2019_2020高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.2一般形式的柯西不等式学案新人教A版选修4_5

3.2 一般形式的柯西不等式

预习案
一、预习目标及范围 1.掌握三维形式和多维形式的柯西不等式. 2.会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题.

二、预习要点

教材整理 1 三维形式的柯西不等式

设 a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R,则(a21+a22+a23)·(b21 +b22+b23)≥

.当且仅当

或存在一个数 k,使得 ai=kbi(i=1,2,3)时,等号成立.我

们把该不等式称为三维形式的柯西不等式.

教材整理 2 一般形式的柯西不 等式

设 a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn 是实数,则

(a

21+

a

2 2







a

2 n

)(b

2 1



b

2 2







b

2 n

)≥

.当且仅当 bi=0(i=

1,2,…,n)或存在一个数 k,使得 ai= (i=1,2,…,n)时,等号成立.

三、预习检测 1.已知 x,y,z∈R +且 x+y+z=1,则 x2+y2+z2 的最小值是( )

A.1

B.13

C.23

D.2

2.已知 a21+a22+…+a2n=1,x21+x22+…+x2n=1,则 a1x1+a2x2+…+anxn的最大值是( )

A.1

B.2

C.3

D.4

3.设 a,b,c 为正数,则(a+b+c)???4a+9b+3c6???的最小值为________.

探究 案

一、合作探究

题型一、利用柯西不等式求最值 例 1 已知 a,b,c∈(0,+∞),1a+2b+3c=2,求 a+2b+3c 的最小值及取得最小值时 a,b ,c 的值. 【精彩点拨】 由于1a+2b+3c=2,可考虑把已知条件与待求式子结合起来,利用柯西不 等式求解.

[再练一题] 1.已知 x+4y+9z=1,求 x2+y2+z2 的最 小值.
1

题型二、运用柯西不等式求参数的取值范围 例 2 已知正数 x,y,z 满足 x+y+z=xyz,且不等式x+1 y+y+1 z+z+1 x≤λ 恒成立, 求 λ 的取值范围.
111 【精彩点拨】 “恒成立”问题需求x+y+y+z+z+x的最大值,设法应用柯西不等式 求最值.
[再练一题] 2.已知实数 a,b,c,d 满足 a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5,试求 a 的取值范 围.

题型三、利用柯西不等式证明不等式
例 3 已知 a,b,c∈R+,求证:???ab+bc+ca???ba+cb+ac≥9.

【精 彩点拨】 对应三维形式的柯西不等式,a1=

ab,a2=

bc,a3=

ca,b1=

b a,

b2= cb,b3= ac,而 a1b1=a2b2=a3b3=1,因而得证.

[再练一题] 3.已知函数 f(x)=m-|x-2|,m∈R,且 f(x+2)≥0 的解集为[-1,1]. (1)求 m 的值; (2)若 a,b,c∈R+,且1a+21b+31c=m,求证:a+2b+3c≥9.

二、随堂检测 1.设 a=(-2,1,2),|b|=6,则 a·b 的最小值为( )

A.18

B .6

C.-18

D.122.若

a2 1

+a22+…+a 2n=1,b21+b22+…+b2n=4,则 a1b1+a2b2+…+anbn 的取值范围是(

)

A.(-∞,2)

B.[-2,2]

C.(-∞,2]

D.[-1,1]

3.设 a,b,m,n∈R,且 a2+b2=5,ma+nb=5,则 m2+n2的最小值为________.

2

参考答案

预习检测: 1.【解析】 根据柯西不等式,x2+y2+z2=13(12+12+12)·(x2+y2+z2)≥13(1×x+1×y

+1×z)2=13(x+y+z)2=13.

【答案】 B

2.【解析】 (a1x1+a2x2+…+anxn)2≤(a21+a22+…+a2n)(x21+x22+…+x2n)=1×1=1,当 且仅当xa11=xa22=…=xann=1 时取等号,
∴a1x1+a2x2+…+anxn 的最大值是 1. 【答案】 A

3.【解析】 由 a,b,c 为正数,

∴(a+b+c)???4a+9b+3c6???

=[( a)2+( b)2+( c)2]?????? 2a???2++??? 3b???2+??? 6c???2???

≥???

a· 2 + a

b· 3 + b

c· 6c???2=121,

当且仅当a2=b3=c6=k (k>0)时等号成立.

故(a+b+c)???4a+9b+3c6???的最小值是 121.

【答案】 121

随堂检测: 1.【解析】 |a·b|≤|a||b|, ∴|a·b|≤18. ∴-18≤a·b≤18,当 a,b 反向时,a·b 最小,最小值为-18. 【答案】 C 2.【解析】 ∵(a21+a22+…+a2n)(b21+b22+…+b2n)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2, ∴(a1b1+a2b2+…+anbn)2≤4, ∴|a1b1+a2b2+…+anbn|≤2, 即-2≤a1b1+a2b2+…+anbn≤2, 当且仅当 ai=12bi(i=1,2,…,n)时,右 边等号成立;

3

当且仅当 ai=- 12bi(i=1,2,…,n)时,左边等号成立,故选 B. 【答案】 B 3.【解析】 根据柯西不等式(ma+nb)2≤(a2+b2)(m2+n2),得 25≤5(m2+n2),m2+n2≥5, m2+n2的最小值为 5. 【答案】 5
4


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