山东省德州市某中学2014-2015学年高二数学下学期6月月考试题 理

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数学月考试题
一、选择题 1.函数 y ? (A) ( ??, )

log 1 (4 x ? 3) 的定义域为
2

3 4

(B) (??,1]

(C) ( ,1]

3 4

(D) ( ,1)

3 4

2 .设 f ? x ? 为可导函数,且满足 lim

y

x ?0

f ? x ? ? f ?1 ? 2 x ? ? ?1 ,则过曲线 y ? f ? x ? 上点 2x

?1, f ? 1?? 处的切线斜率为
A.2 3.复数 z= A.i+2 B.-1 C.1 ( D.2+i ) D.-2

5 的共轭复数是 i?2
B.i-2 C.-2-i

4.设函数 y ? f ( x) 在 (??, ??) 内有定义,对于给定的正数 K,定义函数

? f ( x), f ( x) ? K , f K ( x) ? ? ? K , f ( x) ? K .
取函数 f ( x) ? 2 A. ( ??, 0)
?x

。当 K =

1 时,函数 f K ( x) 的单调递增区间为 2
C. (??, ?1) D. (1, ??)

B. (0, ??)

?2 x , 5.已知函数 f ( x) ? ? ?log2 x,
A. [ ?2,1] B. [4 2 ,??)

x?0 x?0

,若 f [ f ( x)] ? ?2 ,则 x 的取值范围是( D. [0,1] ? [4 2 ,??)



C. [?2,1] ? [4 2 ,??)

6.定义域为 R 的函数 f ( x) 对任意的 x 都有 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,且其导函数 f ?( x) 满足:

f ?( x) ? 0 ,则当 2 ? a ? 4 时,下列成立的是 2? x
A. f (log2 a) ? f (2) ? f (2 )
a a

( B. f (2 ) ? f (log2 a) ? f (2) D. f (log2 a) ? f (2 ) ? f (2)
a



C. f (2 ) ? f (2) ? f (log2 a)
a

7. f (x) 是 R 上的可导函数, 且f (x) + x f ?( x ) >0 对 x∈R 恒成立, 则下列恒成立的是 ( A.f(x)>0 B.f(x)<0 C.f(x)>x D.f(x)<x (



8.已知随机变量 X 服从二项分布 X~B(6, ) ,则 P(X=2)等于

1 3



1

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com A.

13 16

B.

4 243

C.

13 243

D.

80 243

9.如图所示的五个区域中,现有四种颜色可供选择.要求每一个区域只涂一种颜色,相邻 区域所涂颜色不同,则不同的涂色方法种数为 ( )

A.24 种 B.48 种 C.72 种 D.96 种 10.将分别写有 A,B,C,D,E,F 的 6 张卡片装入 3 个不同的信封里中.若每个信封装 2 张,其中写有 A,B 的卡片装入同一信封,则不同的方法共有 ( ) A.12 种 B.18 种 C.36 种 D.54 种 11.已知盒中装有大小一样,形状相同的 3 个白球与 7 个黑球,每次从中任取一个球并不放 回,则在第 1 次取到的白球条件下,第 2 次取到的是黑球的概率为 ( ) A. 3 B. 2

10

9

C. 7 8

D. 7

9

12.用数学归纳法证明不等式:

1 1 1 13 ? ? ?? ? ? ( n ? 1, n ? N ) ,在证 n ?1 n ? 2 2n 24


明 n ? k ? 1 这一步时,需要证明的不等式是(

1 1 1 13 ? ?? ? ? A. k ?1 k ? 2 2k 24 1 1 1 1 13 ? ?? ? ? ? B. k ?1 k ? 3 2k 2k ? 1 24 1 1 1 1 13 ? ?? ? ? ? C. k ?2 k ?3 2k 2k ? 1 24 1 1 1 1 1 13 ? ?? ? ? ? ? D. k ?2 k ?3 2k 2k ? 1 2k ? 2 24
13.复数 z 满足 z.(1 ? 2i) ? 4 ? 3i , 则 z 等于 (A)2-i (B)2+i (C)1+2i (D)1-2i

二、填空题 14.已知函数 f ( x) ?

2 ? ax (a ? 1) 若 f ( x)在?0,1? 上是减函数,则实数 a 的取值范围是 a ?1

15.不等式 x ? 1 ? x ? 3 > a ,对一切实数 x 都成立,则实 数 a 的取值范围是 16 . 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 (0, ?? ) 上 的 增 函 数 , 且 对 任 意 正 实 数 x , y , 都 有

f ( x y) ? f ( x ? )
(1) f (1) ?

f ( 成立 y) .则:

2

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (2)不等式 f (log2 x) ? 0 的解集是____________. 17.已知 f ? x ? ? x ? px ? q 和 g ? x ? ? x ?
2

4 ? 5? 是定义在 A ? ? x 1 ? x ? ? 上的函数,对任 x 2? ?

意的 x ? A ,存在常数 x0 ? A ,使得 f ? x ? ? f ? x0 ? , g ? x ? ? g ? x0 ? ,且 f ? x0 ? ? g ? x0 ? , 则 f ? x ? 在 A 上的最大值为 18.设函数 f ( x) 在 .

上存在导数 f ?( x ) , ?x ? R ,有 f (? x) ? f ( x) ? x2 ,

在 (0, 上 f ?( x) ? x , 若 f (4 ? m) ? f (m) ? 8 ? 4m , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 ? ?) _____________. 19.已知 ? ? B(n, p), E? ? 3, D(2? ? 1) ? 9 ,则 p 的值是 三、解答题 20.已知定义在 R 上的函数 f ( x) ,对于任意实数 x,y 都满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) , 且当 x ? 0时, f ( x) ? 0. 试判断函数的奇偶性与单调性,证明你的结论.

21.已知函数 f ( x) ?

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2 ln x(a ? R) . 2

(1)求 f ( x) 的单调区间; (2)设 g ( x) ? x ? 2 x ,若对任意 x1 ? (0, 2] ,均存在 x2 ? (0, 2] ,使得 f ( x1 ) < g ( x2 ) ,
2

求 a 的取值范围.

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22. (本小题满分 14 分) 某公司经销某产品, 第 x 天 (1≤ x ≤ 30, x ? N* ) 的销售价格为 p ? a + x ? 20( a 为常数) (元 ∕件) , 第 x 天的销售量为 q ? 50 ? x ? 16 (件) , 且公司在第 18 天该产品的销售收入为 2016 元. (1)求该公司在第 20 天该产品的销售收入是多少? (2)这 30 天中该公司在哪一天该产品的销售收入最大?最大收入为多少?

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23. (本小题满分 10 分) 已知 f ( x) ? (1 ? x) m ? (1 ? 3x) n ( m、n ? N )的展开式中 x 的 系数为 11. (1)求 x 2 的系数的最小值; (2)当 x 的系数取得最小值时,求 f ( x) 展开式中 x 的奇次幂项的系数之和.
2

?

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24. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的不恒为零的函数, 且对于任意的 a 、

f (2 ? n ) 1 b ∈R,都满足 f (a ? b) ? af (b) ? bf (a) ,若 f ( ) =1, a n ? . 2 n
(1)求 f ( ) 、 f ( ) 、 f (

1 4

1 8

1 ) 的值; 16

(2)猜测数列 ?an ? 通项公式,并用数学归纳法证明.

6

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25. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ex ? kx,x ? R . (1)若 k ? e ,试确定函数 f ( x) 的单调区间; (2)若 k ? 0 ,且对于任意 x ? R , f (| x |) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (3)设函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ,求证: F (1) F (2)? F (n) ? (e 数学参考答案 1.C 【解析】略 2.B 【解析】lim
x ?0

n ?1

? 2) 2 (n ? N? ) .

n

f ?1? ? f ?1 ? 2 x ? f ?1 ? 2 x ? ? f ?1? ? lim ? ?1 , 即 y' x ?0 2x 2x

x ?1

则 y ?? f x ? ?1 , ?

?

在点 1, f ?1? 处的切线斜率为-1,故选 B。 3. C 【解析】 z ? 4.C 【解析】函数 f ( x) ? 2
?x

?

?

5 5( i? 2) ? ? ?2 ? i i ? 2 (i ? 2 )i(? 2 )
1 x 1 ? ( ) ,作图易知 f ( x) ? K ? ? x ? (??, ?1] ? [1, ??) , 2 2

故在 (??, ?1) 上是单调递增的,选 C。 5.C 【解析】 试题分析: f [ f ( x)] ? ?2 中设 t ? f ? x? ? f ? t ? ? ?2 ,结合函数图像可知 t ? 所以 f ? x ? ?

1 或t ? 0 , 4

1 或 f ? x ? ? 0 ,再次利用图像可知 x 的取值范围是 [?2,1] ? [4 2 ,??) 4

考点:1.函数图像;2.函数求值域 6. B 【解析】

7

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 试题分析:根据已知知函数关于 x ? 2 对称,当 x ? 2 时, f ??x ? ? 0 函数增,当 x ? 2 时,

f ??x? ? 0 ,函数减,所以 f ?2? 是最大值,根据函数关于 x ? 2 对称知,离对称轴近的大于
离对称轴远的函数值, 2 a ? ?4,16? , log2 a ? ?1,2? 所以知, f (2 a ) ? f (log2 a) ? f (2) . 考点:1.函数的对称性;2.导数的综合应用. 7.A 【解析】 试题分析: f ? x ? ? xf ?? x ? ? ? xf ? x ?? ? 0 ,所以函数 y ? xf ? x ? 为增函数,当 x ? 0 时,函 数值等于 0, 结合图像当 x ? 0 时,xf ?x ? ? 0 , 得到 f ?x ? ? 0 , 当 x ? 0 时, 函数 xf ?x ? ? 0 , 即 f ?x ? ? 0 ,故选 A. 考点:1.复合函数的导数;2.导数的综合应用 8.D 【解析】

?

80 ?1? ? 2? 试题分析:根据二项分布的公式 P? X ? 2? ? C ? ? ? ? ? ,故选 D. 243 ? 3? ? 3 ?
2 6

2

4

考点:二项分布的计算 9.C 【解析】
1 1 试题分析: 按照先 A 再 BD 最后 CE 的顺序, 分两种情况涂色, 1: BD 同色, 有 C4 C3 ? 4 ? 48 ;2: 1 2 BD 不同色,有 C4 A3 ?1 ? 24?48 ? 24 ? 72 种

考点:1.分步计数原理;2.分情况讨论 10.B 【解析】 试题分析:AB 分在同一组的方法数为
2 2 C4 C2 3 ? 3 ,装在同一信封的种数为 3 ? A3 ? 18 2 A2

考点:排列组合 11.D 【解析】 试 题 分 析 : 第 一 次 取 白 球 为 事 件

A , 第 二 次 取 黑 球 为 事 件

B

3? 7 p ? AB ? 10 ? 9 7 ? p ? B | A? ? ? ? 3 p ? A? 9 10
考点:条件概率 12.D

8

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n 都 换 成 k ?1 , 得 到

1 1 1 1 1 13 ? ?? ? ? ? ? k ?2 k ?3 2k 2k ? 1 2k ? 2 24 .
考点:数学归纳法 13.B 【解析】 试题分析:由题 z ? 考点:复数的运算 14. (??,0) ? (1, 2] 【解析】 若 a ? 1, 只须2 ? ax递减且2 ? ax ? 0 ? 2 ? a ? 0 ?1 ? a ? 2 若 a ? 1,? 2 ? ax在(0,1]上递增且 2 ? ax ? 0当a ? 0时恒成立 当 0 ? a ?1 时不含题意? a ? (??,0) ? (1, 2] 15. ?4,??? 【解析】略 16. (1)0; (2) (1, 2) 【解析】 试题分析: (1)令 x ? y ? 1 ,则 f (1) ? f (1) ? f (1) ,整理得 f (1) ? 0 . (2)∵ f ( x) 是定义在 (0, ??) 上的增函数,且 f (1) ? 0 , ∴由 f (log2 x) ? 0 ,得 0 ? log2 x ? 1 ,解得 1 ? x ? 2 ,即解集为 (1, 2) . 考点:函数的单调性,对数不等式的解法. 17.5 【解析】 试题分析:由对任意的 x ? A ,存在常数 x0 ? A ,使得 f ? x ? ? f ? x0 ? , g ? x ? ? g ? x0 ? ,可 知 g ? x0 ? 为 g ? x ? 最小值? x0 ? 2 , f ? x0 ? 为 f ? x ? 最小值, ? f ? x ? 对称轴为 2 ? p ? ?4

4 ? 3i ? 4 ? 3i ? ? ?1 ? 2i ? 10 ? 5i ? ? ? 2 ? i? z ? 2 ? i 1 ? 2i ?1 ? 2i ? ? ?1 ? 2i ? 5

? f ? x0 ? ? g ? x0 ? ?q ? 8
5 ? f ? x ? ? x 2 ? 4 x ? 8 ?1 ? x ? ? f ? x ? 最大值为 5 2
考点:1.不等式与函数的转化;2.函数单调性与最值

9

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 18. [2, ? ?) 【解析】 试题分析: 设 g ?x ? ? f ?x ? ?

1 2 x , 所以 g ?? x ? ? g ?x ? ? 0 , 所以 g ?x ? 是奇函数, 当 ?0, ? ?? 2

时, g ??x ? ? f ??x ? ? x ? 0 ,为减函数,又因为 g ?x ? 是奇函数,所以 ?- ?, 0? 也是奇函数, 又

g ?0? ? f ?0? ? 0 ? 0 , 所 以 函 数 g ?x ? 在 R

上 为 减 函 数 ,

f ?4 ? m ? ? f ?m ? ? g ?4 ? m ? ?

1 ?4 ? m?2 ? g ?m? ? 1 m 2 ? g ?4 ? m? ? g ?m? ? 8 ? 4m ? 8 ? 4m 2 2

,所以 g ?4 ? m? ? g ?m? ,根据单调减函数, 4 - m ? m ,所以 m ? 2 . 考点:1.奇函数的性质;2.单调性的应用;3.解抽象不等式;4.导数的应用. 19.

1 4
9 1 解得 p ? 4 4

【解析】 试题分析:由题意得 np ? 3 , np ?1 ? p ? ? 考点:二项分布期望方差 20.奇函数,增函数 【解析】证明: f ( x) 定义在 R 上,定义域关于原点对称 1 分 令 x ? y ? 0, 可得f (0) ? 0 2分

令 y ? ? x, 则f ( x) ? f (? x) ? f (0) ? 0 即 f (?1) ? f ( x)

? f ( x) 为奇函数.

3分

在 R 上任取 x1 , x2且x1 ? x2

? x2 ? x1 ? 0 ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x2 ) ? f (? x) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0
即 f ( x2 ) ? f ( x1 )

? f ( x) 在 R 上为增函数.
21. (1)详见解析; (2) a ? ln 2 ? 1 . 【解析】

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值 等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,对 f ( x) 求导, 对 f ' ( x) 通分, 求函数的定义域, 讨论 f ' ( x) ? 0 的两个根

1 和 2 的大小关系, 分a ? 0、 a

0?a?

1 1 1 、 a? 、 a? 四 种 情 况 进 行 讨 论 , 利 用 f ' ( x)? 0? f ( x ? ), 2 2 2

f ' ( x) ? 0 ? f ( x) ? 求 函 数 的 单 调 区 间 ; 第 二 问 , 先 将 已 知 转 化 为 在 (0, 2] 上 有
,由已知, f ( x)m a x? g ( x)m a g ( x)max ? 0 ,下面关键是求 f ( x)max ,令 f ( x) max ?0 即可求 x 出 a 的取值范围.
' 试题解析: f ( x) ? ax ? (2a ? 1) ? ' (1) f ( x) ?

2 ( x ? 0) . x

(ax ? 1)( x ? 2) ( x ? 0) . x
'

①当 a ? 0 时, x ? 0 , ax ? 1 ? 0 ,在区间(0,2)上, f ( x) 在区间 (2, ??) 上 f ' ( x) ? 0 , 故 f ( x) 的单调递增区间是(0,2) ,单调递减区间是 (2, ??) . ②当 0 ? a ?

1 1 1 1 时, ? 2 ,在区间( 0,2 )和 ( , ?? ) 上, f ' ( x ) ? 0;在区间 (2, ) 上 a a 2 a 1 1 f ' ( x) ? 0 ,故 f ( x) 的单调递增区间是(0,2)和 ( , ??) ,单调递减区间是 (2, ) . a a

③当 a ? ④当 a ?

( x ? 2) 2 1 ' 时, f ( x) ? ,故 f ( x) 的单调递增区间是 (0, ??) . 2 2x
1 1 1 1 ' 时, 0 ? ? 2 ,在区间 (0, ) 和 (2, ??) 上, f ( x ) ? 0 ;在区间 ( , 2) 上, 2 a a a

f ' ( x ) ? 0,
故 f ( x) 的单调递增区间是 (0, ) 和 (2, ??) ,单调递减区间是 ( , 2) . (2)由已知,在 (0, 2] 上有 f ( x)max ? g ( x)max . 由已知, g ( x)max ? 0 ,由(2)可知, ①当 a ?

1 a

1 a

1 时, f ( x) 在 (0, 2] 上单调递增, 2

故 f ( x)max ? f (2) ? 2a ? 2(2a ? 1) ? 2ln 2 ? ?2a ? 2 ? 2ln 2 , 所以, ?2a ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 ,解得 a ? ln 2 ? 1 , 故 ln 2 ? 1 ? a ?

1 . 2
11

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1 1 1 时, f ( x) 在 (0, ] 上单调递增,在 [ , 2] 上单调递减, 2 a a 1 1 ? 2 ln a . 故 f ( x) max ? f ( ) ? ?2 ? a 2a 1 1 1 由 a ? 可知 ln a ? ln ? ln ? ?1 , 2 ln a ? ?2 , ?2 ln a ? 2 , 2 2 e
②当 a ? 所以, ?2 ? 2 ln a ? 0 , f ( x)max ? 0 , 综上所述, a ? ln 2 ? 1 . 考点:导数的运算、利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值. 22. ⑴第 20 天的销售收入为 1840 元; ⑵第 13 天该公司的销售收入最大, 最大值为 2209 元. 【解析】 本试题主要是考查了分段函数在实际生活中的运用。 考查了同学们分析问题和解决 问题的能力。 (1)先设该公司第 x 天的销售收入为 f ? x ? , 由已知,第 18 天的销售价格 p ? a + 2 ,销售量 q ? 48 . 得到参数 a 的值,然后代入可知第 20 天的销售收入 f ? 20? ? 40 ? 46 ? 1840

?(34 ? x)(60 ? x), ? ( 2 ) 由 条 件 得 函 数 为 分 段 函 数 可 知 f ? x ? ? ?(60 ? x)(66 ? x), ?(66 ? x)(20 ? x), ?
( x ? N* ) 然后分析各段函数的最值,来得到分段函数的最值问题。 (1)设该公司第 x 天的销售收入为 f ? x ? , 由已知,第 18 天的销售价格 p ? a + 2 ,销售量 q ? 48 .

1≤ x ≤16, x ? N* , 17 ≤ x ≤19, x ? N* , 20 ≤ x ≤ 30, x ? N*

所以第 18 天的销售收入 f ?18? ? ? a + 2? ? 48 ? 2016 ,所以 a ? 40 .………………2 分 第 20 天的销售收入 f ? 20? ? 40 ? 46 ? 1840 (元) . ………………………………4 分

?(34 ? x)(60 ? x), ? (2)由条件得 f ? x ? ? ?(60 ? x)(66 ? x), ?(66 ? x)(20 ? x), ?
当 1 ≤ x ≤ 16 时, f ? x ? ? (34 ? x)(60 ? x) ≤[

1≤ x ≤16, x ? N* , 17 ≤ x ≤19, x ? N* , ( x ? N* )…………7 分 20 ≤ x ≤ 30, x ? N*

(34 ? x) ? (60 ? x) 2 ] ? 2209 . 2

(当且仅当 x ? 13 时取等号) ,所以,当 x ? 13 时取最大值, f ?13? ? 2209 .……9 分 当 17 ≤ x ≤19 时, f ? x ? ? (60 ? x)(66 ? x) ? x2 ? 126x + 60 ? 66 ? ( x ? 63)2 ? 9 , 所以,当 x ? 17 时, f ? x ? 取最大值为 f ?17 ? ? 43 ? 49 ? 2107 …………………10 分

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 当 20 ≤ x ≤ 30 时, f ? x ? ? (56 ? x)(32 ? x) ≤[

(66 ? x) ? (20 ? x) 2 ] ? 1849 . 2

(当且仅当 x ? 23 时取等号) ,所以当 x ? 23 时, f ? x ? 取最大值 f ? 23? ? 1849 . 12 分 由于 f ?13? ? f ?17 ? ? f ? 23? ,所以第 13 天该农户的销售收入最大. 答:⑴第 20 天的销售收入为 1840 元;⑵第 13 天该公司的销售收入最大,最大值为 2209 元.……………………………………………………………………………………14 分 23. (1) 5 ; (2) 22 【解析】 试题分析: (1)首先利用生成法,写出 x 的系数,得到 m, n 的方程,然后同样用生成法写 出 x 2 的系数,转化为关于 n 的二次函数,求出最小值; (2)由(1)可知:m=5,n=2,将函 数展开,然后用赋值法,令 x ? 1 ,或 x ? ?1 ,奇数项系数的和等于 f (1) ? f (?1)
2
1 1 试题解析:解: (1)由题意得: Cm ? 3Cn ? 11,即:m+3n=11.

x 的系数为:
2 2 Cm ? 32 Cn ?

2

m(m ? 1) 9n(n ? 1) ? 2 2 (11 ? 3n)(10 ? 3n) 9n(n ? 1) ? ? 2 2 2 ? 9n ? 36n ? 55 ? 9(n ? 2) 2 ? 19
2

当 n=2 时,x 的系数的最小值为 19,此时 m=5 5 2 (2)由(1)可知:m=5,n=2,则 f(x)=(1+x) +(1+3x) 2 5 设 f(x)的展开式为 f(x)=a0+a1x+a2x +…+a5x 令 x=1,则 f(1)=a0+a1+a2+a3+a4+a5 令 x=-1,则 f(-1)=a0-a1+a2-a3+a4-a5 则 a1+a3+a5= f (1) ? f (?1) =22,所求系数之和为 22
2

考点: (1)二项式定理指定项或指定项系数; (2)赋值法求奇数项系数和. 24.详见解析 【解析】 试题分析: (1) 根据公式, 采用赋值法, 依次得到结果; (2) 根据 (1) 的结论, 首先猜测 f 2

? ?,
?n

?1 然后利用数学归纳法证明,数学归纳法的三个步骤分别是,先令 n ? 1 得到 f 2 ,然后假

? ?

n?k n ? k ?1 成 立 , 再 令 1 1 1 1 1 1 1 1 1 f ( ? k ) ? f ( k ) ? k f ( ) ? ? k ? ( ) k ?1 ? k ? 1 ,然后得到 an . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ; 试题解析:解: (1) f ( ) ? f ( ? ) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? 1 4 2 2 2 2 2 2 2




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1 1 1 1 1 1 1 3 f( ) ? f( ? ) ? f( )? f( ) ? ; 8 2 4 2 4 4 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 f( ) ? f( ? ) ? f( )? f( ) ? ; 16 2 8 2 8 8 2 2 1 1 n ?1 ?n (2)由(1)可猜测: f (2 ) ? f ( n ) =n? ( ) 2 2
下用数学归纳法证明:
?1 0 当 n=1 时,左边= f ( 2 ) ? f ( ) ? 1, 右式= 1? ( ) ? 1,? n=1 时,命题成立。

1 2

1 2

1 1 ) =k? ( ) k ?1 , k 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 k ?1 1 则 n=k+1 时,左边= f ( ? k ) ? f ( k ) ? k f ( ) ? ? k ? ( ) ? k ? 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ? k ? ( ) k ? ( ) k ? (k ? 1) ? ( ) ( k ?1) ?1 2 2 2
?k 假设 n=k 时,命题成立,即: f (2 ) ? f (

? n=k+1 时,命题成立。
?n ? 综上可知:对任意 n∈ N 都有 f (2 ) ? f (

1 1 ) =n? ( ) n ?1 。 n 2 2

所以: a n ?

f 2 ?n n

? ?

1 n? 2 ? n

n ?1

?1? ?? ? ?2?

n ?1



考点:1.赋值法;2.数学归纳法. 25. (1)详见解析; (2) (0,e) ; (3)详见解析. 【解析】 试题分析: (1)首先求函数的导数,求解 f ??x ? ? 0 ,为增区间,或求 f ??x ? ? 0 ,为减区间;
x (2)原式等价于 f ( x) ? 0 对任意 x ? 0 成立, f ??x ? ? e ? k ? 0 ,得到 x ? ln k ,然后讨

论极值点 ln k 与定义域的关系, 即 ln k ? 0 或 ln k ? 0 是函数的单调性, 确定函数的最小值,

f ?x ? ? 0 恒成立,指 f min ? 0 ; (3)首先求出 F ?x1 ?F ?x2 ? ,然后采用赋值法和倒叙相加的
方法,所赋值使 x1 ? x2 ? 1 ? n ,然后相乘得到不等式.
x x 试题解析:解: (1)由 k ? e 得 f ( x) ? e ? ex ,所以 f ?( x) ? e ? e .

? ?) , 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x) 的单调递增区间是 (1, 1) 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x) 的单调递减区间是 (??,
(2)由 f ( ? x ) ? f ( x ) 可知: f (| x |) 是偶函数.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 于是 f (| x |) ? 0 对任意 x ? R 成立等价于 f ( x) ? 0 对任意 x ? 0 成立 由 f ?( x) ? e x ? k ? 0 得 x ? ln k . ①当 k ? (0, 此时 f ( x) 在 [0, 故 1] 时, f ?( x) ? e x ? k ? 1 ? k ? 0( x ? 0) . ? ?) 上单调递增.

f ( x) ? f (0) ? 1 ? 0 ,符合题意.
②当 k ? (1 , ? ?) 时, ln k ? 0 . 当 x 变化时 f ?( x),f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )

(0, ln k )

ln k

(ln k, ? ?)

?
单调递减

0
极小值

?
单调递增

f ( x)

由此可得,在 [0, ? ?) 上, f ( x) ≥ f (ln k ) ? k ? k ln k .

?1 ? k ? e . 依题意得: k ? k ln k ? 0 ,又 k ? 1,
综合①,②得,实数 k 的取值范围是: (0,e) . (3)? F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ? e x ? e? x ,

? F ( x1 ) F ( x2 ) ? e

x1 ? x2

? e ?( x1 ? x2 ) ? e x1 ? x2 ? e ? x1 ? x2 ? e x1 ? x2 ? e ?( x1 ? x2 ) ? 2 ? e x1 ? x2 ? 2

? F (1) F (n) ? en?1 ? 2 ,
F (2) F (n ? 1) ? e n ?1 ? 2 ?? F (n) F (1) ? e n ?1 ? 2.
由 此 得 :

[ F (1) F (2)? F (n)]2 ? [ F (1) F (n)][ F (2) F (n ?1)]?[ F (n) F (1)] ? (en?1 ? 2) n
故 F (1) F (2)? F (n) ? (e
n ?1

? 2) 2 ,n ? N? .

n

考点:1.导数的综合应用;2.倒序相乘法;3.证明不等式.

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