二元一次不等式组表示的平面区域_图文

y

o

x

复习回顾 (1)平面直角坐标系中, 二元一次方程x-y-6=0的解组成 的点(x,y)的集合表示什么图形? y 过(6,0)和(0,-6)的一条直线

o
二元一次不等式
-6

6

x

x-y-6=0
(2)那么x-y-6>0的解组成的集合呢? x-y-6<0呢?

创设情境
复习:怎么样表示现实生活中存在的一些不等关系? 一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000元用于企业 投资和个人贷款,希望这笔资金至少可带来30 000元的 收益,其中从企业贷款中获益12﹪,从个人贷款中获益 10﹪,那么,信贷部应该如何分配资金呢?
分配资金应该满足的条件为

x ? y ? 25000000 12 x ? 10 y ? 3000000
x?0

二元一次不等式组

y?0

温故探新:

回忆:初中一元一次不等式(组)的解集 如何表示? 例如: ? x ? 3 ? 0

? ?x ? 4 ? 0

思考:在直角坐标系内,二元一次不 等式(组)的解集又如何表示呢?

探讨:在平面内画一条 x ? y ? 6 ? 0 直线,这条直线
将平面分为几个部分?这几个部分可以用怎样的式子来 表示? 在平面直角坐标系中,所有的点被直线 x ? 分成三类: ⑴在直线 ⑵在直线 ⑶在直线

y ?6 ? 0

x? y ?6 ? 0
x? y ?6 ? 0

上;

的左下方的平面区域内;

x ? y ? 6 ? 0 的右上方的平面区域内。

对于平面上的点的坐标(3,-3)(0,0), (-2,3),(7,0),(1,-6),讨论它们分别在 直线的什么方位,它们的值分别为什么?
(-2,3)

x? y ?6 ? 0
(0,0) 6 (3,-3) -6 (7,0)

x? y ?6 ? 0

x? y ?6 ? 0

(1,-6)

如何判断二元一次不等式的平面区域

(1)二元一次不等式Ax+By+C>0(A,B不全 为0)在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。

(2)由于对直线同一侧的所有点(x,y), 把它代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同, 所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点 (x0,y0) ,从Ax0+By0+C的正负可以判断出 Ax+By+C>0表示哪一侧的区域。

归纳提升:
判断方法:
Ax+By+C=0 y

直线定界,特殊点定域

x

小诀窍 如果C≠0,可取(0,0); 如果C=0,可取(1,0)或(0,1).

例题分析

y
6

1.画出不等式
2x+y-6<0
表示的平面区域。
解: 将直线2X+y-6=0画成虚线 2x+y-6<0 将(0,0)代入2X+y-6 得0+0-6=-6<0

o

3

x

原点所在一侧为 2x+y-6<0表示平面区域 平面区域的确定常采用“直 线定界,特殊点定域”的方 法。

2x+y-6=0

练习1. 画下列不等式表示的区域:
⑴ x-y+1<0 ⑵2x+3y≥6
Y

(3) 2x+y>0
y

Y
1 -1

左上方
X

右上方
2 O 3 X

o

o

x

右上方

注:若不等式不取=,则边界应画成虚线, 否则应画成实线。

例题分析 2 .画出

x-y+5≥0 x+y≥0

表示的平面区域
x+y=0

x-y+5=0

分析:不等式组表示的平面区域
是各不等式所表示的平面 点集的交集,因而的各个 不等式所表示的平面区域 的公共部分。

Y

解: 不等式x-y+5≥0表示 直线x-y+5=0上及右 下方的点的集合, x+y≥0表示直线x+y=0上及 右上方的点的集合,

O

X

变式 上式加上一个条件x≤3, 平面区域会是什么图形?

练习2 :1.画出下列不等式组表示的平面区域

?y ? x ? ?x ? 2 y ? 4 ? y ? ?2 ?

Y

2 o
-2

4 x

注:画图应非常准确,否则可能得不到正确结果。

小结回顾:
二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐 标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点 组成的平面区域。 确定步骤: 直线定界,特殊点定域; 若C≠0,则直线定界,原点定域;

根据所给图形,把图中的平面区域用不 等式表示出来: y
1,

1

?1

O

x

X-y+1=0

2,求由三直线x-y=0;x+2y-4=0及y+2=0 所围成的平面区域所表示的不等式。
Y

x-y=0

x+2y-4=0

2
4

o
-2

x y+2=0

?x ? y ? 0 ? ?x ? 2 y ? 4 ? 0 ?y ? 2 ? 0 ?

( x ? y)( x ? y) ? 0表示的平面区域是
y x+y=0 x-y=0 x+y=0 y

(

A)
x-y=0

0 y

x (A) x-y=0

0 y (B)

x

x-y=0

x+y=0 0
x (C)

0

x x+y=0 (D)

知识点: ⑴ 二元一次不等式表示平面区域 ⑵ 二元一次不等式表示哪个平面 区域的判定方法
⑶ 二元一次不等式组表示平面区域(每个 二元一次不等式表示区域的公共部分)

数学思想: 数形结合、化归、分类讨论


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