人教版高考数学一轮专项复习:数列题型11种(含解析)

数列题型 11 种 (方法+例题+答案) 1. 作差法求通项公式 2. 累乘法求通项公式 3. 累加法求通项公式 4. 构造法求通项公式(一) 5. 构造法求通项公式(二) 6. 取倒法求通项公式 7. 分组求和法求前 n 项和 8. 错位相减法求前 n 项和 9. 裂项相消法求前 n 项和 10. 数列归纳法与数列不等式问题 11. 放缩法与数列不等式问题 1 1、作差法求数列通项公式 S ,( n ? 1) 已知 S n ( a1 ? a2 ? ? ? an ? f (n) )求 a n , an ? S1 ? S ,(n ? 2) n n ?1 注意:分两步,当 n ? 2 时和 n ? 1 时 ? ? ? 一、例题讲解 a2 ? 3 . 1、 (2015 ? 湛江) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 Sn?1 ? Sn ?1 ? 2Sn ? 1 (n?2, , 且 a1 ? 2 , n ??? ) ?1? 求数列 ?an ? 的通项公式 ? 2、 (2015 ? 茂名)已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 ,且 2nSn?1 ? 2(n ? 1)S n ? n(n ? 1) ,(n ? N ) , ? 数列 {bn } 满足 bn? 2 ? 2bn?1 ? bn ? 0, (n ? N ) , b3 ? 5 ,其前 9 项和为 63 (1)求数列 {a n } 和 {bn } 的通项公式 3、 (2015 ? 中山)设等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且 a2 ? 8, S 4 ? 40, 数列 {bn } 的前 n 项和为 T n ,且 Tn ? 2bn ? 3 ? 0, n ? N ? 。 (1)求数列 {a n } , {bn } 的通项公式 4、 (2015 ? 揭阳)已知 S n 为数列 {a n } 的前 n 项和, S n ? nan ? 3n(n ? 1) , (n? N ) ,且 a 2 ? 11, (1)求 a 1 的值; (2)求数列 {a n } 的通项公式 ? 2 5、 (2014 ? 汕头)数列 ?a n ?中, a1 ? 1 , S n 是 ?a n ?前 n 项和,且 S n ? (1)求数列 ?a n ?的通项公式 S n?1 ? 1(n ? 2) 6、 (2014 ? 肇庆)已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且满足 a1 ? 2, nan?1 ? S n ? n(n ? 1) (1)求数列 {a n } 的通项公式 7、 (2014 ? 江门)已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n ? 2n ? 1,求数列 {a n } 的通项公式。 2 8、 (2014 ? 广州)已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,首项为 a 1 ,且 1 , a n , S n 成等差数列,求 {a n } 通项公式。 2 9、 (2013 ? 潮州)已知各项都不为零的数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? (1)求数列 {a n } 的通项公式 1 a n a n ?1 , (n ? N ? ) , a1 ? 1, 2 10、 (2015 ? 广州)已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且满足 a1 ? 1 , nS n ?1 ? (n ? 1) S n ? (1)求 a 2 的值; (2)求数列 {a n } 的通项公式 n(n ? 1) ,n? N? 2 3 参考答案: 题 1、解析: Sn?1 ? Sn ?1 ? 2Sn ? 1 ①, S n ? S n?2 ? 2S n?1 ? 1 ②,当 n ? 2 时,①-②得: an?1 ? an?1 ? 2an 且 a1 ? 2 ,? an ? n ? 1 ,当 n=1 时,也适合上式,故 an ? n ? 1 题 2、解析: 2nSn?1 ? 2nSn ? 2S n ? n(n ? 1) ① , 2nSn ? 2S n ? 2nSn?1 ? (n ? 1)n ② 当 n ? 2 时,①-②式: 2nan?1 ? 2nan ? 2n ,即 an?1 ? an ? 1 ,? an ? n ,当 n=1 时也符合上式; 因为 bn? 2 ?b1 ? 2d ? 5 ?b3 ? 5 ?b1 ? 3 ? ,? ? ,? ? ? 2bn?1 ? bn ? 0, 所以 {bn } 是等差数列,? ? 9?8 9b1 ? d ? 63 ?d ? 1 ?S 9 ? 63 ? 2 ? ? bn ? n ? 2 ?a1 ? d ? 8 ?a1 ? 4 ? 题 3、解析: ? 得? ,故: a n ? 4n ; Tn ? 2bn ? 3 ? 0, ① Tn?1 ? 2bn?1 ? 3 ? 0, ② 4?3 4a1 ? d ? 40 ?d ? 4 ? 2 ? 当 n ? 2 时,①-②式得: bn ? 2 ,且当 n ? 1 时, b1 ? 3 ,故 bn ? 3 ? 2 n?1 。 bn ?1 题 4、解析: (1)令 n=2, S 2 ? 2a2 ? 3 ? 2 ? (2 ? 1) , a1 ? 5 (2) S n ? nan ? 3n(n ? 1) ①, S n?1 ? (n ? 1)an?1 ? 3n(n ? 1)(n ? 2) ②,当 n ? 2 时,①-②得: an ? nan ? (n ? 1)an?1 ? 6n ? 6 ,即 an ? an?1 ? 6 ,故: an ? 6n ? 1 。 题 5、 解析: S n ? S n?1 ? 1, (n ? 2) , 故 S n ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n , 所以 S n ? n 当 n ? 2 时,①-②得: a n ? 2n ? 1 2 ①,S n?1 ? (n ? 1

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