

)

1? 1

?

n ?1 2n?2

?

3 4

?

1 2n?1

?

n ?1 2n?2

2

所以 Tn

?

3 2

?

1 2n

?

n ?1 2n?1

?

3 2

?

n?3 2n?1

20.【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法.

(Ⅰ)令 x =0,得抛物线与 y 轴交点是(0,b);

令 f ? x? ? x2 ? 2x ? b ? 0 ,由题意 b≠0 且Δ >0,解得 b<1 且 b≠0.

(Ⅱ)设所求圆的一般方程为 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0

令 y =0 得 x2 ? Dx ? F ? 0 这与 x2 ? 2x ? b =0 是同一个方程,故 D=2,F= b .

令 x =0 得 y2 ? Ey +F=0,此方程有一个根为 b,代入得出 E=―b―1. 所以圆 C 的方程为 x2 ? y2 ? 2x ? (b ?1) y ? b ? 0 .

21.解:原不等式化为



(1)当 a=0 时,原不等式为



在①中,分子中 x 的系数含有字母 a,分类讨论就从这里引起。

(2)当 a≠0 时,原不等式化为

。②

对于不等式②,分子中的系数 a 不能随意约去,因为根据不等式的性质,若给不等式两 边同时乘以一个负数,不等式的方向要改变。

当 a>0 时,原不等式等价于



由于 解集。

,可解得

。也可先确定两根

,然后直接写出

当 a<0 时,







综上,当 a=0 时原不等式的解集为



当 a>0 时,解集为

当 a<0 时,解集为



22.解:⑴

f

??x?

?

2x

?

2

?

2?1 ? x?a ?x ? 1?2

?

2?x

?

1?

?

2a x ?1

依题意得 f ??2? ? ?2 ? 2a ? 0 ,所以 a ? 1 ,从而 f ?x? ? ?x ? 1?2 ? ln?x ? 1?2 …….6


⑵ f ??x? ? 2?x ?1?2 ? 2 ? 2x?x ? 2?

x ?1

x ?1



f

??x?

?

0 ,得

x

?

0



x

?

?2

(舍去),

f

(x)



[

1 e

? 1,0]

递减,在[0, e

?1] 递增,



f

(

1 e

?1) ?

f (e ?1) ,所以 m ?

f ?e ?1? ? e2

? 2 ………12 分


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