数列解题方法__高考复习

曲靖师范学院

王袁芳

18987404961

解题技巧(数列) 解题技巧(数列)
一,典型例题解答示范
例 1.在等差数列中 a 6 + a9 + a12 + a15 = 20 求 S 20 解法一

Q a n = a1 + ( n 1)d



a 6 + a 9 + a12 + a15 = (a1 + 5d ) + (a1 + 8d ) + (a1 + 11d ) + (a1 + 14d ) = 2(2a1 + 19d ) = 20
那么 S 20 =

∴ 2a1 + 19d = 10

20( a1 + a 20 ) = 10(2a1 + 19d ) = 100 2

解法二 由 m + n = p + q a m + a n = a p + a q

Q a6 + a9 + a12 + a15 = 2( a 6 + a15 ) = 2(a1 + a 20 ) = 20
【方法点评】 ⑴在等差数列中,由条件不能具体求出 a1 和 d,但可以求出 a1 与 d 的组合 式,而所求的量往往可以用这个组合式表示,那么用"整体代值"的方法将值求出; ⑵ 利用 m + n = p + q a m + a n = a p + a q 将所求量化为已知量也是"整体代值"的思 想,它比用 a1 和 d 表示更简捷. 例 2.等差数列前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为 解法一 用方程的思想,由条件知

( a1 + a m )m = 30 2 ( a1 + a 2 m )2m = 100 2



( a1 + a m )m = 60 ( a1 + a 2 m )m = 100

① ②

∵ a m , a 2 m , a 3m 成等数列 ∴ S 3m =

3m 3 (a1 + a 3m ) = m(a1 + 2a 2 m a m ) 由②Χ2-①得 2 2 3 m(a1 + a 2m a m ) = 140 代入 S 3m = × 140 = 210 2

解法二 在等差数列中由性质知 S m , S 2m S m , S 3m S 2 m 成等差数列

∴ S 3m S 2 m = 2( S 2 m S m ) S m
解法三 等差数列 {a n } 中Q S n = a1n +

∴ S 3m = 3( S 2 m S m ) = 210 1 n ( n 1)d 2 ∴ Sn d = a + ( n 1) n 2

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S d 即 { n } 为以 a1 为首项公差为 的等差数列 n 2
依题意条件知

S Sm S , 2 m , 3 m 成等差 m 2m 3m
∴ S 3m = 3( S 2 m S m ) = 210

∴2×

S 2 m S 3m S m = + 2m 3m m

【方法点评】 三种解法从不同角度反映等差数列所具有的特性,运用方程的方法,性质或 构造新的等差数列都是数列中解决问题的常用方法且有价值,对解决某些问题极为方便. 例 3 在等比数列中 S5 = 93

a 2 + a 3 + a 4 + a5 + a6 = 186 ,求 a8

. 分析 在等比数列中对于 a1 q n a n S n 五个量一般"知三求二" 解法一 Q a 2 + a3 + a 4 + a5 + a6 = 186

∴ S 5 + a6 = a1 + 186

∴ a6 = a1 + 9 3

∴ a1 q 5 = a1 + 9 3

a1 a1 + 93 = 93 q = 2 1 q

a a1q 5 又 S5 = 1 = 93

1 q
7

a1 = 3

则 a8 = a1 q = 384 解法二

Q S5 = 93 而

a 2 + a3 + a 4 + a5 + a6 = ( a1 + a 2 + a3 + a 4 + a5 )q = 186
中得 a1 = 3

∴ q = 2 代入

a1 (1 q 5 ) = 93 1 q
7

故 a8 = a1 q = 384 【方法点评】 根据等比数列定义运用方程的方法解决数列问题常用解法二更为简捷.

二,方法提炼
(错位相减法)例 1 求和: S n = 1 + 3 x + 5 x + 7 x + + ( 2n 1) x
2 3 n 1

………………①
n 1

解:由题可知,{ ( 2n 1) x n 1 }的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{ x 积 设 xS n = 1x + 3 x + 5 x + 7 x + + ( 2n 1) x ……. ②(设制错位)
2 3 4 n

}的通项之

①-②得 (1 x ) S n = 1 + 2 x + 2 x + 2 x + 2 x + + 2 x
2 3 4

n 1

(2n 1) x n (错位相减)

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再利用等比数列的求和公式得: (1 x) S n = 1 + 2 x

1 x n 1 (2n 1) x n 1 x

(错位相减法)例 2 求数列 解:由题可知,{

2 4 6 2n , 2 , 3 , , n , 前 n 项的和. 2 2 2 2

2n 1 }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ n }的通项之积 n 2 2 2 4 6 2n 设 S n = + 2 + 3 + + n ………………① 2 2 2 2 1 2 4 6 2n S n = 2 + 3 + 4 + + n +1 ………………②(设制错位) 2 2 2 2 2 1 2n 1 2 2 2 2 2 2n ①-②得 (1 ) S n = + 2 + 3 + 4 + + n n +1 (错位相减) = 2 n 1 n +1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n+2 ∴ S n = 4 n 1 2
2 o 2 o 2 o 2 o 2 o

(反序相加法)例 3 求 sin 1 + sin 2 + sin 3 + + sin 88 + sin 89 的值 解:设 S = sin 1 + sin 2 + sin 3 + + sin 88 + sin 89 …①
2 o 2 o 2 o 2 o 2 o

将①式右边反序得

S = sin 2 89 o + sin 2 88 o + + sin 2 3o + sin 2 2 o + sin 2 1o …②(反序)
又因为 sin x = cos(90o x ), sin 2 x + cos 2 x = 1 ①+②得(反序相加)

2 S = (sin 2 1o + cos 2 1o ) + (sin 2 2 o + cos 2 2 o ) + + (sin 2 89 o + cos 2 89 o ) =89
∴ S=44.5 求数列的前 n 项和: 1 + 1,

(分组求和法) 例 4

1 1 1 + 4, 2 + 7, , n 1 + 3n 2 ,… a a a 1 1 1 解: S n = (1 + 1) + ( + 4) + ( 2 + 7) + + ( n 1 + 3n 2) 设 将其每一项拆开再重新组 a a a S n = (1 +

合得

1 1 1 + 2 + + n1 ) + (1 + 4 + 7 + + 3n 2) (分组) a a a (3n 1)n (3n + 1)n 当 a=1 时, S n = n + = (分组求和) 2 2 1 1 n 1 n a + (3n 1)n = a a + (3n 1)n 当 a ≠ 1 时, S n = 1 2 a 1 2 1 a

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(裂项求和法)例 5 求数列

1 1+ 2

,

1 2+ 3

, ,

1 n + n +1

, 的前 n 项和.

解:设 a n =

1 n + n +1 1 + 1

= n +1 n 1

(裂项)

则 Sn =

1+ 2

2+ 3

+ +

n + n +1

(裂项求和)

= ( 2 1) + ( 3

2 ) + + ( n + 1 n ) = n + 1 1

(裂项求和法)例 6 在数列{an}中, an = 数列{bn}的前 n 项的和. 解: a n = ∵

1 2 n 2 + + + ,又 bn = ,求 n +1 n +1 n +1 a n a n+1
∴ bn =

1 2 n n + + + = n +1 n +1 n +1 2

2 1 1 = 8( ) n n +1 n n +1 2 2

(裂

项)
∴ 数列{bn}的前 n 项和

1 1 1 1 1 1 1 1 8n S n = 8[(1 ) + ( ) + ( ) + + ( )](裂项求和)= 8(1 )= 2 2 3 3 4 n n +1 n +1 n +1
(合并法求和)例 7 数列{an}: a1 = 1, a2 = 3, a3 = 2, an + 2 = an +1 an ,求 S2002.

解:设 S2002= a1 + a 2 + a3 + + a 2002 由 a1 = 1, a 2 = 3, a3 = 2, a n + 2 = a n +1 a n 可得

a 4 = 1, a 5 = 3, a 6 = 2, a 7 = 1, a8 = 3, a9 = 2, a10 = 1, a11 = 3, a12 = 2,
……

a 6 k +1 = 1, a 6 k + 2 = 3, a 6 k +3 = 2, a 6 k + 4 = 1, a 6 k +5 = 3, a 6 k + 6 = 2

∵ a 6 k +1 + a 6 k + 2 + a 6 k +3 + a 6 k + 4 + a 6 k + 5 + a 6 k + 6 = 0 (找特殊性质项) ∴S2002= a1 + a 2 + a3 + + a 2002

(合并求和)

= ( a1 + a 2 + a 3 + a 6 ) + ( a 7 + a8 + a12 ) + + ( a 6 k +1 + a 6 k + 2 + + a 6 k + 6 )

+ + (a1993 + a1994 + + a1998 ) + a1999 + a 2000 + a 2001 + a 2002

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= a1999 + a 2000 + a 2001 + a 2002 = a 6 k +1 + a 6 k + 2 + a 6 k + 3 + a 6 k + 4 =5 (合并法求和)例 8 在各项均为正数的等比数列中,若 a 5 a 6 = 9, 求 log 3 a1 + log 3 a 2 + + log 3 a10 的值. 解:设 S n = log 3 a1 + log 3 a 2 + + log 3 a10 由等比数列的性质 m + n = p + q am an = a p aq (找特殊性质项) 和对数的运算性质 log a M + log a N = log a M N 得

S n = (log 3 a1 + log 3 a10 ) + (log 3 a 2 + log 3 a9 ) + + (log 3 a 5 + log 3 a 6 ) (合并求和)
= (log 3 a1 a10 ) + (log 3 a 2 a 9 ) + + (log 3 a5 a 6 ) = log 3 9 + log 3 9 + + log 3 9 =10 (通项公式法)例 9 求 1 + 11 + 111 + + 111 3 之和. 12 1
n个1

解:由于 111 1 = 123
k个1

1 1 × 999 49 = (10 k 1) 1 23 9 4 9 k个1
n个1

(找通项及特征)

∴ 1 + 11 + 111 + + 111 3 12 1 =

1 1 1 1 1 (10 1) + (10 2 1) + (10 3 1) + + (10 n 1) (分组求和) 9 9 9 9

=

1 1 1 (10 + 10 2 + 103 + + 10 n ) (1 +4 1 +4 + 1) 1+2 3 9 9 1 4个1 4 n

=

1 10(10 n 1) n 9 10 1 9

=

1 (10 n +1 10 9n) 81


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