一元二次方程根的分布

一元二次方程根的分布
表一: (两根与 0 的大小比较即根的正负情况)
分 布 情 况 大 致 图 象 ( ) 得 出 的 结 论 大 致 图 象 ( ) 得 出 的 结 论 ( 不 讨 论
? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? ? f ?0? ? 0
? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? ? f ?0? ? 0

两个负根即两根都小于 0

两个正根即两根都大于 0

一正根一负根即一个根小于 0, 一个大于 0 ? x1 ? 0 ? x2 ?

? x1 ? 0, x2 ? 0?

? x1 ? 0, x2 ? 0?

a?0
? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? ? f ?0? ? 0
? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? ? f ?0? ? 0

f ?0? ? 0

a?0

f ?0? ? 0

综 合 结 论

a



? ??0 ? b ? ?0 ? ? 2 a ? ? ?a ? f ? 0 ? ? 0

? ??0 ? b ? ?0 ? ? 2 a ? ? ?a ? f ? 0 ? ? 0

a ? f ?0? ? 0

1

表二: (两根与 k 的大小比较)
分 布 情 况
两根都小于 k 即 两根都大于 k 即 一个根小于 k ,一个大于 k 即

x1 ? k , x2 ? k

x1 ? k , x2 ? k

x1 ? k ? x2

a?0


大 致 图 象 (

k

k

k

得 出 的 结 论

? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? ? f ?k ? ? 0

? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? ? f ?k ? ? 0

f ?k ? ? 0

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

? ??0 ? b ? ?k ?? 2 a ? ? ? f ?k ? ? 0

? ??0 ? b ? ?k ?? 2 a ? ? ? f ?k ? ? 0

f ?k ? ? 0

综 合 结 论 ( 不 讨 论

a

? ??0 ? b ? ?k ? ? 2 a ? ? ?a ? f ? k ? ? 0

? ??0 ? b ? ?k ? ? 2 a ? ? ?a ? f ? k ? ? 0

a ? f ?k ? ? 0



2

表三: (根在区间上的分布)
分 布 情 况
两根都在 ?m, n? 内 两根有且仅有一根在 ?m, n? 内 一根在 ?m, n? 内, 另一根在 ? p, q ?

(图象有两种情况,只画了一种) 内, m ? n ? p ? q

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

? ??0 ? ? f ?m? ? 0 ? ? f ?n? ? 0 ? b ?m ? ? ?n 2a ? ?

f ?m? ? f ?n? ? 0

? f ? m? ? 0 ? ? f ? m? f ?n? ? 0 ? f ? n? ? 0 ? 或? ? ? f ? p? f ?q? ? 0 ? f ? p? ? 0 ? ? f ?q? ? 0 ?

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

? ??0 ? ? f ?m? ? 0 ? ? f ?n? ? 0 ? b ?m ? ? ?n 2a ? ?

f ?m? ? f ?n? ? 0

? f ? m? ? 0 ? ? f ? m? f ?n? ? 0 ? f ? n? ? 0 ? 或? ? ? f ? p? f ?q? ? 0 ? f ? p? ? 0 ? ? f ?q? ? 0 ?

综 合 结 论 ( 不 讨 论

f ?m? ? f ?n? ? 0

? f ?m ? f ?n ? ? 0 ? ? ? ? f ? p ? f ?q ? ? 0

a



3

二.例题选讲
(1)两个根在实数 k 的同一侧 例 1.已知二次方程 mx 2 ? (2m ? 1) x ? m ? 2 ? 0 的两个根都小于 1,求 m 的取值范围.

(2)两个根在实数 k 的异侧 例 2:已知二次函数 y ? ? m ? 2? x2 ? ? 2m ? 4? x ? ?3m ? 3? 与 x 轴有两个交点,一个大于 1,一个小于 1,求实数 m 的取值范围。

(3)在区间 (m, n) 有且只有一个实根 例 3.已知二次方程 mx ? ? 2m ? 3? x ? 4 ? 0 只有一个正根且这个根小于 1,求实数 m 的取值范围。
2

(4)在区间 (m, n) 有两个实根 例 4: 已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0.若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围.

(5)在区间 [m, n] 有实根
2 例 5.已知 a 是实数,函数 f ( x) ? 2ax ? 2 x ? 3 ? a ,如果函数 y ? f ( x) 在区间 ??11 , ? 上有零点,求 a 的取值范围.

4

答案: 二.例题选讲
(1)两个根在实数 k 的同一侧 例 1.已知二次方程 mx 2 ? (2m ? 1) x ? m ? 2 ? 0 的两个根都小于 1,求 m 的取值范围. 解一:二次方程两个根都小于 1,其充要条件为

? ?(2m ? 1) 2 ? 4m(m ? 2) ? 0 ? ?m[m ? (2m ? 1) ? m ? 2] ? 0 ? 2m ? 1 ?? ?1 2m ?

(1) (2) (3)
3? 7 3? 7 ]?[ ,?? ) . 4 4

(1)即为 8m 2 ? 12m ? 1 ? 0 ,它的解集是 ( ?? ,

(2)即为 m(2m ? 1) ? 0 ,它的解集是 (??,? ) ? (0,??) . (3)的解集是 (??,0) ? ( ,??) .

1 2

1 4

1 3? 7 ,?? ) . 所以, m 的取值范围是 (?? ,? ) ? [ 2 4
解二:二次方程 mx 2 ? (2m ? 1) x ? m ? 2 ? 0 有两个根的充要条件是 ? ? 0 . 设两根为 x1 , x 2 ,由于 x1 , x 2 都小于 1,即 x1 ? 1 ? 0, x2 ? 1 ? 0 ,其充要条件为:

?( x1 ? 1) ? ( x 2 ? 1) ? 0 ? ?( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ? 0


? x1 ? x 2 ? 2 ? 0 ? ? x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1 ? 0
因此,方程两个根都小于 1 的充要条件是:

? ?( 2m ? 1) 2 ? 4m( m ? 2) ? 0 ? ? 2m ? 1 ?2?0 ? ? m ? ? m ? 2 2m ? 1 ? ?1? 0 ? m ? m
以下同解法一(略) . 解三:令 y ? x ? 1 ,原方程转化为 m( y ? 1) 2 ? (2m ? 1)( y ? 1) ? m ? 2 ? 0 ,即

my 2 ? (4m ? 1) y ? 2m ? 1 ? 0

(*)

因为原方程两根都小于 1,所以方程(*)的两个实根都小于 0,其充要条件是:

5

? ?? ? 0 ? ? 4m ? 1 ?0 ?? m ? ? 2m ? 1 ?0 ? ? m
同样可求出 m 的取值范围(略) . (2)两个根在实数 k 的异侧 例 2:已知二次函数 y ? ? m ? 2? x2 ? ? 2m ? 4? x ? ?3m ? 3? 与 x 轴有两个交点,一个大于 1,一个小于 1,求实数 m 的取值范围。 解:由

? m ? 2??f ?1? ? 0



? m ? 2??? 2m ?1? ? 0

? ?2 ? m ?

1 即为所求的范围。 2

(3)在区间 (m, n) 有且只有一个实根 例 3.已知二次方程 mx2 ? ? 2m ? 3? x ? 4 ? 0 只有一个正根且这个根小于 1,求实数 m 的取值范围。 解:由题意有方程在区间 ? 0,1? 上只有一个正根,则 f ? 0??f ?1? ? 0 ? 4? ?3m ?1? ? 0 ? m ? ? 范围。 (4)在区间 (m, n) 有两个实根 例 4: 已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0.若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围. 解 : 据 抛 物 线 f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴 交 点 落 在 区 间 (0 , 1) 内 , 列 不 等 式 组

1 即为所求 3

1 ? m?? , ? ? f ( 0) ? 0, 2 ? ? f (1) ? 0, 1 1 ? ? ? - <m≤1- 2 , ? ?m ? ? , ? 2 2 ? ? ? 0, ? ?m ? 1 ? 2或m ? 1 ? 2 , ? ?0 ? ? m ? 1 ? ?? 1 ? m ? 0.
(5)在区间 [m, n] 有实根
2 例 5.已知 a 是实数,函数 f ( x) ? 2ax ? 2 x ? 3 ? a ,如果函数 y ? f ( x) 在区间 ??11 , ? 上有零点,求 a 的取值范围.

解析 1:函数 y ? f ( x) 在区间[-1,1]上有零点,即方程 f ( x) ? 2ax2 ? 2x ? 3 ? a =0 在[-1,1]上有解,
?af (?1) ? 0 ?af (1) ? 0 ? ? a=0 时, 不符合题意, 所以 a≠0,方程 f(x)=0 在[-1, 1]上有解<=> f (?1) ? f (1) ? 0 或 ?? ? 4 ? 8a(3 ? a) ? 0 ?1 ? a ? 5 或 ? ?? 1 ? [?1.1] ? ? a

a?

?3 ? 7 ?3 ? 7 或 a?5 ? a ? 或 a≥1. 2 2 ?3 ? 7 或 a≥1. 2
6

所以实数 a 的取值范围是 a ?

解析 2:a=0 时,不符合题意,所以 a≠0,又 ∴ f ( x) ? 2ax2 ? 2x ? 3 ? a =0 在[-1,1]上有解, ? (2 x2 ?1)a ? 3 ? 2 x 在[-1,1]上有解 ? 题转化为求函数 y ?
1 2 x2 ? 1 在[-1,1]上有解,问 ? a 3 ? 2x

2 x2 ? 1 1 (t ? 3)2 ? 2 1 7 [-1, 1]上的值域; 设 t=3-2x, x∈[-1, 1], 则 2x ? 3 ? t , t∈[1,5], y ? ? ? (t ? ? 6) , 3 ? 2x 2 t 2 t

7 t2 ? 7 设 g (t ) ? t ? .g '(t ) ? 2 , t ? [1, 7) 时, g '(t ) ? 0 ,此函数 g(t)单调递减, t ? ( 7,5] 时, g '(t ) >0,此函数 g(t)单调递 t t

增, ∴y 的取值范围是 [ 7 ? 3,1] , ∴ f ( x) ? 2ax2 ? 2x ? 3 ? a =0 在[-1, 1]上有解?

3? 7 1 ∈ [ 7 ? 3,1] ? a ? 1 或 a ? ? 。 a 2

7


相关文档

一元二次方程根的分布练习及答案
二次函数、幂函数及一元二次方程根的分布
一元二次方程根的分布 课件
一元二次方程根的分布习题
一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)
一元二次方程根的分布(11页)
一元二次方程实根的分布
第九课时 二次函数与一元二次方程根的分布
一道题横扫一元二次方程根的分布问题
数形结合解决一元二次方程根的分布问题
电脑版