高一下(12)正弦定理、余弦定理、解斜三角形

高一数学正 弦 定 理 、 余 弦 定 理 、 解 斜 三 角 形
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,请将所选答案填在括号内) 1.在△ABC 中, tan A ? sin B ? tan B ? sin A ,那么△ABC 一定是
2 2





A.锐角三角形 C.等腰三角形

B.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 ( )

2.在△ABC 中, a ? 4 sin 10?, b ? 2 sin 50?, ?C ? 70? ,则 S△ABC=

1 1 B. 8 4 sin A cos B cos C ? ? 3.若 则△ABC 为 a b c
A.

C.

1 2

D.1 ( )

A.等边三角形 B.等腰三角形 C.有一个内角为 30°的直角三角形 D.有一个内角为 30°的等腰三角形 4.边长为 5、7、8 的三角形的最大角与最小角之和的 ( A.90° B.120° C.135° D.150° 5.设 A 是△ABC 中的最小角,且 cos A ? A.a≥3 B.a>-1



a ?1 ,则实数 a 的取值范围是 a ?1
C.-1<a≤3 D.a>0





6.△ABC 中,∠A,∠B 的对边分别为 a,b,且∠A=60°, a ?

6, b ? 4 ,那么满足条件
( ( ) )

的△ABC A.有一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定 7.已知△ABC 的周长为 9,且 sin A : sin B : sin C ? 3 : 2 : 4 ,则 cosC 的值为 A. ?

1 4

B.

1 4

C. ?

2 3

D.

2 3
( )

8.锐角△ABC 中, sin( A ? B) ? P, sin A ? sin B ? Q, cos A ? cos B ? R ,则 A.Q>R>P B.P>Q>R C.R>Q>P D.Q>P>R

9.△ABC 的内角 A 满足 sin A ? cos A ? 0, 且 tan A ? sin A ? 0, 则 A 的取值范围是( A. (0,



? ) 4
2

B. (

? ? , ) 4 2

C. (
2

? 3 , ?) 2 4

D. (

? 3 , ?) 4 4


10.关于 x 的方程 x ? x ? cos A ? cos B ? cos A.等腰三角形 B.直角三角形

C ? 0 有一个根为 1,则△ABC 一定是( 2
D.钝角三角形 )

C.锐角三角形

11.在△ABC 中, sin A : sin B : sin C ? 2 : 6 : ( 3 ? 1) ,则三角形最小的内角是(

A.60° B.45° C.30° D.以上都错 12.有一长为 1 公里的斜坡,它的倾斜角为 20°,现要将倾斜角改为 10°,则坡底要伸长 ( ) A.1 公里 B.sin10°公里 C.cos10°公里 D.cos20°公里 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分,答案填在横线上) 13.在△ABC 中,a+c=2b,A-C=60°,则 sinB= . 14.在△ABC 中,已知 AB=l,∠C=50°,当∠B= 时,BC 的长取得最大值.
-1-

15.在△ABC 中,已知 AB=4,AC=7,BC 边的中线 AD ?

7 ,那么 BC= 2

.

16.△ABC 的三个角 A<B<C,且成等差数列,最大边为最小边的 2 倍,则三内角之比为 . 三、解答题(本大题共 74 分,17—21 题每题 12 分,22 题 14 分) 17.在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,设 a+c=2b,A-C=

? ,求 sinB 的值. 3

18.设三角形各角的余切成等差数列,求证:相应各边的平方也成等差数列.

19.在△ABC 中,BC=a,AC=b,AB=c,且 tan

A? B a?b ? ,试判断△ABC 的形状. 2 a?b

20.设△ABC 的三边长分别为 a、b、c,求证:

a 2 ? b 2 sin( A ? B) ? . sin C c2

21.已知 A、B、C 成等差数列,求 tan

A C A C ? tan ? 3 tan ? tan 的值. 2 2 2 2

-2-

参考答案(12)
一、1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.C 7.A 8.A 9.C 10.A 11.B 12.A

二、13.

39 8

14.40°

15.9 16.1:2:3

三、17.∵ 2 R sin

A ? 2 R sin C ? 2 ? 2 R sin B ,

∴ cos

B A?C B B ? cos ? 2 ? sin ? cos , 2 2 2 2

故 sin

B 3 ? 2 4



∴ sin B

?

39 . 8
b

18.∵ 2cot B ? cot A ? cot C,

( )2 2 2 2 ?2cos B ? sin 2 B / sin A ? sin C, 故 2(a ? c ? b ) ? 2 R , 2ac a c ? 2R 2R

∴a2+b2=2b2

,故得证.

19.△ABC 是等腰三角形或直角三角形

20.

a 2 ? b 2 sin 2 A ? sin 2 B cos 2 B ? cos 2 A sin C ? sin( A ? B) sin( A ? B) ? ? ? ? . sin C c2 sin 2 C 2 sin 2 C sin 2 C
A+C=2B , ∴A+C=

21.∵A+B+C=π ,

2 ? 3



t an

A?C ? 3, 2

A C A C ? tan ? 3 (1 ? tan ? tan ) , 2 2 2 2 A C A C ? tan ? 3 tan ? tan ? 3 . 故有 tan 2 2 2 2 tan
22.如图:设接球点为 B,O 为守垒,A 为游击手出发点

OB AB ? , sin ?OAB sin 15?
sin ?OAB ? OB ? sin15? AB vt 6 ? 2 ? ? ? 6 ? 2 ? 1, vt 4 4

故不能接着球.

-3-


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