2015—2016学年第一学期期中考试高三文科数学试题

保密★启用前 类型:A

试卷

2015—2016 学年第一学期期中考试 高三文科数学试题
注意事项: 1. 本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷为选择题, 第Ⅱ卷为非选择题, 考试时间为 120 分钟, 满分 150 分. 2.把选择题选出的答案标号涂在答题卡上. 3.第Ⅱ卷用黑色签字笔在答题纸规定的位置作答,否则不予评分.

第Ⅰ卷

选择题(共 50 分)

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.

x2 ? lg ? 2 x ? 1? 的定义域是 ( 1.函数 y ? 2? x
A. ? ?



? 1 ? , ?? ? ? 2 ?

B. ? ?

? 1 ? ,2? ? 2 ?

C. ? ?

? 1 1? , ? ? 2 2?

D. ? ??, ?

? ?

1? ? 2?

2.要得到 y ? sin 2 x ? cos 2 x 的图象,只需将 y ? A.向左平移

2 sin 2 x 的图象(



?
4

个单位

B.向左平移

?
8

个单位

C.向右平移

?
4

个单位

D.向右平移

?
8

个单位

n 3.若数列 ?an ?的通项公式是 a n ? (?1) (3n ? 2) ,则 a1 ? a 2 ? ? a10 ? (



A.-12

B.12

C.-15

D.15

4.已知非零向量 a , b 满足 b ? 4 a ,且 a ? (2a ? b) ,则 a 与 b 的夹角为(



A.

?
3

B.

?
2

C.

2? 3

D.

5? 6

5. 设等差数列 ?an ?的前 n 项和为 S n . 若 a1 ? ?11 ,a 4 ? a 6 ? ?6 , 则当 S n 取最小值时,n ? ( ) A.6 B.7 C.8 D.9

6.已知 ? 为第四象限角, sin ? ? cos ? ?

3 ,则 cos 2? = ( 3 5 3
5 9



A.

5 3

B.

5 9

C. ?

D. ?

7. 如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 2 ,点 E 为 BC 的中点,点 F 在边 CD 上,若

AB ? AF ? 2 ,则 AE ? BF ? (
A.3 B .2



C. 3

D. 2

8 . 在 ?ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 分 别 为 a , b , c , S 表 示 ?ABC 的 面 积 , 若

a cos B ? b cos A ? c sin C , 且 S ?
A.30° B.45°

1 2 (b ? c 2 ? a 2 ) ,则 ?B ? ( 4
D.90°



C. 60°

9. 设 f ( x) 是一个三次函数, f ' ( x) 为其导函数, 如图所示是函数 y ? xf ' ( x) 的图像的一部分, 则 f ( x) 的极大值与极小值分别为( A. f (1) 与 f (?1) C. f (?2) 与 f (2) )

B. f (?1) 与 f (1) D. f (2) 与 f (?2)

10 .设 f ( x) 与 g ( x) 是定义在同一区间 ? a, b ? 上的两个函数,若对任意的 x ? ? a, b ? ,都有

则称 f ( x) 和 g ( x) 在 ? a, b ? 上是“密切函数”, 设 | f ( x) ? g ( x) |? 1 , ? a, b? 称为“密切区间”.

f ( x) ? x 2 ? 3 x ? 4 与 g ( x) ? 2 x ? 3 在 ? a, b ? 上是“密切函数”,则它的“密切区间”可以是
( )

A. [1, 4]

B. [2, 4]

C. [2,3]

D. [3, 4]

第Ⅱ卷

非选择题(共 100 分)

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.设单位向量 e1 , e2 ,满足 e1 ? ee ? ?
2

1 ,则 e1 ? 2e2 ? 2




12.已知 f ( x) ? x ? 2 xf ?(1) ,则 f ?(0) ?

?e x ?1 , x ? 1, ? 13.设函数 f ( x) ? ? 1 ,则使得 f ( x) ? 2 成立的 x 的取值范围是 3 ? ? x , x ? 1,



2 14.已知各项不为 0 的等差数列 ?an ? 满足 2a3 ? a 7 ? 2a11 ? 0 ,数列 ?bn ? 是等比数列,且

b7 ? a 7 ,则 b6 b8 ?
15.给出下列命题: ①函数 y ? cos( x ?



2 3

?
2

) 是奇函数;

②存在实数 ? ,使得 sin ? ? cos ? ?

3 ; 2

③若 ? , ? 是第一象限角,且 ? ? ? ,则 tan ? ? tan ? ; ④x ?

?
8

是函数 y ? sin( 2 x ?

5? ) 的一条对称轴; 4

⑤函数 y ? sin( 2 x ? 其中正确的序号为

?

?? ? ) 的图象关于点 ? ,0 ? 成中心对称图形. 3 ? 12 ?


三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 ?ABC 中 , a、b、c 分 别 是 角 A、B、C 的 对 边 , 且

cos B b . ?? cos C 2a ? c
(1)求角 B 的大小; (2)若 b ? 3 ,求 ?ABC 面积的最大值.

17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ? (1)求函数 f ( x) 的最小值和最小正周期;

1 ,x?R . 2

( 2 ) 已 知 ?ABC 内 角 A、B、C 的 对 边 分 别 为 a、b、c , 且 c ? 3, f (C ) ? 0 , 若 向 量

?? ? m ? (1,sin A) 与 n ? (2,sin B) 共线,求 a、b 的值.

18. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ?的公差 d ? 0 , 前 n 项和为 S n . 若 a1 ? 6 , 且 a2 , a7 , a22 成等比数列. (1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)设数列 ?

?1? 1 3 ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: ? Tn ? . 6 8 ? Sn ?

19. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 各项均为正数, 其前 n 项和 S n 满足 4 S n ? an ? 2an ? 1
2

( n ? N? ) . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足: bn ? a n ? 2
an ?1 2



求数列 ?bn ? 的前 n 项和 ?n .

20. (本小题满分 13 分)已知椭圆 C: 2 ?

x2 a

y2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1、F2 , b2

离心率为

3 ,过点 F2 的直线交椭圆 C 于 A、B 两点,且 ?AF1 B 的周长为 4 3 . 3

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2) 若过定点 M( 的动直线 l 与椭圆 C 相交 P,Q 两点, 求 ?OPQ 的面积的最大值 (O 0,?2) 为坐标原点) ,并求此时直线 l 的方程.

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? (a ? ) x 2 ? ln x . (a?R ) (1)当 a ? 0 时,求 f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (2)若在区间(1,+∞)上,函数 f ( x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方,求 a 的取值范围; (3)设 g ( x) ? f ( x) ? 2ax , h( x) ? x 2 ? 2bx ?

1 2

2 19 .当 a ? 时,若对于任意 x1 ? (0,2) , 6 3

存在 x 2 ? [1,2] ,使 g ( x1 ) ? h( x 2 ) ,求实数 b 的取值范围.

2015—2016 学年第一学期期中考试 高三文科数学试题答案
B BD C A A DB C C 11. 3 2 16.(1) B= π. 3 12. -4 (2) 13. ? ??,8? 14. 16 15. ①④

3 3 4

17.(1) f ( x) 的最小值为 ?2 ,最小正周期为 ? .

(2) ?

?a ? 3 . ?b ? 2 3

18. (1) an ? 4n ? 2(n ? N * ) .

3 1 1 1 ? ( ? ). 8 4 n ?1 n ? 2 1 1 3 因为 ? ? 0 ,所以 Tn ? . n ?1 n ? 2 8 1 1 1 1 因为 Tn?1 ? Tn ? ( ? ) ? 0 ,即 ?Tn ?是递增数列,所以 Tn ? T1 ? . 4 n ?1 n ? 3 6 1 3 所以 ? Tn ? . 6 8
(2) Tn = 19. (1) an ? 2n ? 1 (2) bn ? an ? 2 20.(1)
an -1 2

? (2n ? 1) ? 2n ?1 ?Tn ? 3 ? (2n ? 3) ? 2n .

x2 y 2 6 ? ? 1 (2) S max ? , y ? ? 2x ? 2 3 2 2

21. (1) y ? ?

1 2
1 2

(2)令 g ( x) ? f ( x) ? 2ax ? (a ? ) x 2 ? 2ax ? ln x ,则 g ( x) 的定义域为(0,+∞). 在区间(1,+∞)上,函数 f ( x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方等价于 g ( x) ? 0 在区间(1, +∞)上恒成立.

g ?( x) ? (2a ? 1) x ? 2a ?
①若 a ?

1 (2a ? 1) x 2 ? 2ax ? 1 ( x ? 1)[(2a ? 1) x ? 1] ? ? x x x ①

1 1 ,令 g ?( x) ? 0 ,得极值点 x1 ? 1 , x2 ? 2 2a ? 1 1 当 x2 ? x1 ? 1 ,即 ? a ? 1 时,在( 0 ,1)上有 g ?( x) ? 0 ,在(1, x 2 )上有 g ?( x) ? 0 ,在 2
( x2 , +∞) 上有 g ?( x) ? 0 ,此时 g ( x) 在区间 ( x2 , +∞) 上是增函数,并且在该区间上有

g ( x) ∈( g ( x2 ) , ? ? ),不合题意;
当 x2 ? x1 ? 1 ,即 a ? 1 时,同理可知, g ( x) 在区间(1, ? ? )上,有

g ( x) ∈( g (1) , ? ? ),也不合题意;
② 若a ?

1 ,则有 2a ? 1 ? 0 ,此时在区间(1,+∞)上恒有 g ?( x) ? 0 , 2

从而 g ( x) 在区间(1,+∞)上是减函数; 要使 g ( x) ? 0 在此区间上恒成立,只须满足 g (1) ? ? a ? 围是[ ?

1 1 ? 0 ? a ? ? ,由此求得 a 的范 2 2

1 1 , ]. 2 2 1 1 , ]时,函数 f ( x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方. 2 2

综合①②可知,当 a ∈[ ? (3)当 a ?

2 时,由(Ⅱ)中①知 g ( x) 在( 0 ,1)上是增函数,在(1,2)上是减函数,所以对 3 7 任意 x1 ? (0,2) ,都有 g ( x1 ) ? g (1) ? ? , 6 19 7 又已知存在 x 2 ? [1,2] ,使 g ( x1 ) ? h( x 2 ) ,即存在 x 2 ? [1,2] ,使 x 2 ? 2bx ? ? ? ,即存在 6 6 13 13 x 2 ? [1,2] , 2bx ? x 2 ? ,即存在 x 2 ? [1,2] ,使 2b ? x ? . 3 3x 13 25 16 16 8 因为 y ? x ? ? [ , ]( x ? [1,2]) ,所以 2b ? ,解得 b ? ,所以实数 b 的取值范围是 3x 6 3 3 3 8 (??, ] . 3


相关文档

徐州市2015-2016学年度第一学期期中考试高三数学试题
2015—2016学年第一学期期中考试高三理科数学试题
2015_2016学年第一学期高三第一次模拟考试文科数学试题
华罗庚中学2015-2016学年度第一学期期中考试高二文科数学试题
集宁一中2015-2016学年第一学期期中考试高二年级文科数学试题
淄博一中2015-2016学年度第一学期期中模块考试 高三数学试题(文科)
高二数学-2015-2016学年高二下学期期中考试文科数学试题
唐山一中2014~2015学年第一学期高三年级期中考试 文科数学试题
商洛市2015——2016学年第一学期期末高中教学质量测试试题高三文科数学试题
徐州市2015-2016高三第一学期期中考试数学试题答案含附加
电脑版