2017高考(新课标)数学(文)二轮专题复习:攻略一第2讲分类讨论思想、转化与化归思想 Word版含解析

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攻略一

数学思想行天下

第 2 讲分类讨论思想、转化与化归思想
一、选择题 1. 等比数列{an}中, a3=7, 前 3 项之和 S3=21, 则公比 q 的值是( A.1 1 C.1 或- 2 1 B.- 2 1 D.-1 或 2 )

解析:当公比 q=1 时,a1=a2=a3=7,S3=3a1=21,符合要求.当 a1(1-q3) q≠1 时,a1q =7, =21, 1-q
2

1 解之得,q=- 或 q=1(舍去). 2 1 综上可知,q=1 或- . 2 答案:C x 2 y2 2.过双曲线 2- 2=1 上任意一点 P,引与实轴平行的直线,交两 a b → → 渐近线于 R,Q 两点,则PR·PQ的值为( A.a2 B.b2 C.2ab )(导学号 53130164) D.a2+b2

→ → 解析:当直线 PQ 与 x 轴重合时,|PR|=|PQ|=a. 答案:A 3.(2016· 全国Ⅰ卷)若 a>b>0,0<c<1,则( A.logac<logbc C.ac<bc B.logca<logcb D.ca>cb )

解析: 法一: ∵0<c<1, ∴y=logcx 在(0, +∞)单调递减, 又 0<b<a, ∴logca<logcb.
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数学学习资料 1 2 1 1 1 1 法二:取 a=4,b=2,c= ,则 log4 =- >log2 ,排除 A;4 = 2 2 2 2 1 2

?1? ?1? 2>2 ,排除 C;?2? <?2? ,排除 D. ? ? ? ?

4

2

答案:B

4.(2016· 广东联合体联考)函数 f(x)= ≥1 的 x 的取值范围为(
? 5? A.?1,3? ? ? ?5 ? B.?3,3? ? ? ? ? ? ?5 ? C.(-∞,1)∪?3,+∞? ?5 ? D.(-∞,1]∪?3,3? ?

则 f(x)

)

解析: 不等式 f(x)≥1 等价转化为 5 得 x≤1 或 ≤x≤3. 3





?5 ? ∴不等式 f(x)≥1 的解集为(-∞,1]∪?3,3?. ? ?

答案:D 5.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-3x, 则函数 g(x)=f(x)-x+3 的零点的集合为( A.{1,3} C.{2- 7,1,3} )

B.{-3,-1,1,3} D.{-2- 7,1,3}

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解析:令 x<0,则-x>0,∴f(-x)=(-x)2+3x=x2+3x.∵f(x)是 定义在 R 上的奇函数, ∴f(-x)=-f(x). ∴当 x<0 时, f(x)=-x2-3x.∴ 当 x≥0 时,g(x)=x2-4x+3.令 g(x)=0,即 x2-4x+3=0,解得 x=1 或 x=3.当 x<0 时,g(x)=-x2-4x+3.令 g(x)=0,即 x2+4x-3=0, 解得 x=-2+ 7>0(舍去)或 x=-2- 7. ∴函数 g(x)有三个零点,故其集合为{-2- 7,1,3}. 答案:D 二、填空题 6.若数列{an}的前 n 项和 Sn=3n-1,则它的通项公式 an= ________. 解析:当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n-1-(3n-1-1)=2×3n-1;当 n =1 时,a1=S1=2,也满足式子 an=2×3n-1, ∴数列{an}的通项公式为 an=2×3n-1. 答案:2×3n-1 7.AB 是过抛物线 x2=4y 的焦点的动弦,直线 l1,l2 是抛物线两条 分别切于 A,B 的切线,则 l1,l2 的交点的纵坐标为________. 解析:找特殊情况,当 AB⊥y 轴时,AB 的方程为 y=1,则 A(-2, 1),B(2,1),过点 A 的切线方程为 y-1=-(x+2),即 x+y+1=0.同 理,过点 B 的切线方程为 x-y-1=0,则 l1,l2 的交点为(0,-1).即 l1,l2 交点的纵坐标为-1. 答案:-1 8.若关于 x 的方程 9x+(4+a)· 3x+4=0 有解,则实数 a 的取值范 围是________. 解析:设 t=3x,则原命题等价于关于 t 的方程 t2+(4+a)· t+4=0 有正解.
? 4? 分离变量 a,得 a+4=-?t+ t ?, ? ?

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? 4? ∵t>0,∴-?t+ t ?≤-4, ? ?

∴a≤-8,即实数 a 的取值范围是(-∞,-8]. 答案:(-∞,-8] 三、解答题 9.(2016· 山西四校联考)设函数 f(x)=a|x-2|+x. (导学号 53130165) (1)若函数 f(x)有最大值,求 a 的取值范围; (2)若 a=1,求不等式 f(x)<|2x-3|的解集.

解:(1)f(x)= ∵f(x)有最大值, ∴1-a≥0 且 1+a≤0, 解得 a≤-1. (2)当 a=1 时, 不等式 f(x)<|2x-3|等价于|x-2|-|2x-3|+x>0. 令 g(x)=|x-2|-|2x-3|+x,

则 g(x)= 1 由 g(x)>0,解得 x> . 2
? ? 1? 故原不等式的解集为?x?x>2?. ? ? ? ? 7 ? 10. 已知二次函数 f(x)=ax2+2x-2a-1, 其中 x=2sin θ?0<θ≤6π?, ? ?

若二次方程 f(x)=0 恰有两个不相等的实数根, 求实数 a 的取值范围. (导 学号 53130166)
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? 7 ? 解:∵x=2sin θ?0< θ ≤6π?, ? ?

∴x∈-1,2], 因此原题可以转化为二次方程 ax2+2x-2a-1=0 在区间-1,2] 上恰有两个不相等的实数根. 由 y=f(x)的草图(如图所示),

? 3? 故实数 a 的取值范围为?-3,-2?. ? ?

11.已知函数 f(x)=x-ax(a>0,且 a≠1). (导学号 53130167) (1)当 a=3 时,求曲线 f(x)在点 P(1,f(1))处的切线方程; (2)若函数 f(x)存在极大值 g(a),求 g(a)的最小值. 解:(1)当 a=3 时,f(x)=x-3x. ∴f′(x)=1-3xln 3, ∴f′(1)=1-3ln 3,又 f(1)=-2, ∴所求切线方程为 y+2=(1-3ln 3)(x-1), 即 y=(1-3ln 3)x-3+3ln 3. (2)f′(x)=1-axln a, ①当 0<a<1 时,ax>0,ln a<0,∴f′(x)>0,
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∴f(x)在 R 上为增函数,f(x)无极大值. ②当 a>1 时,设方程 f′(x)=0 的根为 t,得 1 ln ln a 1 1 at= ,即 t=loga = , ln a ln a ln a ∴f(x)在(-∞,t)上为增函数,在(t,+∞)上为减函数, 1 ln ln a 1 ∴f(x)的极大值为 f(t)=t-at= - , ln a ln a 1 ln ln a 1 即 g(a)= - . ln a ln a ∵a>1, 1 ∴ >0. ln a 设 h(x)=xln x-x,x>0, 1 则 h′(x)=ln x+x· -1=ln x, x 令 h′(x)=0,得 x=1, ∴h(x)在(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数, ∴h(x)的最小值为 h(1)=-1, 即 g(a)的最小值为-1, 此时 a=e.

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