高中数学_2.1.2指数函数及其性质(一)全册精品教案_新人教A版必修1

2.1.2
( 教学

指数函数及其性质(一)

教学内容 环节 1. 在本章的开头,问题(1)中时间 x 与 GDP 值中的 y ? 1.073 ( x ? x ? 20)
x

师生互动

设计意图

与问题(2)中时间t 和C-14含量P的对应关系
1 5 P=[( ) 30 ]t , 2
请问这两个函数有什么共同特征. 2. 这两个函数有什么共同特征
1

由实际 问题引入, 不仅能激发 学生的学习 学生思考回答函数的特征. 兴趣,而且 可以培养学 生解决实际 问题的能 力.

复习 引入

1 t 1 1 把P=[( )5730 ]变成P ? [( ) 5730 ]t ,从而得出这 2 2
两个关系式中的底数是一个正数,自变量为指数, 即都可以用 y ? a ( a >0且 a ≠1来表示).
x

形 成 概念

指数函数的定义 一般地,函数 y ? a ( a >0 且 a ≠1)叫做
x

由 特 殊到一般, 培养学生的

指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 回答:在下列的关系式中,哪些不是指数函

学生独立思考,交流讨论, 观察、 归纳、 教师巡视,并注意个别指导, 概 括 的 能

数,为什么? 力. (1) y ? 2
x?2

学生探讨分析, 教师点拨指
x

(2) y ? (?2) (3) y ? ?2 (4) y ? ?
x x

导.

使 学

用心

爱心

专心

1

(5) y ? x

2

生进一步理 解指数函数
2

(6) y ? 4 x (7) y ? x
x

的概念.

(8) y ? (a ? 1) 理 解 概念

x

( a >1,且 a ? 2 )

小结:根据指数函数的定义来判断说明:因 为 a >0,x 是任意一个实数时,a 是一个确定的 实数,所以函数的定义域为实数集 R.
x

?当x ? 0时,a x等于0 ? 若a ? 0, ? x ?当x ? 0时,a 无意义 ?
若 a <0,

1 1 如 y ? (?2) x , 先时,对于x= , x ? 等等,在实 6 8
数范围内的函数值不存在. 若 a =1, y ? 1 ? 1, 是一个常量,没有研究
x

的意义,只有满足

y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 的形式才能称为指数函
数, a为常数,
1

如: y=2-3x ,y=2x , y ? x x ,

y ? 3x ?5 , y ? 3x ? 1等等,不符合 y ? a x (a ? 0且a ? 1)的形式,

所以不是指数函数 .
我们在学习函数的单调性的时候,主要是根 深化 据函数的图象,即用数形结合的方法来研究. 下 概念 面我们通过 先来研究 y ? a ( a >1)的图象,
x

学生列表计算, 描点、 作图.

通过列

表、计算使 教师动画演示. 学生体会、 感受指数函 数图象的化
2

用计算机完成以下表格,并且用计算机画出
用心 爱心 专心

函数 y ? 2 的图象
x

学生观察、归纳、总结,教师诱 趋势,通过

x
y?2
x

?3.00
1 ?8

?2.50

?2.00
1 4

?1.50

导、点评.

描点,作图 培养学生的 动手实践能 力.

?1.00
1 2

0.00
1

0.50

1.00
2
x

1.50

2.00
4 不同情况进 行对照,使 学生再次经 历从特殊到 一般,由具

再研究先来研究 y ? a (0< a <1)的图象, 用计算机完成以下表格并绘出函数 y ? ( ) x 的图象.

1 2

x
1 y ? ( )x 2

?2.50 ?2.00 ?1.50 ?1.00 0.00
1 4 1 2

体到抽象的 思 维 过

1

程.培养学

1.00 1.50 2.00 2.50
2 4

生的归纳概 括能力.

从图中我们看出

1 y ? 2 x 与y ? ( ) x的图象有什么关系? 2
通过图象看出
用心 爱心 专心 3

1 y ? 2 x 与y ? ( ) x的图象关于y轴对称, 实 2
质是 y ? 2 上的 点(-x, y )
x

1 与y=( )x上点(-x, y )关于y轴对称. 2 1 讨论: y ? 2 x 与y ? ( ) x 的图象关于 y 轴对 2
称,所以这两个函数是偶函数,对吗? ②利用电脑软件画出

1 1 y ? 5 x , y ? 3x , y ? ( ) x , y ? ( ) x 的 函 数 图 3 5
象.
8

6

0

4

2

-10

-5

5

10

-2

-4

-6

-8

问题:从画出的图象中,你能发现函数的图 象与底数间有什么样的规律. 从图上看 y ? a ( a >1)与 y ? a
x ?x

两函数图

象的特征——关于 y 轴对称.

学生思考、解答、交流,教 师巡视,注意个别指导,发现带 例 1: 66 例 6) (P 已知指数函数 f ( x) ? a ( a
x

巩固所学知 识,培养学 生的数形结 合思想和创

有普遍性的问题, 应及时提到全

应用 > 0 且 a ≠1 ) 的 图 象 过 点 ( 3 , π ) 求 体学生面前供大家讨论. , 举例 f (0), f (1), f (?3)的值. 例 1 分析:要求

f (0), f (1), f (?3)的值, 新能力.

只需求出a, 得出f(x)=(? 3 )x ,

1

用心

爱心

专心

4

再把 0,1,3 分别代入 x ,即可 求得 f (0), f (1), f (?3). 解:将点(3,π ) ,代入

f ( x) ? a x
得到 f (3) ? ? , 即a ?? ,
3

解 得 : a ??3 , 于 是

1

f ( x) ? ? ,
所以 f (0) ? ? ? 1 ,
0

x 3

f (0) ? ? 3 ? 3 ? ,
f (?3) ? ? ?1 ?
1、理解指数函数 y ? a (a ? 0),
x

1

1

?

.

通过师 生的合作 总结, 使学 生对本节

注意a ? 1与0 ? a ? 1两种情况

归纳 总结

学生先自回顾反思, 教师点 课 所 学 知 评完善. 识的结构 有一个明 2、解题利用指数函数的图象,可有利于清晰 地分析题目,培养数型结合与分类讨论的数学思 想 . 晰的认识, 形成知识 体系.

课后 作业:2.1 第四课时 习案 作业

学生独立完成

巩固新知 提升能力

备选例题
例 1 指出下列函数哪些是指数函数:
用心 爱心 专心 5

?1? y?? ? ?3?

x

(1) y ? 4 ;
x

(2) y ? x ;
4 x

(3) y ? ?4 x ; (4) y ? (?4) ; (5) y ? ? ; (6) y ? 4x ;
x 2

(7) y ? x ;
x

(8) y ? (2a ? 1) x (a ?

1 , 且 a ? 1) . 2

【分析】 根据指数函数定义进行判断. 【解析】 (1)(5)(8)为指数函数; 、 、 (2)是幂函数(后面 2.3 节中将会学习) ; (3)是 ? 1与指数函数 4 x 的乘积; (4)底数 ? 4 ? 0 ,?不是指数函数; (6)指数不是自变量 x ,而底数是 x 的函数; (7)底数 x 不是常数. 它们都不符合指数函数的定义. 【小结】准确理解指数函数的定义是解好本问题的关键.

用心

爱心

专心

6


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