2019-2020学年高中数学 课时作业18 1.3.2.2 函数的奇偶性(第2课时)新人教A版必修1

2019-2020 学年高中数学 课时作业 18 1.3.2.2 函数的奇偶性(第 2 课时)新人教 A 版必修 1
1.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且有 f(3)>f(1).则下列各式中一定成立的是( A.f(-1)<f(3) C.f(3)>f(2) 答案 A 解析 ∵f(x)为偶函数,∴f(-3)=f(3),f(-1)=f(1),又 f(3)>f(1),∴f(-3)>f(- 1),f(3)>f(-1)都成立. 2.设 f(x)为定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且 f(x)在[0,+∞)上为增函数,则 f(-2), f(-π ),f(3)的大小顺序是( A.f(-π )>f(3)>f(-2) C.f(-π )<f(3)<f(-2) 答案 A 解析 ∵f(x)为偶函数,∴f(-2)=f(2),f(-π )= f(π ).又 f(x)在[0,+∞)上为增函数,∴f(2)<f(3)<f(-π ),∴f(-2)<f(3)<f(-π ). 3.若奇函数 f(x)当 1≤x≤4 时的解析式是 f(x)=x -4x+5,则当-4≤x≤-1 时,f(x)的 最大值是( A.5 C.-2 答案 D 解析 当-4≤x≤-1 时,1≤-x≤4,∵1≤x≤4 时,f(x)=x -4x+5. ∴f(-x)=x +4x+5,又 f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x). ∴f(x)=-x -4x-5=-(x+2) -1. 当 x=-2 时,取最大值-1. f(x1)-f(x2) 4.已知 f(x)是奇函数且对任意正实数 x1,x2(x1≠x2),恒有 >0,则一定正 x1-x2 确的是( ) B.f(-5)>f(-3) D.f(-3)>f(-5)
2 2 2 2 2

)

B.f(0)<f(5) D.f(2)>f(0)

) B.f(-π )>f(-2)>f(3) D.f(-π )<f(-2)<f(3)

) B.-5 D.-1

A.f(3)>f(-5) C.f(-5)>f(3) 答案 D

5.定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞)上是增函数,若 f(a)<f(b),则一定可得( A.a<b B.a>b

)

C.|a|<|b| 答案 C

D.0≤a<b 或 a>b≥0

6.设 f(x)是(-∞, +∞)上的奇函数, f(x+2)=-f(x), 当 0≤x≤1 时, f(x)=x, 则 f(7.5) =________. 答案 -0.5 f(x)-f(-x) 7.设奇函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数且 f(1)=0,则不等式 <0 的解集 x 为________. 答案 {x|-1<x<0 或 0<x<1} 8.若奇函数 f(x)在区间[3,7]上是增函数,在区间[3,6]上的最大值为 8,最小值为-1, 则 2f(-6)+f(-3)的值为________. 答案 -15 9.若函数 f(x)是 R 上的偶函数,且在[0,+∞)上是减函数,则满足 f(π )<f(a)的实数 a 的取值范围是________. 答案 (-π ,π ) 解析 若 a≥0,f(x)在[0,+∞)上是减函数,且 f(π )<f(a),得 a<π . 若 a<0,∵f(π )=f(-π ), 则由 f(x)在[0,+∞)上是减函数,得知 f(x)在(-∞,0]上 是增函数. 由于 f(-π )<f(a),得到 a>-π ,即-π <a<0. 由上述两种情况知 a∈(-π ,π ). 10.已知奇函数 f(x)的定义域为 R,且对于任意实数 x 都有 f(x+4)=f(x),又 f(1)=4,那 么 f[f(7)]=________. 答案 0 解析 ∵f(7)=f(3+4)=f(3)=f(-1+4)=f(-1)=-f(1)=-4, ∴f[f(7)]=f(-4)=f(-4+4)=f(0)=0. 1 11.设 f(x)是偶函数,g(x)为奇函数,又 f(x)+g(x)= ,则 f(x)=________,g(x)= x-1 ________. 答案 1 x , 2 x -1 x -1
2

1 解析 ∵f(x)+g(x)= , x-1 ∴f(-x)+g(-x)= 1 . -x-1



又 f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,

∴f(x)-g(x)=

1 . -x-1



1 x ①+②,得 f(x)= 2 ,①-②,得 g(x)= 2 x -1 x -1. 12.已知函数 f(x)=x -2|x|-1,-3≤x≤3. (1)证明:f(x)是偶函数; (2)指出函数 f(x)的单调区间; (3)求函数的值域. 解析 (1)∵f(-x)=(-x) -2|-x|-1=f(x), ∴f(x)为偶函数.
? ?x -2x-1 (2)f(x)=? 2 ?x +2x-1 ?
2 2 2

(0≤x≤3), (-3≤x<0).

∴f(x)的单调区间为[-3,-1],[-1,0],[0,1],[1,3]. (3)f(x)的值域为[-2,2]. 13.若 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x<0 时,f(x)= x(1-x),求当 x≥0 时,函数 f(x)的解析式. 思路 解决本题的关键是利用 x<0 时,f(x)=x(1-x),将 x>0 时,f(x)的解析式的求解, 转化到 x<0 上. 解析 当 x>0 时,-x<0,∵当 x<0 时,f(x)=x(1-x),∴f(-x)=-x(1+x). 又 f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x). ∴-f(x)=-x(1+x),∴f(x)=x(1+x). 又 f(0)=f(-0)=-f(0),∴f(0)=0.∴当 x≥0 时,f(x)=x(1+x). 点评 若 f(x)是奇函数,且 f(x)在 x=0 处有定义,则必有 f(0)=0,这是因为: 若 f(x)为奇函数,则对定义域内的任意实数 x,都有 f(-x)+f(x)=0,∴当 x=0 时,有 f(0)+f(0)=0.∴f(0)=0. ?重点班·选做题 -x +2x (x>0) ? ? 14.已知奇函数 f(x)=?0 (x=0) . 2 ? ?x +mx (x<0)
2

(1)求实数 m 的值,并在给出的直角坐标系中画出 y=f(x)的图像; (2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,试确定 a 的取值范围. 解析 (1)当 x<0 时,-x>0, f(-x)=-(-x) +2(-x)=-x -2x. 又 f(x)为奇函数,
2 2

∴f(-x)=-f(x)=-x -2x. ∴f(x)=x +2x,∴m=2. y=f(x)的图像如图所示. -x +2x (x>0) ? ? (2)由(1)知 f(x)=?0 (x=0) , 2 ? ?x +2x (x<0) 由图像可知,f(x)在[-1,1]上单调递增,
? ?a-2>-1, 要使 f(x)在[-1,a-2]上单调递增,只需? 解得 1<a≤3. ?a-2≤1, ?
2 2

2

1.定义在 R 上的函数 f(x)是偶函数,且 f(x)=f(2-x),若 f(x)在区间[1,2]上是减函数, 则 f(x)( )

A.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是增函数 B.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数 C.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是增函数 D.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是减函数 答案 B 2.设 f(x)是定义在(-∞, +∞)上的奇函数, 且 x>0 时, f(x)=x +1, 则 f(-2)=________. 答案 -5
2

解析 由 f(x)在(-∞,+∞)上是奇函数,得 f(-x)=-f(x),即 f(-2)=-f(2),而 f(2)=2 +1=5. ∴f(-2)=-5. a 2 3.已知函数 f(x)=x + (x≠0,a∈R). x (1)判断 f(x)的奇偶性; (2)若 f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围. 解析 (1)∵x≠0 且 x∈R,f(-x)=x + 当 a=0 时,f(x)为偶函数; 当 a≠0 时,f(x)为非奇非偶函数. (2)设 x1,x2∈[2,+∞),且 x1<x2, a a 2 2 f(x1)-f(x2)=x1 -x2 + - x1 x2 a =(x1-x2)(x1+x2- ), x1x2 ∵f(x)在[2,+∞)上为增函数, a ∴x1+x2> 恒成立,∴a≤16. x1x2 4.定义在[-2,2]上的偶函数 f(x)在区间[0,2]上是减函数,若 f(1-m)<f(m).求实数 m 的取值范围. 解析 ∵f(x)为偶函数,∴f(1-m)<f(m)可化为 f(|1-m|)<f(|m|),又 f(x)在[0,2]上是减函数, 1 ∴|1-m|>|m|,两边平方,得 m< ,又 f(x)定义域为[-2,2], 2
?-2≤1-m≤2, ? 1 ∴? 解之得-1≤m≤2,综上得 m∈[-1, ). 2 ? ?-2≤m≤2,
2 2

a , -x

5.函数 f(x)的定义域为 D={x|x∈R 且 x≠0},且满足对于任意的 x1,x2∈D,有 f(x1·x2) =f(x1)+f(x2). (1)求 f(1)及 f(-1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明. 解析 (1)令 x1=x2=1,得 f(1)=f(1)+f(1),所以 f(1)=0,令 x1=x2=-1,得 f(1)= f(-1)+f(-1)=0,所以 f(-1)=0. (2)令 x1=x,x2=-1,得 f(-x)=f(x)+f(-1),即 f(-x)=f(x),故对任意的 x≠0 都 有 f(-x)=f(x).所以 f(x)是偶函数.


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