2016_2017学年高中数学第三章不等式3.3.2简单的线性规划问题第1课时简单的线性规划问题课件_图文

3.3.2 简单的线性规划问题
第1课时 简单的线性规划问题

自主学习 新知突破

1.了解线性规划的意义. 2.通过实例弄清线性规划的有关概念术语. 3.会用图解法求一些简单的线性规划问题.

医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐.甲种原 料每10 g含5单位蛋白质和10单位铁质,售价3元;乙种原料每

10 g含7单位蛋白质和4单位铁质,售价2元.若病人每餐至少需
要35单位蛋白质和40单位铁质.

[问题1]

设甲、乙两种原料分别用10x g和10y g,为了满

足病人的营养需要.试列出x,y满足的不等关系.
? ?5x+7y≥35, ?10x+4y≥40, ? ?x≥0, ? ?y≥0.

[提示]

[问题2]

若甲种原料售价每10 g 3元,乙种原料售价每10

g 2元,该医院所需费用如何表示?

[提示] 设总费用为z,则z=3x+2y.

线性规划的基本概念
名称
约束条件

意义

不等式(或方程 )组 关于变量x,y的__________ ______ __
欲求最大值或最小值的关于变量x,y的函数解析式

线性约束条件 关于x,y的一次不等式(或方程)组成的

目标函数
可行解

线性目标函数 关于x,y的一次解析式

线性约束条件 的解(x,y) 满足_______________ 可行解 组成的集合 由所有________ 最大值或最小值 的可行解 使目标函数取得__________________

可行域
最优解

线性约束 条件下求线性目标函数的最大值或最 在__________ 线性规划问题 小值问题

求解线性规划问题的注意事项

(1)线性约束条件是指一组对变量x,y的限制条件,它可以
是一组关于变量x,y的一次不等式,也可以是一次方程. (2) 有 时 可 将 目 标函数 z = ax + by 改写成 y = mx + nz 的形

式.将nz看作直线y=mx+nz在y轴上的截距来处理.

(3)目标函数所对应的直线系的斜率,若与约束条件中的某 一约束条件所对应的直线斜率相等,则最优解可能有无数个.

(4)解线性规划问题,正确画出可行域并利用数形结合求最
优解是重要一环,故力求作图准确;而在求最优解时,常把视 线落在可行域的顶点上.

?y-2x≤0, ? 1. 满足条件?x+2y+3>0, ?5x+3y-5<0, ? 为( ) A.3 C.5

的可行域中共有整点的个数

B.4 D.6

解析:

画出可行域,由可行域知有 4 个整点,分别是

(0,0),(0,-1),(1,-1),(2,-2).

答案: B

2.设 x,y

? ?x-3y+5≥0, 满足约束条件? ? ?2x-y≤0,

则目标函数 z=x

+y 的最大值是( A.3 C.5

) B.4 D.6

解析:

画出如图所示的可行域,易知当直线过点(1,2)时

目标函数取最大值3.

答案: A

?y≤2x, ? 3.已知实数 x,y 满足?y≥-2x, ?x≤3, ? 的最小值是________.
解析:
? ?x=3, ? ? ?y=6,

则目标函数 z=x-2y

? ?y=2x, 如图,作出的阴影部分为可行域,由? ? ?x=3



即 A(3,6),经过分析可知直线 z=x-2y 经过 A 点时 z

取最小值-9.

答案: -9

4.若变量 x,y 的最小值.

? ?3≤2x+y≤9, 满足约束条件? ? ?6≤x-y≤9,

求 z=x+2y

解析: 作出可行域如图阴影部分所示,

? ?y=-2x+3, 由? ? ?y=x-9,

解得 A(4,-5).

当直线 z=x+2y 过 A 点时 z 取最小值, 将 A(4,-5)代入, 得 z=4+2×(-5)=-6. 即 z=x+2y 的最小值为-6.

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求线性目标函数的最值
?y≤1, ? 若变量 x,y 满足约束条件?x+y≥0, ?x-y-2≤0, ? -2y 的最大值和最小值.
[思路点拨] 先根据约束条件作出可行域,再平移直线 x

求 z=x

-2y=0 找到最大值点,代入 z=x-2y 可求出最大值.找到最 小值点,代入 z=x-2y 可求出最小值.

[边听边记]

作出可行域如图所示,把 z=x-2y 变形为 y

1 x z z =2-2,得到斜率为2,在 y 轴上的截距为-2,随 z 变化的一 组平行直线.

x z z 由图可知,当直线 y=2-2经过点 A 时,-2最小,即 z 最
? ?x+y=0, 大,解方程组? ? ?x-y-2=0,

得 A 点坐标为(1,-1),所以 zmax

=1-2×(-1)=3. x z z 当直线 y=2-2经过点 C 时,-2最大,即 z 最小,解方程
? ?x+y=0, 组? ? ?y=1,

得 C 点坐标为(-1,1),所以 zmin=-1-2×1=

-3.

求线性目标函数最值问题的一般步骤.

? ?x-y≥-1, ?x+y≤3, 1.设 x,y 满足约束条件? ?x≥0, ? ?y≥0, 值范围为________.

则 z=x-2y 的取

解析: 利用线性规划知识求解. 作出不等式组的可行域,如图阴影部分所示,

作直线 x-2y=0, 并向左上, 右下平移, 当直线过点 A 时, z=x-2y 取最大值;当直线过点 B 时,z=x-2y 取最小值.
? ?x-y+1=0, 由? ? ?x+y-3=0



? ?y=0, B(1,2),由? ? ?x+y-3=0

得 A(3,0).

∴zmax=3-2×0=3,zmin=1-2×2=-3, ∴z∈[-3,3].

答案: [-3,3]

求非线性目标函数的最值
?y≥0, ? 实数 x, y 满足不等式?x-y≥0, ?2x-y-2≥0, ? 的取值范围是________.
[思路点拨] 画出可行域 ―→ 明确目标z的几何意义 ―→

y-1 则 ω= x+1

结合图形找最优解 ―→ 求目标函数的最值

解析: 先作出可行域(如图阴影部 分).目标函数表示的是可行域中 P(x, y)与 M(-1,1)连线的斜率,由图形易 1 求得 kMA=-2.

当 P 在可行域中很远很远的地方时,kMP 有一种与直线 x -y=0 的斜率 1 相等的趋势,但是永远也取不到 1.
? 1 ? y-1 因此 ω= 的取值范围为?-2,1?. x+1 ? ? ? 1 ? 答案: ?-2,1? ? ?

(1) 对形如 z = (x - a)2 + (y - b)2 型的目标函数 均可化为求可行域内的点(x,y)与点(a,b)间的距离平方的最值 问题.

ay+b (2)对形如 z= (ac≠0)型的目标函数,可先变形为 z= cx+d
? b? y-?-a? a ? ? c · ? d? 的形式,将问题转化为求可行域内的点 (x , y) 与 x-?-c ? ? ? ? d b? a ?- ,- ?连线斜率的 倍的范围、最值等.注意斜率不存在的 a? c ? c

y 情况.特别地,当 a=c=1,b=d=0 时,即可对x进行转化然 后求解.

?x-y+2≤0, ? 2.(1)已知变量 x,y 满足约束条件?x≥1, ?x+y-7≤0, ? 最大值为________,最小值为________. ?0≤x≤2, ? (2)已知条件?0≤y≤2, ?x-y≥1, ? 围是________.

y 则x的

则 z=(x-1)2+(y-1)2 的取值范

解析:

(1)由约束条件作出可行域(如图所示),目标函数

y z=x表示坐标(x,y)与原点(0,0)连线的斜率.由图可知,点 C 与 O 连线斜率最大;B 与 O 连线斜率最小,又 B
?5 9? 点坐标为?2,2?, ? ?

9 y C 点坐标为(1,6),所以 kOB=5,kOC=6.故x的最大值为 6,最小 9 值为5.

(2)由约束条件作出可行域如图. 目标函数 z 表示点(x,y)与点 M(1,1) 的距离的平方.由图可知,z 的最小值为点 M 与直线 x-y=1 的距离的平方, 即
?|1-1-1|? ? ?2 1 zmin=? =2. ? 2 ? ?

z 的最大值为点 M(1,1)与点 B(2,0)的距离的平方, 即 zmax=(1-2)2+(1-0)2=2 ∴z
?1 ? 的取值范围为?2,2?. ? ?

答案:

(1)6

9 5

?1 ? (2)?2,2? ? ?

已知目标函数的最值求参数
?2x+y-2≥0, ? 若实数 x, y 满足?y≤3, ?ax-y-a≤0, ? 值为 34,求正实数 a 的值.
[思路点拨] 将点 作出可行域 ―→ 解出各顶点的坐标 ――→ 代入

且 x2+y2 的最大

找出符合条件的点 ―→ 得出结果

[规范解答]

在平面直角坐标系中画出约束 3分

条件所表示的可行域如图(形状不定).

其中直线 ax - y - a = 0 的位置不确定,但它

经过定点A(1,0),斜率为a.
又由于 x2+y2=[ x2+y2]2. 且 x2+y2 的最大值等于 34,

6分

所以可行域中的点与原点的最大值距离等于 34.
? ?2x+y-2=0, 解方程组? ? ?y=3,

1 得 M 的坐标为 x=-2,y=3.

? ?ax-y-a=0, 解方程组? ? ?y=3,

3 得 P 的坐标为 x=a+1,y=3. 又
? 1 ? M?-2,3?,OM= ? ?

8分

1 9+4< 34. 10 分 12 分

∴点

?3 ? P?a+1,3?到原点距离最大. ? ?

?3 ? ∴?a+1?2+9=34,解得 ? ?

3 a=4.

随着对线性规划问题研究的不断深入,出现 了一些线性规划的逆向问题.即已知目标函数的最值,求约束 条件或目标函数中的参数的取值及范围问题.解决这类问题时 仍需要正向考虑,先画可行域,搞清目标函数的几何意义,看

最值在什么位置取得.

?x+2y-3≤0, ? 3.已知变量 x,y 满足的约束条件为?x+3y-3≥0, ?y-1≤0. ?



目标函数 z=ax+y(其中 a>0)仅在点(3,0)处取得最大值, 求a的 取值范围.

解析:

依据约束条件,画出可行域.

1 ∵直线 x+2y-3=0 的斜率 k1=-2,目标函数 z=ax+ 1 y(a>0)对应直线的斜率 k2=-a,若符合题意,则须 k1>k2.即-2 1 >-a,得 a>2.

◎设实数 x,y

? ?1≤x+y≤4, 满足不等式组? ? ?y+2≥|2x-3|.

(1)画出点(x,y)所在平面区域; (2)设 a>-1,在(1)所求的区域内,求函数 z=y-ax 的最大 值和最小值.

【错解】

? ?1≤x+y≤4, (1)? ? ?y+2≥|2x-3|

?1≤x+y≤4, ? ??y+2≥2x-3, ?2x-3≥0 ? ?1≤x+y≤4, ? ?y+2≥3-2x, ?2x-3<0, ?



点(x,y)所在平面区域如图.

(2) 由目标函数 z = y - ax ,即 l :y =ax + z 知,求 z 的最值转 化为求y=ax+z截距的最值.

分析知:当l过C点时,y=ax+z截距最大.
又C(-3,7), ∴zmax=7+3a.

同理当l过A(2,-1)时,zmin=-1-2a.

【错因】

这位同学所求平面区域完全正确.遗憾的是在

求目标函数的最小值时由于分析不彻底导致结果有误.这种参

数与斜率有关的问题,求解时可先作出线性约束条件所表示的
平面区域,充分利用斜率的特征加以转化,一般情况下需分类 讨论,如本题中可将条件a>-1分为-1<a≤2和a>2两种情况分

别求目标函数的最小值,经讨论求解的结果才是完美的答案.

【正解】

(1)已知的不等式组等价于 ?1≤x+y≤4, ? 或?y+2≥3-2x, ?2x-3<0, ?

?1≤x+y≤4, ? ?y+2≥2x-3, ?2x-3≥0, ?

解得点(x,y)所在的平面区域为图中所示的阴影部分(含边 界).其中 AB:y=2x-5;BC:x+y=4;CD:y=-2x+1; DA:x+y=1.

(2)f(x,y)表示直线l:y-ax=k在y轴上的截距,且直线l与 (1)中所求区域有公共点. ∵a>-1,

∴当直线l过顶点C时,f(x,y)最大.
∵C点的坐标为(-3,7), ∴f(x,y)的最大值为7+3a.

如果- 1<a≤2 ,那么当直线 l 过顶点 A(2 ,- 1) 时, f(x , y)
最小,即z最小值为-1-2a. 如果a>2,那么当直线l过顶点B(3,1)时,f(x,y)最小,最小 值为1-3a.


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