泉州市2017年秋季高一数学期末考试题(必修1+必修2)

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泉州市 2017-2018 学年度上学期高中教学质量跟踪监测 高一数学试题参考答案及评分细则
评分说明: 1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可在评卷组内 讨论后根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步仅出现严谨性或规范性错误时,不要影响后续部分 的判分;当考生的解答在某一步出现了将影响后续解答的严重性错误时,后继部分的解答不 再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.

第Ⅰ卷(选择题
是符合题目要求的.
2 1.设集合 M ? ??2, ?1, 0,1, 2? , N ? x | x ? x ,则

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项

?

?

M

N?
(D) ??2, 0, 2?

(A) ?0,1?

(B) ??2, ?1, 2?

(C) ??2, ?1, 0, 2?

命题意图:本小题主要考查集合的表示法、集合的运算等基础知识;考查运算求解能力;考 查数形结合思想.体现集合的学科语言价值,发挥对集合教学难度定位的正确导向作用. 试题简析:通过解方程可得 N ? ?0,1? ,由集合运算可知,
M

N ? ??2, ?1, 2? ,选(B).

错因预判:选择(A)的原因是审题不清,或者不理解补集的意义、混淆符号;选择(C) (D) 的原因是方程解错. 变式题源:2016 年新课标全国 II 卷文科第(1)题. 2.若 A ?1, 2 ? , B ? 3,5 ? , C ? 5, m ? 三点共线,则 m ? (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9

命题意图:本小题主要考查直线、斜率等基础知识;考查运算求解能力;考查数形结合思想、 转化与化归思想、函数与方程思想.着重体现对斜率公式的考查,发挥对注重强化基础知识教学
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的积极导向作用. 试题简析:思路 1:将三点共线问题化归为斜率相等问题,得

5?2 m?5 ? ,解得 m ? 8 .思 3 ?1 5 ? 3

路 2:因 A ?1, 2 ? , B ? 3,5 ? , C ? 5, m ? 三点共线,故由横坐标关系可知 B 为线段 AC 的中点,故纵 坐标满足,

2?m ? 5 ,解得 m ? 8 . 2

错因预判:选择(A) (B) (D)的原因是计算错误. 变式题源:2015 年新课标全国 II 卷理科第(7)题. 3.已知自然对数的底数 e ? 2.718 ,在下列区间中,函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点所在区间为 (A) ? ,1?

?1 ? ?e ?

(B) ?1, 2 ?

(C) ? 2, e ?

(D) ? e,3 ?

命题意图:本小题主要考查函数零点的定义、零点存在性定理及应用,数据的估算与比较大 小;考查运算求解能力、推理论证能力;考查数形结合思想、转化化归思想.着重体现零点的定 义和零点存在性定理的考查,发挥对注重强化基础知识教学的积极导向作用. 试 题 简 析 : 思 路 1 : 函 数 f ? x? 的 图 象 连 续 不 断 , 求 得 各 区 间 端 点 的 函 数 值 ,

2 ?1? f ? ? ? ?1 ? ? 6 ? 0 , f ?1? ? 0 ? 2 ? 6 ? 0 , f ? 2 ? ? ln 2 ? 2 ? 0 , f ? e ? ? 1 ? 2e ? 6 ? 0 , e ?e?
f ? 3? ? ln 3 ? 0 , 故根据零点存在性定理可知, 应选 (C) . 思路 2: 通过作函数 y ? ln x 和 y ? 6 ? 2 x
的图象,根据图象中几个关键点的位置关系,可判断图象交点横坐标(零点)所在区间. 错因预判:选择(A) (D)的原因计算错误;选择(B)的原因是 ln 2 与 2 比较大小出错. 变式题源:2011 年新课标全国卷文科第(10)题. 4.已知圆 O1 : x ? y ? 1 ,圆 O2 : ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 16 ,则两圆的位置关系为
2 2

2

2

(A)外切

(B)内切

(C)相交

(D)外离

命题意图:本小题主要考查圆方程、圆与圆的位置关系、两点间距离;考查运算求解能力、 空间想象能力;考查数形结合思想,转化与化归思想.着重体现对圆的方程和平几中圆与圆的位 置关系的考查,发挥对注重强化基础知识教学、重视平几知识运用的积极导向作用. 试题简析:思路 1:两圆心距离为 5 ,两圆半径之和为 5 ,判断得到两圆外切,选(A) .思路 2:通过作图,可直观感知并判断出结论.
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错因预判:选择(B) (C) (D)的原因是求错圆心坐标或者半径,或者混淆圆圆位置的判定. 变式题源:2013 年新课标全国 I 卷文科第(21)题. 5. 某正方体的平面展开图如图所示, 则在这个正方体中 (A) NC 与 DE 相交 (B) CM 与 ED 平行 (C) AF 与 CN 平行 (D) AF 与 CM 异面 命题意图:本小题主要考查空间点、线、面的位置 关系,空间几何体的展开图;考查空间想象能力、推理 论证能力.导向关注展示空间想象能力的一个重要途径 ——图形翻折. 试题简析:将所给的平面展开图折成正方体,如图,易 得 CM 与 ED 平行,故选(B) . 错因预判:选择(A) (D)原因是无法顺利从平面展开 图想象空间图形;选择(C)原因是仅仅从平面展开图进行判 断. 变式题源:2017 年新课标全国 I 卷文科第(6)题 6.下列函数中,既是偶函数且在区间 (0,??) 上单调递增的函数是 (A) y ? 2 x
3

N D C

E

A

B F

M

(B) y ? ?

2 x

(C) y ? x ?2

(D) y ?

x2

命题意图:本小题主要考查幂函数的图象与性质、函数的奇偶性与单调性;考查抽象概括能 力、推理论证能力;考查数形结合思想、特殊与一般思想.导向遵循《课标》要求、落实基础知 识的教学. 试题简析:因为(A) (B)选项是奇函数非偶函数,故排除;又因为选项(C)在区间 (0,??) 是单调递减的,故只能选(D) .而事实上, y ?

x 2 ? x 符合题意.

错因预判:选择(A) (B)的原因是混淆奇偶性的概念;选择(C)的原因是误判该函数的单 调性. 变式题源:2011 年新课标全国卷文科第(3)题.

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7.在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, P 为线段 A1C1 的中点,则直线 DC1 与 AP 所成角的余弦值为 (A)

2 5 5

(B)

3 3

(C)

1 2

(D)

3 2
D1 C1

命题意图:本小题主要考查空间两直线位置关系、异面直 线所成角;考查空间想象能力、运算求解能力;考查转化化归 思想.模拟高考模式,不提供图形,导向关注数学解题的完整 思维过程的教学,引导强化作图、识图、用图的解题意识. 试题简析: 如图, 连结 AB1 , 得 AB1

A1 B1

P

C1D , 则 ?B1 AP 为
B

A C

D

异面直线 DC1 和 AP 所成的角, 因为△ AB1D1 为正三角形,P 为 B1 D1 中 点 , 所 以 ?B1 AP ? 30? , 故 所 求 角 的 余 弦 值 为

3 .(另法:可平移 AP ,使 P 与 C1 重合,再求解) 2
错因预判:选择(A)的原因是误认为 B1 P ? B1 A ;选择(B)的原因是既误认为 B1 P ? B1 A , 又误认为 B1 P 与正方体棱长相等;选择(C)的原因是混淆直角三角形正、余弦的定义或错特殊 角的三角函数. 变式题源:2016 年新课标全国 I 卷文科第(11)题. 8.如图的后母戊鼎(原称司母戊鼎)是迄今为止世界上出土最大、最重的青铜礼器,有“镇国之 宝”的美誉.后母戊鼎双耳立,折沿宽缘,直壁,深腹,平底,下承中空柱足 ,造型厚重端庄, .... 气势恢宏, 是中国青铜时代辉煌文明的见证.

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右图为鼎足近似模型的三视图(单位 :cm ) .经该鼎青铜密度为 a (单位 :kg/cm3 ) ,则根据三 视图信息可得一个“柱足”的重量约为(重量=体积 ? 密度,单位 :kg ) (A) 1250πa (B) 5000πa (C) 3750πa (D) 15000πa

命题意图:本小题主要考查几何体的三视图、体积公式等基础知识;考查学生的空间想象能 力、运算求解能力、应用意识;考查数学建模思想.导向关注展示空间想象能力的一个重要途径 ——三视图,导向注重数学文化的渗透. 试题简析:根据三视图计算柱体体积为 ?10 ?10 ? 5 ? 5 ? π ? 50 ? 3750 π ,所以选(C) . 错因预判:选择(A)的原因是混淆柱与锥的体积公式;选择(D)的原因是误认为外柱半径 为 20 ;选择(B)的原因是没有扣除中空的重量,或综合(A) (D)的错误. 变式题源:2015 年新课标全国 I 卷第(6)题. 9.若 a ? log 5 3 , b ? log0.5 0.3 , c ? e (A) b ? a ? c (C) a ? c ? b
?1

? e ? 2.718? ,则

(B) b ? c ? a (D) c ? a ? b

命题意图:本小题主要考查对数函数、幂函数的性质及比较数值大小等基础知识;运算求解 能力、考查推理论证能力;考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想.导向关注函 数性质的灵活应用和比较大小的基本方法. 试 题 简 析 : 由 ? ? 3 ? 5 , 根 据 单调 性 可 得 , 1 ? log 5 5 ? log 5 3 ? log 5 5 ? . 1 ? a ? c ;又因为 b ? log0.5 0.3 ? log0.5 0.5 ? 1 ,所以 b ? a ? c .故选(A) 错因预判: 选择 (B) 的原因是 a 与 c 的比较错误; 选择 (C) 的原因是错误判断 b ? log0.5 0.3 ? 0 ; 选择(D)的原因综合(B) (C)两种错误. 变式题源:2016 年新课标全国Ⅰ卷文科第(8)题. 10.设函数 y ? f ? x ? 的图象与 y ? 2 x ?a 的图象关于直线 y ? x 对称,且 f ? 2 ? ? f ? 4 ? ? 1 ,则 a ? (A) ?2 (B) ?1 (C) 1 (D) 2

1 1 ? ,故 2 e

命题意图:本小题主要考查指、对数函数、互为反函数的两函数图象性质;考查运算求解能 力、抽象概括能力、推理论证能力;考查数形结合思想、函数与方程思想、转化化归思想.示范
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与引领对“反函数”教学问题的合理定位. 试题简析: 思路 1: 设 m ? f ? 2 ? ,n ? f ? 4 ? , 则 m ? n ? 1. 因为 ? 2, m ? ,? 4, n ? 是函数 f ? x ? 图象上的点, 所以根据对称性得,? m, 2 ? ,? n, 4 ? 是函数 y ? 2 x ?a 图象上的点. 代入可知 2 ? 2m?a ; .思路 2: 4 ? 2n?a ,所以 m ? a ? 1; n ? a ? 2 ,所以 m ? a ? n ? a ? 3 ,可得 a ? ?1 ,故选(B) 由题意得 f ? x ? ? a ? log 2 x ,又 f ? 2 ? ? f ? 4 ? ? 1 ,可解得 a ? ?1 ,选择(B) . 错因预判:选择(A) (C)的原因是计算错误;选择(D)误认为 f ? x ? ? log 2 ? x ? a ? . 变式题源:2015 年新课标全国 I 卷文科第(12)题. 11.已知直线 l1 : x ? y ? 1 ? 0 ,动直线 l2 : ? k ? 1? x ? ky ? k ? 0 ? k ? R ? ,则下列结论错误 的是 .. (A)存在 k ,使得 l2 的倾斜角为 90? (B)对任意的 k , l1 与 l2 都有公共点 (C)对任意的 k , l1 与 l2 都不 重合 . (D)对任意的 k , l1 与 l2 都不 垂直 . 命题意图:本小题主要考查直线斜率、直线方程、平面内两直线位置关系等基础知识;考查 运算求解能力、推理论证能力;考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想、一般与 特殊思想、转化与化归思想. 试题简析:因为当 k ? 0 时, l2 的倾斜角为 90? , ( A )结论正确,故排除; l2 方程整理为

k ? x ? y ? 1? ? x ? 0 ,由此可知直线 l2 必过定点 ? 0, ?1? ,又点 ? 0, ?1? 也在 l1 上, (B)结论正确,
亦排除;当 k ? ?

1 时,两直线重合,故(C)结论错误,选(C) ;因为 1 ? ? k ? 1? ? ? ?1? k ? 0 , 2

故(D)结论正确,排除. 错因预判:选择(A)的原因是审题不清,误选正确结论;选择(B)的原因是未能把“有公 共点”转化为联立方程恒有解,或者运算求解错误;选择(D)的原因是不能有效利用两直线垂直 的等价条件解方程,或仅通过想象图形,且没有验证. 变式题源:2007 年新课标全国卷理第(19)题. 12.在直角坐标系 xOy 中,动圆 C 经过点 ? 0, 2 ? ,且圆心 C ? x0 , y0 ? 在抛物线 y ?

1 2 x 上.记圆 C 4

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被 x 轴所截得的弦长为 PQ ,则随着 y 0 的增大, PQ 的变化情况是 (A)恒为定值 (B)一直减小 (C)一直增大 (D)先减小,再增大

命题意图:本小题主要考查函数定义、函数图象、函数性质、圆的方程及几何性质、直线与 圆的位置关系、弦长;考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力;考查函数与方程思想、 数形结合思想、转化化归思想. 试 题 简 析 : 依 题 意 得 点 C ? x0 , y0 ? 在 抛 物 线 上 , 得 y0 ?

1 2 x0 , 圆 C 的 半 径 r , 4

r 2 ? x0 2 ? y0 2 ? 4 y ? 4 ? y0 2 ? 4 ,所以

PQ . ? r 2 ? y0 2 ? 2 ,为定值,故选(A) 2

错因预判:选择(B) (C)的原因是运算出错;选择(D)的原因是仅仅依靠图形想象,导致 误判. 变式题源:2015 年新课标全国 I 卷文科第(13)题;2011 年新课标全国卷文(20)题.

第Ⅱ卷(非选择题
13.已知集合 A ? x 2 ? 1 , B ? x x ? 4 ,则 A
x 2

共 90 分)
B ? _________.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卡的相应位置.

?

?

?

?

命题意图:本小题主要考查集合的概念、集合运算、解不等式、函数单调性等基础知识;考 查运算求解能力;考查数形结合思想,化归与转化思想. 试 题 简 析 : 通 过 解 不 等 式 2x ? 1 可 得 A ? ? 0, ?? ? , 解 不 等 式 x 2 ? 4 可 得

B?? ? ? , 2 ? ?

?

2, ? ?,由集合运算可得, ? A B ? ? 2, ?? ? .

变式题源:2017 年新课标全国 I 卷理科第(1)题. 14.已知函数 f ? x ? ? ?

? ?1 ? log 2 ? 2 ? x ? , x ? 1, 则 f ? ?2 ? ? f ?1? ? _________. x ?1 x ? 1, ? ?2 ,

命题意图:本小题主要考查函数定义、分段函数、指数和对数的运算等基础知识;考查运算 求解能力;考查分类与整合思想、转化与化归思想. 试题简析: f ? ?2 ? ? 1 ? log 2 ? 2 ? 2 ? ? 1 ? 2 ? 3 , f ?1? ? 2
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1?1

? 1 ,故 f ? ?2 ? ? f ?1? ? 4 .

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变式题源:2015 年新课标全国 I 卷理科第(5)题.

l2 : 3x ? 4 y ? m ? 0 , 15. 两平行直线 l1 : ax ? 4 y ? 0 , 若两直线之间的距离为 1 , 则 m ? _________.
命题意图: 本小题主要考查直线方程, 直线与直线的位置关系, 两平行线间距离等基础知识; 考查运算求解能力;考查数形结合思想、转化与化归思想. 试 题 简 析 : 思 路 1 : 依题 意 得 l1 : 3x ? 4 y ? 0 , 由 两 平 行 线 间距 离 公 式 得 两 直 线 距离

d?

m 32 ? 42

, 因此 m ? ?5 . 思路 2: 直线 l1 过原点, 将线线距离转化为点线距离得 d ?

m 32 ? 42



因此 m ? ?5 . 变式题源: 2012 年新课标全国 I 卷理科第(20)题;2016 年新课标全国 III 卷理科第(16) 题. 16.在三棱锥 S ? ABC 中,正三角形 ABC 中心为 Q ,边长为 2 6 , SH ? 面 ABC ,垂足 H 为

AQ 的中点, SA 与平面 ABC 所成的角为 45? .若三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在同一个球
面上,则此球的表面积为_________. 命题意图:本小题主要考查三棱锥及外接球的结构特征、线面所成角、线面垂直以及球的表 面积等基础知识;考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、应用意识;考查数形结合 思想、函数与方程思想、转化与化归思想.综合检测数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算、 数学建模等素养. 教学导向:在处理相对复杂问题的过程中, 能运用整体与局部思想及降维策略将 空间问题转化为平面问题,再充分运用平几知识解决问题;在处理相对复杂问题的过程中,能运 用方程思想及基本量方法,选择特征图形构造方程解决问题. 试题简析:设该球心 O ,则 OQ ? 平面 ABC ,且 O 在线段 SA 的垂直平分线 DO ( D 为线段 SA 的中点) 上, 即球心 O 为这两条直线的交点. 解法一:如图,底面 ABC 的中心 Q 即底面 ABC 截 球所成的圆的圆心,故 OQ ? 平面 ABC .又因为 SH ? 面 ABC ,故可得 O , Q , H , A , S 五点共面. SA 与平面 ABC 所成的角为 45? ,得 ?SAH ? 45? ,所以

SH ? AH ? 2 .连结 AQ , OS ,有 AQ ? 2 2 ,设
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OQ ? x ,球半径为 R . 一方面 R 2 ? OA 2 ? x 2 ? 2 2 ;另一方面

?

?

2

R 2 ? OS ? x ? 2

2

?

? ? ? 2 ? ,联立得 x ?
2 2

2 ,可得 R ? 10 ,故球表面积为 40π .

解法二: SA 与平面 ABC 所成的角为 45? ,可得 ?SAH 为等腰直角三角形.又 Q 是平面 故 OQ ? 平面 ABC , 又因为 SH ? 面 ABC , 故可得 O ,Q ,H ,A , ABC 截球所成圆的圆心,

S 五点共面.设 D 为 AS 的中点,则 OD ? AS , HD ? AS ,所以 D , H , O 三点共线.因为

H 是 AQ 的中点,故 ?ADH 与 ?OQH 相似,可求得 OH ? 2 , DH ? 1 ,所以球的半径
(即:转化为在平面 SHOQ 中的平面几何问题) R ? 32 ? 12 ? 10 ,故球的表面积为 40π . 变式题源:2012 年新课标全国卷理科第(11)题. 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 10 分) 已知直线 l1 : 2 x ? y ? 1 ? 0 ,直线 l2 经过点 P ?1, 0 ? 且与 l1 垂直,圆 C : x 2 ? y 2 ? 4 y ? 3 ? 0 . (Ⅰ)求 l2 方程; (Ⅱ)请判断 l2 与 C 的位置关系,并说明理由. 命题意图:考查直线方程、圆方程、直线与直线垂直、直线与圆的位置关系;考查运算求解 能力、推理论证能力;数形结合思想. 试题解析: 解(Ⅰ) 直线 l1 的斜率为 2 , 故直线 l2 的斜率为 ? ?????????????????????1 分

1 , 2

?????????????????????3 分

因为直线 l2 经过点 P ?1, 0 ? , 所以直线 l2 的方程为: y ? 0 ? ? 另解: 设直线 l2 方程为 x ? 2 y ? m ? 0 .????????????????????3 分 因为直线 l2 经过点 P ?1, 0 ? , 所以 1 ? 2 ? 0 ? m ? 0 ,
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1 ( x ? 1) ,即 x ? 2 y ?1 ? 0 . 2

????5 分

解得 m ? ?1 ,????????????????????????????4 分

l2 方程为 x ? 2 y ?1 ? 0 .???????????????????????5 分
(Ⅱ) 由圆 C : x 2 ? y 2 ? 4 y ? 3 ? 0 整理得, x ? ? y ? 2 ? ? 1 ,
2 2

所以圆 C 的圆心坐标为 ? 0, 2 ? ,半径为 1 . ?????2 分(圆心、半径各 1 分) 设点 C 到直线 l2 距离 d , d ?

2 ? 2 ?1 12 ? 22

,????????????????4 分

因为 d ?

3 ? 1, 5

所以直线 l2 与圆 C 相离.????????????????????????5 分 (注:直接回答“直线 l2 与圆 C 相离” ,可得 1 分;用联立方程组方法求解相应给分.) 变式题源:2017 年新课标全国 I 卷理科数学第(20)题. 18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? 1? a ? R ? 的两零点为 x1 , x2 .
2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求 x1 ? x2 的值; (Ⅱ) x ? ? 0, 2 ? , f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围. 命题意图:考查函数的零点、二次函数等基础知识;考查抽象概括能力、运算求解能力、推 理论证能力;考查分类与整合思想、函数与方程思想、化归转化思想、数形结合思想. 试题解析: 解法一: (Ⅰ)令 f ( x) ? 0 ,得 x2 ? x ? 1 ? 0 ,??????????????????1 分 不妨设 x1 ? x2 .解得 x1 ?

?1 ? 5 ,????????????????2 分 2

x2 ?

?1 ? 5 , ????????????????????????3 分 2

所以 x1 ? x2 ? 5 .???????????????????????4 分

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(Ⅱ) f ( x) 图象是开口向上,对称轴为 x ? ? (1)当 ?

a 为抛物线, 2

????2 分

a ? 1 即 a ? ?2 时, f ? x ?max ? f ? 0 ? ? ?1 ? 0 ,符合题意;??4 分 2 a (2)当 ? ? 1 ,即 a ? ?2 时, 2

3 f ? x ?max ? f ? 2 ? ? 2a ? 3 ? 0 ,故 ?2 ? a ? ? ; 2
综合(1) (2)得 a ? ? 解法二:

?????6 分

3 . ??????????????????8 分 2

解(Ⅰ)令 f ( x) ? 0 ,得 x2 ? x ? 1 ? 0 ,??????????????????1 分 根据一元二次方程根与系数的关系得,

x1 ? x2 ? ?1 ,
x1 ? x2 ? ?1 , ??????????????????????????2 分
故 x1 ? x2 ?

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ,?????????????????3 分

所以 x1 ? x2 ?

5 . ??????????????????????4 分

(Ⅱ) f ( x) 图象是开口向上,对称轴为 x ? ?
2

a 为抛物线, 2

????2 分

因为函数 f ? x ? ? x ? ax ? 1 的图象过定点 ? 0, ?1? . ???????4 分 结合二次函数图象,原题意等价于 f ? 2 ? ? 0 . ??????????6 分 解得 a ? ?

3 . ???????????????????????8 分 2

解法三: 解(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)当 x ? 0 时, f (0) ? ?1 ? 0 成立. ???????????????3 分 当 x ? ? 0, 2? , x2 ? ax ? 1 ? 0 恒成立等价于 a ?

1 ? x2 . ??????5 分 x

考察函数 g ? x ? ?

1 ? x2 1 ? ? x, x x
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在 x ? ? 0, 2? 时, g ? x ? 单调递减,故 g ? x ?min ? g (2) ? ? 故a ? ?

3 , ????7 分 2

3 . ?????????????????????????8 分 2

2016 年新课标全国 I 卷理科数学第 2010 年新课标全国卷理科数学第 变式题源: (20) 题; (21) 题.

19. (本小题满分 12 分) 如 图 , 在 直 四 棱 柱 ABCD ? A1B1C1D1 中 , 底 面
D1 A1 B1 P D A B

C1

ABCD 是梯形, AD∥BC , AC ? BD .
(Ⅰ)求证: AC ? BD1 ; (Ⅱ)若 BC ? 2 AD ,点 P 为线段 BD1 的中点.请在 线段 B1C1 上找一点 Q ,使 A1Q∥ 平面 PCD , 并说明理由.

C

命题意图:本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行(垂直)的判定与性 质;考查空间想象能力、推理论证能力;考查数形结合思想、化归与转化思想.重点检测直观想 象和逻辑推理素养. 导向: 关注推理论证过程的逻辑顺序和规范表达的教学要求,特别是定理条件 的完整性要求. 试题解析: 解(Ⅰ) 在直四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,

DD1 ? 平面 ABCD , AC ? 平面 ABCD ,

? DD1 ? AC , ????????????????????????1 分


AC ? BD , DD1

BD ? D , ???????????????3 分
???????????????????4 分

? AC ? 平面 BB1D1D .

∵ BD ? 平面 BB1D1D ,? AC ? BD . ?????????????5 分 (Ⅱ)线段 B1C1 的中点即为所求的点 Q [或:过 A1 作 D1C1 (或者 DC )平行线交 B1C1 于点

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Q ].

??????????????1 分

理由如下:取线段 B1C1 的中点 Q ,连结 QA1 .

BC ? 2 AD , ? A1 D1 ?
又 又

1 B1C1 , 2
D1 A1 B1 P D C B Q C1

C1Q ?

1 B1C1 ,? A1 D1 ? C1Q . .?7 分 2

在梯形 A1B1C1D1 中, A1D1

C1Q ,

? 四边形 AQC 1 1D 1 是平行四边形.

? AQ 1


C1D1 ,??????????3 分 CD ,

A

C1D1

? AQ 1

CD . ???????????????????????4 分

延长 DP 必过 B1 ,? B1 , D , C , P 四点共面, ∴ Q 不在平面 B1 DC 内,即 A1Q ? 平面 B1 PCD , 又 ??????5 分

CD ? 平面 PCD ,???????????????????6 分

? AQ 平面 PCD .????????????????????7 分 1
2015 年新课标全国 I 卷文科数学第 2014 年新课标全国卷文科数学第 变式题源: (18) 题; (19) 题.

20. (本题满分 12 分) 某公司为了研究年宣传费 x (单位:千元)对销售量 y (单位:吨)和年利润 z (单位:千 元)的影响,搜集了近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi ? i ? 1, 2,...8 ? 数据:

i

1
38
45

2
40
55

3
44
61

4
46
63

5 48
65

6
50
66

7
52
67

8 56
68

x
y

(Ⅰ) 请补齐表格中 8 组数据的散点图, 并判断 y ? a ? bx 与 y ? c ? d x 中哪一个更适宜作
泉州市高中教学质量监测数学 第 13 页(共 18 页)

为年销售量 y 关于年宣传费 x 的函数表达式? (给出判断即可,不必说明理由) (Ⅱ) 若 (Ⅰ) 中的 a ? 7 , b ? 1.2 ,c ? 4.2 ,d ? 0.07 , 且产品的年利润 z 与 x , y 的关系为

z ? 2 0 0y ? x ? x ? ?6 4 ? 32 ,为使年利润值最
大,投入的年宣传费 x 应为何值? 命题意图: 本题主要考查二次函数及几类不同增长的函 数模型以及应用、图、表等基础知识;考查数据处理能力、运算求解能力、推理论证能力、应用 意识;考查数学建模思想、函数与方程思想、数形结合思想. 试题解析: 解: (Ⅰ)补齐的图如下:

?4 分(每画一点给 1 分)

由图判断, y ? c ? d x 更适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的函数表达式.?6 分 (Ⅱ)依题意得, z ? 200 4.2 ? 0.07 x ? x ? 32 ? x ? 64 ? , 化简得 z ? 840 ? 14 x ? x ? 32 ? x ? 64 ? ,
泉州市高中教学质量监测数学 第 14 页(共 18 页)

?

?

?????????2 分

设t ?

x 4 2 ? t ? 8 ,???????????????????????3 分
2

?

?

则有 z ? ?t 2 ? 14 x ? 840 , z ? ? ? t ? 7 ? ? 889 . ????????????4 分 (答)故当 t ? 7 即投入的年宣传费 x ? 49 千元时,年利润取到最大值(最大值为 . ?????????6 分 889 ) 变式题源:2015 年新课标全国卷理科数学第(19)题.

21. (本题满分 12 分) 如图,?ABD 是边长为 2 的正三角形,BC ? 平面 ABD ,

BC ? 4 , E , F 分别为 AC , DC 的中点, G 为线段

AD 上的一个动点.
(Ⅰ) 当 G 为线段 AD 中点时, 证明:EF ? 平面 BCG ; (Ⅱ)判断三棱锥 E ? BGF 的体积是否为定值?(若是, 需求出该定值;若不是,需说明理由. ) 命题意图:本题主要考查空间直线与平面垂直的判定、直线与平面平行的判定和性质、三棱 锥的体积公式;考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力;考查数形结合思想、转化与 化归思想、特殊与一般思想. 试题解析: 解: (Ⅰ) ? 在 ?CAD 中, E , F 分别为 AC , DC 的中点 ? EF

AD .
?????2 分

BC ? 平面 ABD , AD ? 平面 ABD ,? BC ? AD ,

? BC ? EF . ????????????????????????3 分
在正 ?ABD 中, G 为线段 AD 中点, BG ? AD ,

? BG ? EF , ????????????????????????4 分


BG CG ? G ,? EF ? 平面 BCG .????????????6 分

(Ⅱ)三棱锥 E ? BGF 的体积是定值. ????????????????1 分 理由如下:

EF

AD , AD ? 平面 BEF ,? AD 平面 BEF ,???????2 分
泉州市高中教学质量监测数学 第 15 页(共 18 页)

? AD 线上的点到平面 BEF 的距离都相等.

1 1 1 VE ? BGF ? VG ? BEF ? VD ? BEF ? VE ? BCD ? VA? BCD ? VC ? ABD . ??4 分 2 4 4
S ?ABD ? 3 ,又 BC ? 平面 ABD 且 BC ? 4 ,

?VC ? ABD ?

4 3 ,???????????????????????5 分 3

? 三棱锥 E ? BGF 的体积为 3 . ???????????????6 分 3
注: (Ⅱ)中直接按(Ⅰ)的结论求解,当 G 为线段 AD 中点时,三棱锥 E ? BGF 的体 积,答案正确,但未交代 AD 平面 BEF , 只给 3 分.

变式题源:2009 年新课标全国卷文科数学第(9)题;2017 年新课标全国 III 卷理科第(19) 题. 22. (本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中,圆 C 与 y 轴相切于点 P ? 0,1? ,且圆心 C 在直线 x ? 2 y ? 0 上. (Ⅰ)求圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设 M , N 为圆 C 上的两个动点, s ? PM 为定值 ?2 ,试探求 s 的最小值. 命题意图:本题考查直线方程、圆的方程以及几何性质、直线与圆的位置关系以及二次方程 等基础知识;考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力;考查函数与方程思想、数形结 合思想、化归与转化思想. 试题解析: 解法一: 解: (Ⅰ)因为圆 C 与 y 轴相切于点 P ? 0,1? ,所以圆心 C 的纵坐标 yC ? 1 . 因为圆心 C 在直线 x ? 2 y ? 0 上,所以 C ? 2,1? , 又由圆 C 与 y 轴相切,可得圆的半径为 2 .
2 2
2

? PN ,若直线 PM 和 PN 的斜率之积

2

???1 分

??????????2 分

?????????????3 分

所以 C 的方程为: ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 4 . ?????????????4 分 (Ⅱ)依题意,知 M , N 心不与 P 重合, 故不妨设直线 PM 方程为: y ? kx ? 1? k ? 0 ? ,
泉州市高中教学质量监测数学 第 16 页(共 18 页)

?????1 分

因为圆心 C 到直线 PM 的距离为 d ?

2k ? 1 ? 1 1? k 2

?

2k 1? k 2

. ?????2 分

所以 PM

2

? 4k 2 ? 16 ? 4? 4 ? ? 2 ? 2 . ? 1? k ? 1? k
2 , k
PN ?
2

?????3 分

因为直线 PM 和 PN 的斜率之积为定值 ?2 , 所以直线 PN 的斜率为: ? 同 PM 的求解方法,可得
2

16 2 1 ? (? ) 2 k

?

16k 2 k 2 ? 4 ,???????4 分

所以 s ? PM

2

4 2 16 16k 2 16 ? k ? 2k ? 4 ? , ? PN ? ? ? 1? k 2 4 ? k 2 k 4 ? 5k 2 ? 4 2

? ? 3k 2 化简得 s ? 16 ?1 ? 4 ?. 2 ? k ? 5k ? 4 ?
考察 m ? 令t ? k
2
2

????5 分

3k 2 , k 4 ? 5k 2 ? 4
3t ?0. t ? 5t ? 4
2

? t ? 0 ? ,得 m ?

由 mt ? ? 5m ? 3? t ? 4m ? 0 有正数解,且 t1t2 ?

4m ? 4 ? 0, m
????6 分

5m ? 3 ? ? t1 ? t2 ? ? m ? 0, 得? ?? ? ? 5m ? 3?2 ? 16m2 ? 0, ? 1 解得 0 ? m ? . 3
故 s ? 16 ?1 ?

?????????????7 分

? ?

? 3k 2 ? 1 ? 32 . ? ? 16 ?1 ? ? ? 4 2 k ? 5k ? 4 ? ? 3? 3

1 时,可解得 k 2 ? t ? 2 , 3 32 所以当 k ? 2 时, s 取到的最小值 . 3
因为当 m ? 解法二:

??????8 分

解: (Ⅰ)因为圆心 C 在直线 x ? 2 y ? 0 上,所以可设 C ? 2a, a ? ,???????1 分

泉州市高中教学质量监测数学

第 17 页(共 18 页)

因为圆 C 与 y 轴相切,所以圆 C 半径为 2a , 故圆 C : ( x ? 2a)2 ? ( y ? a)2 ? 4a 2 .
2

???????2 分 ???????????3 分
2 2

因为圆 C 经过点 P ? 0,1? ,所以 ? 0 ? 2a ? ? ?1 ? a ? ? 4a ,解得 a ? 1 , 所以圆 C 的方程为: ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 4 .
2 2

?????4 分

? ? ? ? ? ? 3k 2 3 (Ⅱ)同解法一, s ? 16 ? 1 ? 4 .????5 分 ? ? 16 ?1 ? 2 4 ? ? k ? 5k ? 4 ? ? k2 ? 5? 2 ? k ? ? 4 2 令 t ? k ? t ? 0 ? ,考察函数 f ? t ? ? t ? ? 5 ? t ? 0 ? ,可得: t
f ? t ? 在 ? 0, 2? 是单调递减;在 ? 2, ?? ? 是单调递增.
故当 t ? 2 时, f ? t ? 取到最小值 9 .????????????????7 分 所以当两直线的斜率分别为 2 和 ? 2 时, s 取到最小值

32 . ???8 分 3

变式题源:2017 年新课标全国卷文科数学第(20)题;2016 年新课标全国 II 卷文科第(6) 题.

泉州市高中教学质量监测数学

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