2013年高二理科选修2-1期中考试模拟题

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2013 年高二理科期中考试模拟仿真卷
时间 120 分钟,满分 150 分 【考试范围】必修 3:统计和概率 选修 2-1:第一章——→第三章空间向量的坐标运算 一、单项选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1. 命题“任意的 x∈R,2x -x +1<0”的否定是 A.不存在 x∈R,2x -x +1<0 C.存在 x0∈R,2x0-x0+1≥0
4 2 4 2 4 2

(
4 2

)

B.存在 x0∈R,2x0-x0+1<0 D.对任意的 x∈R,2x -x +1≥0 ( )
4 2

2.已知空间向量 a=(1,n,2),b=(-2,1,2),若 2a-b 与 b 垂直,则|a|等于 5 A. 3 2 B. 21 2 C. 37 2 D. 3 2 5

→ → 1→ 1→ 3. 已知点 M 在平面 ABC 内, 且对空间任一点 O, 有OM=xOA+ OB+ OC, 则 x 的值为 ( ) 3 3
A.1
2

B.0

C.3

1 D. 3 ( D.8 )

4.抛物线 y =8x 的焦点到准线的距离是 A.1 B.2 C.4 1 8.6

5.某题的得分情况如下: 得分(分) 0 百分率(%) 37.0 其中众数是 A.37.0% B.20.2%
2

2 6.0 C.0 分

3 28.2

4 20.2 ( D.4 分 ( ) )

6.抛物线 y ? ax 的准线方程是 y ? 2 ,则 a 的值为
1 A. 8 1 B. ? 8

C.8

D. ?8

7. 已知 F1(-4,0)、 F2(4,0), 曲线上动点 P 到 F1、 F2 的距离之差为 6, 则该曲线的方程为 ( ) A. - =1(x≥3) 9 7

x2 y2

B. - =1 9 7

x2 y2

C. - =1(y≥3) 9 7

y2 x 2

D. - =1 9 7

y2 x2

8.已知抛物线 C:y2=8x 的焦为 F,准线与 x 轴的交点为 K,点 A 在 C 上且|AK|= 2|AF|, 则△AFK 的面积为 A.4 B.8 C.16 D.32 ( )

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

1

二、填空题(本大题共 7 个小题,每小题 5 分,共 35 分) 1 9.已知 a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b= x-2a,则向量 x 等于 2 10.命题“?x0∈R,2x0-3ax0+9<0”为假命题,则实数 a 的取值范围是________.
2

.

11.焦点坐标为 (?2,0) 的抛物线的标准方程为___________.

x2 y2 12.过椭圆 ? ? 1 内一点 M (2,1) 引一条弦,使弦被 M 点平分,则这条弦所在的直线方 16 4
程是 .

13.已知 a, b 是空间两个向量,若|a|=2,|b|=2,|a-b|= 7,则 cos〈a,b〉=________. 14.某中学为了了解学生数学课程的学习情况,在 3 000 名学生中随机抽取 200 名,并统计 这 200 名学生的某次数学考试成绩, 得到了样本的频率分布直方图(如图), 根据频率分布直 方图推测,这 3 000 名学生在该次数学考试中成绩小于 60 分的学生数是________.

15. 已知两点 M(-2,0),N(2,0), 平面内动点 P 满足 | MN | ? | MP | ?MN ? NP ? 0 , 则动点 P(x, y)的轨迹方程为________.

三、解答题(本大题共 6 个大题,共 75 分,解答应写出文字说明或演算步骤) 16.(本小题满分 12 分)某地区有小学 21 所,中学 14 所,大学 7 所,现采用分层抽样的方 法从这些学校中抽取 6 所学校对学生进行视力调查. (1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目. (2)若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析, ①列出所有可能的抽取结果; ②求抽取的 2 所学校均为小学的概率.

2

17.(本小题满分 12 分) (1)求经过点 P(-3,2 7)和 Q(-6 2,-7)的双曲线的标准方程; x2 y2 (2)已知双曲线与椭圆 + =1 有共同的焦点,且与椭圆相交,一个交点 A 的纵坐标为 4, 27 36 求双曲线的方程.

18、(本小题满分 12 分)棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 为 DD1 的中点,O1、O2、O3 分 别是平面 A1B1C1D1、平面 BB1C1C、平面 ABCD 的中心. (1)求异面直线 PO3 与 O1O2 所成角的余弦值; (2)求 PO2 的长.

19.(本小题满分 12 分)双曲线 C 的中心在坐标原点,顶点为 A(0, 2),A 点关于一条渐近 线的对称点是 B( 2,0),斜率为 2 且过点 B 的直线 l 交双曲线 C 于 M,N 两点,求: (1)双曲线的方程; (2)|MN|.

3

20.(本小题满分 13 分)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,左右焦点分别为 F1 , F2 , 3 且 | F1 F2 |? 2 ,点(1, )在椭圆 C 上. 2 (1)求椭圆 C 的方程; 12 2 (2)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点,且 ?AF2 B 的面积为 ,求直线 l 的方程. 7

21、(本小题满分 14 分)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为 ( 3,0) (1) 求双曲线 C 的方程; (2) 若直线 l:y ? kx ? 2 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B, 且 OA ? OB ? 2 (其中 O 为原点),求 k 的取值范围。

4

2013 年高二理科期中考试模拟仿真卷
时间 120 分钟,满分 150 分。 【考试范围】必修 3:统计和概率 选修 2-1:第一章——→空间向量的坐标运算 一、单项选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1. 命题“任意的 x∈R,2x -x +1<0”的否定是 A.不存在 x∈R,2x -x +1<0 C.存在 x0∈R,2x -x +1≥0
4 0 2 0 4 2 4 2

(
4 0 2 0

)

B.存在 x0∈R,2x -x +1<0 D.对任意的 x∈R,2x -x +1≥0
4 2 4 2

解析:全称命题的否定是特称命题,所以该命题的否定是:存在 x0∈R,2x0-x0+1≥0. 答案:C 2.已知空间向量 a=(1,n,2),b=(-2,1,2),若 2a-b 与 b 垂直,则|a|等于 5 A. 3 2 B. 21 2 C. 37 2 D. 3 2 5 ( )

解析:由已知可得 2a-b=(2,2n,4)-(-2,1,2)=(4,2n-1,2).又∵(2a-b)⊥b, ∴-8+2n-1+4=0. 5 ∴2n=5,n= .∴|a|= 2 25 3 5 1+4+ = .答案:D 4 2

→ → 1→ 1→ 3. 已知点 M 在平面 ABC 内, 且对空间任一点 O, 有OM=xOA+ OB+ OC, 则 x 的值为 ( ) 3 3 1 A.1 B.0 C.3 D. 3 1 1 1 → → 1→ 1→ 解析 ∵OM=xOA+ OB+ OC,且 M,A,B,C 四点共面,∴x+ + =1,x= ,故选 D. 3 3 3 3 3
4.抛物线 y =8x 的焦点到准线的距离是( A.1 [答案] C 5.某题的得分情况如下: 得分(分) 0 1 百分率(%) 37.0 8.6 其中众数是( ) A.37.0% B.20.2% 解析: 由于众数出现的频率最大,故选 C. 答案: C
1 A. 8 1 B. ? 8
2

) D.8

B.2

C.4

2 6.0

3 28.2

4 20.2 D. 4 分

C.0 分

2 6.抛物线 y ? ax 的准线方程是 y ? 2 ,则 a 的值为

( D. ?8



C.8

7. 已知 F1(-4,0)、 F2(4,0), 曲线上动点 P 到 F1、 F2 的距离之差为 6, 则该曲线的方程为 ( ) A. - =1(x≥3) 9 7

x2 y2

B. - =1 9 7

x2 y2

C. - =1(y≥3) 9 7

y2 x 2

D. - =1 9 7

y2 x2

[解析] ∵点 P 到 F1、F2 的距离之差是 6,而不是距离的差的绝对值是 6,

5

∴点 P 所在曲线应是双曲线的右支,由题可知,2a=6,c=4, ∴a=3,c=4,b =c -a =7, ∴该曲线的方程为 - =1(x≥3),故选 A. 9 7 8.已知抛物线 C:y2=8x 的焦为 F,准线与 x 轴的交点为 K,点 A 在 C 上且|AK|= 2|AF|, 则△AFK 的面积为 A.4
2
2 2 2

x2 y2

( B.8 C.16 D.32

)

解析: 由 y =8x 得 p=4, 抛物线开口向右, 所以 F(2,0), 准线方程为 x=-2, 则 K(-2,0). 设 A(x1,y1).由抛物线定义得 |AF|=x1+2,|AK|= ?x1+2?2+y2 1. 由|AK|= 2|AF|得

?x1+2?2+y2 (x1+2), ∴(x1+2)2+8x1=2(x1+2)2,解得 x1=2, 1= 2· 1 ∴y1=± 4,S△AFK= ×4×4=8. 2 答案:B

二、填空题(本大题共 7 个小题,每小题 5 分,共 35 分) 1 9.已知 a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b= x-2a,则向量 x 等于 2 1 解析 ∵b= x-2a,∴x=4a+2b=(0,6,-20). 2 2 10.命题“?x0∈R,2x0-3ax0+9<0”为假命题,则实数 a 的取值范围是________. 解析:∵?x0∈R,2x0-3ax0+9<0 为假命题, ∴?x∈R,2x -3ax+9≥0 为真命题, ∴-2 2≤a≤2 2.
2 2

.

∴Δ =9a -4×2×9≤0,即 a ≤8,

2

2

答案:[-2 2,2 2]

11.焦点坐标为 (?2,0) 的抛物线的标准方程为___________. 12.过椭圆 程是

x2 y2 ? ? 1 内一点 M (2,1) 引一条弦,使弦被 M 点平分,则这条弦所在的直线方 16 4
.

13.已知 a, b 是空间两个向量,若|a|=2,|b|=2,|a-b|= 7,则 cos〈a,b〉=________. 1 解析 将|a-b|= 7化为(a-b)2=7,求得 a· b= ,再由 a· b=|a||b|cos〈a,b〉 2 1 求得 cos〈a,b〉= . 8 14.某中学为了了解学生数学课程的学习情况,在 3 000 名学生中随机抽取 200 名,并统计 这 200 名学生的某次数学考试成绩, 得到了样本的频率分布直方图(如图), 根据频率分布直 方图推测,这 3 000 名学生在该次数学考试中成绩小于 60 分的学生数是________.

6

解析: 成绩小于 60 分的频率为:(0.002+0.006+0.012)×10=0.2,成绩小于 60 分的学生数是 3 000×0.2=600 人. 答案: 600 15. 已知两点 M(-2,0),N(2,0), 平面内动点 P 满足 | MN | ? | MP | ?MN ? NP ? 0 , 则动点 P(x, y)的轨迹方程为________. 解析:设点 P 的坐标为(x,y), 则 MN =(4,0), MP =(x+2,y), NP =(x-2,y). ∴| MN |=4,| MP |= ?x+2? +y ,
2 2

???? ?

????

??? ?

???? ?

????

???? ? ??? ? MN · NP =4(x-2).
整理得 y =-8x.
2

根据已知条件得 4 ?x+2? +y =4(2-x), ∴点 P 的轨迹方程为 y =-8x. 答案:y =-8x
2 2

2

2

三、解答题(本大题共 6 个大题,共 75 分,解答应写出文字说明或演算步骤) 16.(本小题满分 12 分)某地区有小学 21 所,中学 14 所,大学 7 所,现采用分层抽样的方 法从这些学校中抽取 6 所学校对学生进行视力调查. (1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目. (2)若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析, ①列出所有可能的抽取结果; ②求抽取的 2 所学校均为小学的概率. 21 解析: (1)由分层抽样定义知,从小学中抽取的学校数目为 6× =3;从中 21+14+7 14 7 学中抽取的学校数目为 6× =2;从大学中抽取的学校数目为 6× =1. 21+14+7 21+14+7 故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为 3,2,1. (2)①在抽取到的 6 所学校中,3 所小学分别记为 A1,A2,A3,2 所中学分别记为 A4,A5, 大学记为 A6,则抽取 2 所学校的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5}, {A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5}, {A4,A6},{A5,A6},共 15 种. ②从 6 所学校中抽取的 2 所学校均为小学(记为事件 B)的所有可能结果为{A1, A2}, {A1, 3 1 A3},{A2,A3},共 3 种, 所以 P(B)= = . 15 5 17.(本小题满分 12 分) (1)求经过点 P(-3,2 7)和 Q(-6 2,-7)的双曲线的标准方程; x2 y2 (2)已知双曲线与椭圆 + =1 有共同的焦点,且与椭圆相交,一个交点 A 的纵坐标为 4, 27 36 求双曲线的方程. 解 (1)设双曲线的标准方程为 nx2+my2=1(m· n<0),
7

又双曲线经过点 P(-3,2 7)和 Q(-6 2,-7),
?28m+9n=1, ? 所以? 解得 ? ?49m+72n=1,

?m=25, y x 所以所求双曲线的标准方程为 - =1. ? 25 75 1 ?n=-75,
2 2

1

x2 y2 (2)因为椭圆 + =1 的焦点为(0,-3),(0,3),A 点的坐标为(± 15,4),设双曲线的 27 36 a2+b2=9, 2 ? ? ? ?a =4, y2 x2 ? 标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0),所以?16 15 解得 2 所以所求的双曲线的 a b ?b =5, ? ? a2 - b2 =1, ? y2 x2 标准方程为 - =1. 4 5 18、(本小题满分 12 分)棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 为 DD1 的中点,O1、O2、O3 分 别是平面 A1B1C1D1、平面 BB1C1C、平面 ABCD 的中心. (1)求异面直线 PO3 与 O1O2 所成角的余弦值; (2)求 PO2 的长.

19.(本小题满分 12 分)双曲线 C 的中心在坐标原点,顶点为 A(0, 2),A 点关于一条渐近 线的对称点是 B( 2,0),斜率为 2 且过点 B 的直线 l 交双曲线 C 于 M,N 两点,求: (1)双曲线的方程; 解:(1)依题意可设双曲线方程为 - 2=1, 2 b 线段 AB 以中垂线 y=x 即渐近线,∴b =2,双曲线方程为 - =1. 2 2 (2)MN 的方程为 y=2(x- 2), y x ? ? 2 - 2 =1, ? ?3x2-8 2x+6=0. ?y=2?x- 2? ? ∴|MN|= 1+22|x1-x2|= 5 ·
2 2
2

(2)|MN|.

y2 x2

y2 x2

8 2 Δ=56>0,x1+x2= ,x1x2=2, 3

64×2 2 70 -8= . 9 3

20.(本小题满分 13 分)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,左右焦点分别为 F1 , F2 , 3 且 | F1 F2 |? 2 ,点(1, )在椭圆 C 上. 2 (1)求椭圆 C 的方程;

8

(2)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点,且 ?AF2 B 的面积为 解: (1)

12 2 ,求直线 l 的方程. 7

x2 y 2 ? ?1 4 3
2 4 y ? 1? 2 得 0 , 2 t( ? 3 2

2 ( 2设 ) l : x? t y ? 代入 1 3 x?

y4? )

ty ? 6 ? 9

0

6t ? y1 ? y2 ? 2 ? 12 t 2 ? 1 1 12 t 2 ? 1 12 2 ? 3t ? 4 ?? ,?| y1 ? y2 |? ,? S ? | F1 F2 || y1 ? y2 |? ? 2 7 3t 2 ? 4 3t 2 ? 4 ? y y ? ?9 1 2 2 ? 3t ? 4 ?
2 x ?? y1 ? 1? 0 ,故所求直线方程为: ? t 22 ? 1 1, ? 所求圆为? x ? 1? ? y 。 2

21、(本小题满分 14 分)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为 ( 3,0) (1) 求双曲线 C 的方程; (2) 若直线 l:y ? kx ? 2 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B, 且 OA ? OB ? 2 (其中 O 为原点),求 k 的取值范围。 解: (Ⅰ)设双曲线方程为

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

(a ? 0, b ? 0). 由已知得

a ? 3, c ? 2, 再由a 2 ? b 2 ? 22 , 得b 2 ? 1. 故双曲线 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3

x2 ? y 2 ? 1得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0. (Ⅱ)将 y ? kx ? 2代入 3 ?1 ? 3k 2 ? 0, ? 由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 ? 2 2 2 ? ?? ? (6 2k ) ? 36(1 ? 3k ) ? 36(1 ? k ) ? 0. 1 2 2 即 k ? 且k ? 1. ① 设 A( x A , y A ), B( x B , y B ) ,则 3 ??? ? ??? ? 6 2k ?9 xA ? xB ? , x x ? , 由 OA ? OB ? 2得x A xB ? y A yB ? 2, A B 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 而 xA xB ? yA yB ? xA xB ? (kxA ? 2)(kxB ? 2) ? (k 2 ?1) xA xB ? 2k ( xA ? xB ) ? 2
?9 6 2k 3k 2 ? 7 ? 2 k ? 2 ? . 于是 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 7 ?3k 2 ? 9 1 ? 2, 即 ? 0, 解此不等式得 ? k 2 ? 3. ② 2 2 3 3k ? 1 3k ? 1 1 3 3 ? k 2 ? 1. 由①、②得 故 k 的取值范围为 (?1, ? ) ? ( ,1). 3 3 3 ? (k 2 ? 1)

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