湖北省黄冈市黄梅县第二中学高中数学必修一:1-3-2函数的奇偶性1 精品

编号 7

函数的奇偶性
教学目标: 1、理解函数奇偶性的概念及其图象特征 2、学会判断函数的奇偶性 3、学会运用奇偶函数的图象及性质解决函数的一些问题 教学重点:函数奇偶性的概念及其图象性质特征 教学难点:函数的奇偶性的判断方法及其性质的简单应运 教学过程: 一、引入 同学们,在我们的生活中,有过许多美的感受也有很多审美观,给出幻灯片 (激发学生 对本节课的兴趣) 。今天我们就从数学中函数的角度来研究一下对

称美,如:圆、椭圆、双曲线、抛物线的图象,它们都具有对称性,但不是函数 的图象, 我们现在还没能力研究它,等到上了高二我们在圆锥曲线中自然会学到 (给学生一种憧憬,激发学生的学习动力和上进心) 。然后给出:
y ? x 2 , y ?| x |, y ? x 3 , y ? 1 1 , y ? x 2 ? 2 x ? 1, y ? 的图象, 它们都是函数的图象 x x ?1

我们有能力用函数的知识去研究它的对称性,今天我们只研究类似前四个函数: 图象有没有对称美?若对称,又关于什么对称??(板书课题:函数的奇偶性) 二、讲授新课 给出 y ? x 2 和y ?
y

1 的图象,引出奇偶函数的概念 x

f ( x) ? x 2

y

f ( x) ?

1 x

(? x0 , f (? x0 ))
o

( x0 , f ( x0 ))
o x

( x0 , f ( x )) x0

(? x0 , f (? x0 ))

图(1)

图(2)

观察上图不难发现:图(1)关于 y 轴对称,图(2)关于原点对称。而且任 意两个对 称点的共同特征是: 横坐标互为相反数。那么你能发现两个对称点的纵坐标 (函数值) f (? x0 ) 与 f ( x0 ) 的关系吗? 图(1) f (? x0 ) = f ( x0 ) ,图(2) f (? x0 ) = ? f ( x0 ) 如果我们把图象类似图(1)的函数命名为偶函数;图象类似图(2)的函数 命名为奇函数。 就可以给出奇函数和偶函数的定义: 1、偶函数:一般地,对于函数 f ( x) 的定义域内的任意一个 x , 都有 f (? x) ? f ( x) (或 f (? x) ? f ( x) ? 0 ) ,那么 f ( x) 就叫做偶函数。 偶函数的图象关于 y 轴对称,反过来,图象关于 y 轴对称函数,必是偶函数。 2、奇函数:一般地,对于函数 f ( x) 的定义域内的任意一个 x , 都有 f (? x) ? ? f ( x) (或 f (? x) ? f ( x) ? 0 ) ,那么 f ( x) 就叫做奇函数。 奇函数的图像关于原点对称,反过来,图像关于原点对称的函数,必是奇函 数。 那么,我们就可以利用定义或图象来判断一个函数的奇偶性 注意:由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于 定义域内的任意一个 。 x ,则 ? x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)

三、边讲边练 (一)熟悉定义 1、判断下列函数的奇偶性 ① f ( x) ? x 5
f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 2 |

② f ( x) ?

1 x2

③ f ( x) ? x

④ f ( x) ?

1 ?x x



⑥ f ( x) ? 1

⑦ f ( x) ?

x( x ? 1) x ?1

2、已知函数 y ? f ( x) 是奇函数,如果 f (a) ? 1,那么 f (?a) ? __________ 变式:设函数 f ( x) 是 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 x ? 3 ,则 f (?2) 等于( ) B.
11 4

A. ? 1

C.1

D. ?

11 4

3、已知 f ( x) 是偶函数,且在 x ? 0 处有定义,你能确定 f (0) 的值吗? 已知 f ( x) 是奇函数,且在 x ? 0 处有定义,你能确定 f (0) 的值吗?

(二) 、引伸提高 例 1 、 设 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 在 (??,0) 上 是 增 函 数 , 则 f (2) 与

f (a 2 ? 2a ? 3)(a ? R) 的大小关系是(
A. f (2) ? f (a 2 ? 2a ? 3) C. f (2) ? f (a 2 ? 2a ? 3)



B. f (2) ? f (a 2 ? 2a ? 3) D.与 a 的取值有关

变式练习、设函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数 ,且在区间 (??,0) 上是增函 数, 又 f (2a 2 ? a ? 1) ? f (3a 2 ? 2a ? 1) , 则 a 的 取 值 范 围 是 _______ 。

例 2、 已知 f ( x) 为偶函数,g ( x) 是奇函数,且 f ( x) ? g ( x) ? x 2 ? x ? 2 ,求 f ( x) 与

g ( x) 的解析式。

变式练习、已知 f ( x) 、 g ( x) 的定义域均为 R , f ( x) 为奇函数, g ( x) 为偶 函数,且

f ( x) ? g ( x) ? x 2 ? x ? 1 ,求 f ( x) 的解析式.
例 3、已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? ? 2x ? 1,那么 当 x ? 0 时, f ( x) 的解析式为 。

变式练习 1、已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, x ? 0 时,

f ( x) ? ? x 2 ? 2x ? 3 ,那么当 x ? 0
时, f ( x) 的解析式为 。

变式练习 2:(1) 求 f ( x) 的解析式;(2) 画出 y ? f ( x) 的图像;(3) 求出
f ( x) 的单调区间。

(如时间不够就作为课后练习)
?? x 2 ? 2 x ? 3,x ? ?0,? ? ? ? 0 ,x ? 0 解:(1) f ( x) ? ? ? x 2 ? 2 x ? 3,x ? ?? ?,0? ?

(2) 画图略.(3) 单调减区间为 ?? ?,? 1? , ?1,? ?? ;单调增区间为

?? 1,0? , ?0,1?.
四,课堂小结: 本节主要学习了函数的奇偶性,判断函数的奇偶性通常有两种方法,即定义 法和图象法, 用定义法判断函数的奇偶性时, 必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对 称。灵活运 用概念及图象特征解决一些函数问题。

讲后问效: 1.函数的奇偶性是函数的重要性质,学生能否正确理解函数的奇偶性概念, 灵活运用 奇偶性的概念和性质解决问题。 2.学生判断函数奇偶性易错的要点是不是课前备课所预料的。 3.下节课准备怎样的典型题目有针对性巩固本节课出现的问题。
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