中学数学“合情推理”探讨

中学数学“合情推理”探讨 【摘 要】新的数学课程标准认为:学生应”经历观察、实验、 猜想、证明等数学活动,发展合情推理能力和初步的演绎推理能 力”。可见数学对发展推理能力的作用。但是,长期以来数学教学 注重采用“形式化”的方式发展学生的论证推理能力,忽视了合情 推理能力的培养。 【关键词】合情推理;归纳推理能力;类比推理能力 长期以来在数学传统的教育教学对“合情推理”不够重视,长 期以来数学教学注重采用“形式化”的方式发展学生的论证推理能 力,忽视了合情推理能力的培养。哪么什么是合情推理?所谓合情 推理(plausible reasoning)又称似真推理,是一种合乎情理的、 好像为真的推理。它的清晰程度不能与论证推理相比,它没有固定 的逻辑标准,并且只是笼统的,通人情的,是与个人的情绪、爱好、 知识等主观因素有关的一种推理。新的数学课程标准认为:学生 应”经历观察、实验、猜想、证明等数学活动,发展合情推理能力 和初步的演绎推理能力”。可见数学对发展推理能力的作用。本文 就是我在多年的教学中对合情推理的一些认识。 一、数学课程中学生的不合逻辑的“合情推理” 1.教学中不合逻辑现象的存在 在平时的教学活动中我们经常碰到类似这样的情况: 如:在探索三角形相似的条件时,有这样一个条件:两边对应 成比例且夹角相等的两个三角形相似。在课本的想一想部分,提出 这样一个条件和上面的条件差不多要学生去判断:如果这个角是这 两条边中其中一条边的对角时是不是条件仍然成立? 学生在操作过程都得出了自己的答案,但答案却出现两种,一 种是相似,另一种却是不相似。而且各自的理由都充分。 其实产生这样结果的根源在于学生在实际的操作中把那个角画 的位置不同 如下图: 产生这样的结果并不能一下子评判谁对谁错,因为夹杂的因素 都是有理的。 2.产生不合逻辑现象的原因 产生类似于这种现象的原因大体是因为每个学生所处的文化环 境、社会背景、家庭背景和个体思维方式的不同,因此学生在课堂 学习活动中的表现也不尽相同。面对这看似不合逻辑、不合常规, 却又合情合理的推断,我们不禁产生了困惑:这样的推理该不该提 倡?是按传统“形式化”的方式发展学生的论证推理能力,还是引 导学生发展提倡这种近似不合逻辑的“合情推理”。 二、为什么发展学生合理推理 数学家波利亚(g.polya)指出:“论证推理是可靠的、无可置 疑的和终决的。合情推理是冒风险的、有争议的和暂时的”。首先, 是实施新课标的需要。《数学课程标准》中明确:归纳和类比是合 情推理的主要形式,并指出:第一学段“初步学会选择有用的信息 进行简单的归纳和类比”,第二学段“进行归纳、类比与猜测,发 展初步的合情推理能力”,第三学段“体会证明的必要性,发展初 步的演绎推理能力”。其目的是有序地培养学生的推理能力,但中 学阶段以发展初步的演绎推理能力为主。其次,是由学生的认知特 点决定的。鉴于中学生的年龄与认知特点,他们不可能通过具有严 格标准的逻辑推理来发现和掌握数学原理和概念。因此,在中学数 学教材中大量地采用了像数学猜想、枚举归纳、类比迁移等合情推 理的方法。再次,是学生学习数学的过程要求。数学家波利亚 (g.polya)说过:“数学家的创造性工作成果是论证推理,即证明; 但是这个证明是通过合情推理,通过猜想而发现的。只要数学的学 习过程稍能反映出数学发明过程的话,那么应当让猜测、合情推理 占有适当的位置。” 三、如何发展学生合情推理 既然学生这种不合逻辑的“合情推理”是要引导和开发利用的, 那学生合情推理能力我认为就应该从以下几个方面去发展! 1.从特殊到一般,发展学生的归纳推理能力 把某类事物中个别事物所具有的规律作为该类事物的普遍规 律,这种思维过程中由特殊到一般的推理称为归纳推理或称归纳 法。这是一种从个别到一般、从实验事实到理论的一种寻找真理和 发现真理的手段。 在教学法则、定律、公式、结语及解题时经常要进行归纳推理, 而且一般用的是不完全归纳法,用不完全归纳法得出的结论不一定 正确,还有待严格的证明。但是,不完全归纳法比较适合中学生的 年龄特点,易于接受。因此,在中学数学教学中经常应用这种形式 的推理。 (一)总结规律。如: 按下图方式摆放桌子和椅子: ………………………… 从中发现规律:每增加一张桌子就要增加四张椅子。所以摆 n 张桌子就有 4n+2 个位子。 (二)概括特征。如: 1 的平方就是求 1×1 2 的平方就是求 2×2 3 的平方就是求 3×3 4 的平方就是求 4×4 5 的平方就是求 5×5 …………………… 由此得出:一个数的平方就是等于这个与它本身相乘! (三)归纳。 如: ①■=2■,■=3■,■=4■,…… 若■=6■(a、b 均为实数),请推测 a= 、b= 由此我们可以很容易的推测出 a=6、b=35 ②已知 1=12,1+3=22,1+3+5=32 由此你能得出什么结论? 由此我们可以得出:1+3+5+7+……+(2n-1)=n2 其实我们还可以利用归纳推理总结数量关系,归纳定理、推出 公式等等。教学中要有计划地培养学生的归纳能力,对于中学生来 说,要以丰富的感性材料入手,先由教师讲解归纳的过程,逐步过 渡到在教师引导学生对简单问题进行简单的归纳。 2.从特殊到特殊,发展学生的类比推理能力 类比推理是根据两个不同的对象的某些方面(如特性、属性、 关系等)相同或相似,推出它们在其他方面也可能相同或相似的思 维形式,它是思维进程中由特殊到特殊的推理。这也是一种寻找真 理和发现真理的基本而重要的手段。 在数学思维活动中,类比的表现形式是多种多样的。通常可分 为简单的类比与复杂的类比两类。简单的类比即形式的类比。如由 “在分数上规定分母不能为零”,类比推出“分式的分母不能为零”。 复杂的类比即实质的类比,这种类比能拓宽学生的知识面,引导他 们挖掘数量间隐藏着的内在联系,掌握数量间可能引起的变化规 律。如下图: p 为 ab 的黄金分割点,请你用面积的方法

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