2015年2月宁德市质检卷 理数word版含答案

2015 年宁德市普通高中毕业班单科质量检查

数学(理科)试卷
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.本卷满分 150 分,考试时 间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框) 内作答,超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号; 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 4.保持答题卡卡面清楚,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 样本数据 x1 , x 2 ,
s?

, x n 的标准差
2 ? ? xn ? x ? ? ?

锥体体积公式
1 V ? Sh 3

1? 2 2 ? x1 ? x ? ? ? x2 ? x ? ? ? n

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式
V ? Sh

其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积、体积公式
S ? 4?R 2 , V ?

4 3 ?R 3

其中 S 为底面面积, h 为高

其中 R 为球的半径

第 I 卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集 U ? R , 集合 A ? {2, 3, 4, 5} ,B ? {x | x ? 3} , 则满足 m ? A 且 m ? B 的实数 m 所 组成的集合为 A. {2} B. {3} C. {4, 5} D. {2, 3}

2.命题“若 x ? ?1 ,则 x 2 ? x ? 2 ? 0 ”的逆否命题是 A.若 x ? ?1 ,则 x 2 ? x ? 2 ? 0 C.若 x ? ?1 ,则 x 2 ? x ? 2 ? 0 B.若 x 2 ? x ? 2 ? 0 ,则 x ? ?1 D.若 x 2 ? x ? 2 ? 0 ,则 x ? ?1

理科数学试题 第 1 页 共 15 页

3. 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关, 对本班 50 人进行了问卷调查得到了下表: 喜爱打篮球 男生 女生 合计 19 9 不喜爱打篮球 6 16 合计 25 25

28 22 50 2 根据表中的数据及随机变量 ? 的公式,算得 ? 2 ? 8.12 . 临界值表: P(χ2≥k) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879

0.001 10.828

根据临界值表,你认为喜爱打篮球与性别之间有关系的把握是 A.97.5% B.99% C.99.5% D.99.9%
开始

4.某公司将 4 名新招聘的员工分配至 3 个不同 的部门,每个部门至少分配一名员工.其中 甲、乙两名员工必须在同一个部门的不同分 配方法的总数为 A.6 B.12 C.24 D.36

x ?1, y ? 0

x ? 2x , y ? y ? 1


5.运行如图所示的程序框图,则输出的所有实数对
( x, y ) 所对应的点都在函数 y ? 4?
否 结束 输出 ( x , y )

A. y ? x ? 1 的图象上 B. y ? x ? 1 的图象上 C. y ? 2x ?1 ? 1 的图象上 D. y ? log 2 x 的图象上 6.若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 且 z ? 2 x ? y 的
? y ? ?1, ? 最大值和最小值分别为 m 和 n ,则 m ? n 等于 ? y ? x, ?
2

2 正视图

侧视图

A.8

B.7

C.6

D.5
π 3

7.已知某几何体的三视图如图所示,则它的体积是 5? ? 4? A. B. C. ? D. 3 3 3

俯视图

理科数学试题 第 2 页 共 15 页

8.已知函数 f ( x) ? 2 3sin(? ? x) ? cos x ? 1 ? 2cos2 x ,其中 x ? R ,则下列结论中正确的是 ? A. f ( x) 的一条对称轴是 x ? 2 ? ? B. f ( x) 在 [? , ] 上单调递增 3 6 C. f ( x) 是最小正周期为 ? 的奇函数 D.将函数 y ? 2sin 2 x 的图象左移

? 个单位得到函数 f ( x) 的图象 6

9 . 已 知 O 为 坐 标 原 点 , 向 量 OA ? (1,0) , OB ? (?1,2) . 若 平 面 区 域 D 由 所 有 满 足 ( ?2 ? ? ? 2 , ?1 ? ? ? 1 )的点 C 组成,则能够把区域 D 的周长和面 OC ? ? OA ? ? OB 积同时分为相等的两部分的曲线是 A. y ?

1 x 5? x 5? x

B. y ? x ? cos x D. y ? e x ? e? x ? 1

C. y ? ln

10.斜率为 k ( k ? 0) 的两条直线分别切函数 f ( x) ? x3 ? (t ? 1) x2 ? 1 的图象于 A , B 两点.若 直线 AB 的方程为 y ? 2 x ? 1 ,则 t ? k 的值为 A.8 B.7 C.6 D.5

第 II 卷

(非选择题共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置. 11.已知复数 z ? i(1 ? i) ( i 是虚数单位),则 z 的模 z ? _______. 12.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品,产品数量之比为 3∶5∶7, 现用分层抽样的方法抽出容量为 n 的样本, 其中乙 种产品有 30 件,则样本容量 n=________. 13.如图,直线 y ? kx (k ? 0) 与函数 y ? x 2 的图象交于点 O , P , 过 P 作 PA ? x 轴于 A .在 ?OAP 中任取一点,则该点落在阴
O A x P y

影部分的概率为________.

b 14.已知长方体从同一顶点出发的三条棱长分别为 a , b, c ,且 a, , c 成等差数列.若其对角 2
线长为 6 ,则 b 的最大值为________. 理科数学试题 第 3 页 共 15 页

15.如图, ?A0 B1 A1 , ?A1 B2 A2 , L , ?An ?1 Bn An 均为 等腰直角三角形, 其直角顶点 B1 , B2 , Bn (n ? N ) L ,
*

y

1 在曲线 y ? ( x ? 0) 上, A0 与坐标原点 O 重合, x
Ai (i ? N ) 在 x 轴正半轴上.设 Bn 的纵坐标为 yn ,
*

B1 B2 O(A0) A1 A2 B3 A3 x

则 y1 ? y2 ? L ? yn ? ________.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 13 分) 某渔池年初放养一批鱼苗,为了解这批鱼苗的生长、 健康状况,一个月后,从该渔池中随机捞出 n 条鱼称其 重量(单位:克) ,并将所得数据进行分组,得到如右频 率分布表. (Ⅰ)求频率分布表中的 n , x , y 的值; (Ⅱ)从捞出的重量不超过 100 克的鱼中,随机抽取 3 条 作病理检测,记这 3 条鱼中,重量不超过 90 克的鱼的条 数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

分组 (80,90] (90,100] (100,110] (110,120] (120,130] (130,140] (140,150] 合计

频数 3 7
x

频率 0.03 0.07 0.10
y

20 35 20 5

0.35 0.20 0.05 1.00

n

17.(本小题满分 13 分) 已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 2 ,且 an?1 ? 1 an ? 2 ? ( 1 )n?1 .
3 3 3

(Ⅰ)求证:数列 3n ? an 是等差数列; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn .

?

?

理科数学试题 第 4 页 共 15 页

18.(本小题满分 13 分) 如图 (1) 所示, 直角梯形 ABCD 中,?BCD ? 90 ,AD // BC ,AD ? 6 ,DC ? BC ? 3 . 过

B 作 BE ? AD 于 E , P 是线段 DE 上的一个动点.将 ?ABE 沿 BE 向上折起,使平面
) . AEB ? 平面 BCDE .连结 PA , PC , AC (如图(2) (Ⅰ) 取线段 AC 的中点 Q , 问: 是否存在点 P , 使得 PQ // 平面 AEB ?若存在, 求出 PD 的长;不存在,说明理由;

2 (Ⅱ)当 EP ? ED 时,求平面 AEB 和平面 APC 所成的锐二面角的余弦值. 3 A
A E P

?

D

E B C 图(1)
19. (本小题满分 13 分)

Q

P

D

B 图(2)

C

某供货商拟从码头 A 发货至其对岸 l 的两个商场 B , C 处, 通常货物先由 A 处船运至 BC 之间的中转站 D ,再利用车 辆转运.如图,码头 A 与两商场 B , C 的距离相等,两商 场间的距离为 20 千米,且 ?BAC ?
? .若一批货物从码头 A 2

l

B

D

C

A 至 D 处的运费为 100 元/千米,这批货到 D 后需分别发车 2 辆、 4 辆转运至 B 、C 处, 每辆汽车运费为 25 元/千米. 设 ?ADB ? ? , 该批货总运费为 S 元. (Ⅰ)写出 S 关于 ? 的函数关系式,并指出 ? 的取值范围; (Ⅱ)当 ? 为何值时,总运费 S 最小?并求出 S 的最小值. 20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax 2 ? 2 x ? ln x(a ? R) . (Ⅰ)若 a ? 4 ,求函数 f ( x) 的极值; (Ⅱ)若 f ?( x) 在 (0,1) 有唯一的零点 x 0 ,求 a 的取值范围;
1 (Ⅲ)若 a ? (? , 0) ,设 g ( x) ? a(1? x)2 ? 2x ? 1? ln(1? x ),求证: g ( x) 在 (0,1) 内有唯一 2 的零点 x1 ,且对(Ⅱ)中的 x 0 ,满足 x0 ? x1 ? 1 .

理科数学试题 第 5 页 共 15 页

21.(本小题满分 14 分) 本题设有(1) 、 (2) 、 (3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题做答,满分 14 分,如 果多做,则按所做的前两题计分,做答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 号涂黑,并将所选题号填入括号中. (1)选修 4-2:矩阵与变换(本小题满分 7 分)
?1? 已知二阶矩阵 A 有特征值 ?1 ? 1 , ?2 ? 2 ,其对应的一个特征向量分别为 e1 ? ? ? , ?1? ?1? e2 ? ? ? . ? 0?

(Ⅰ)求矩阵 A; (Ⅱ)求圆 C : x 2 ? y 2 ? 1 在矩阵 A 所对应的线性变换作用下得到曲线 C ? 的方程.

(2)选修 4-4 参数方程与极坐标(本小题满分 7 分) ? x ? 2sin ? , ? (? 是参数 ) 相交于 A , 已知倾斜角为 , 过点 P (1,1) 的直线 l 与曲线 C:? 6 ? y ? 2 ? 2cos ?

B 两点.
(Ⅰ)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的普通方程; (Ⅱ)求 PA ? PB 的值.

(3)选修 4-5:不等式选讲(本小题满分 7 分) 在空间直角坐标系 O ? xyz 中,坐标原点为 O , P 点坐标为 ( x, y, z ) . (Ⅰ)若点 P 在 x 轴上,且坐标满足 2 x ? 5 ? 3 ,求点 P 到原点 O 的距离的最小值; (Ⅱ)若点 P 到坐标原点 O 的距离为 2 3 ,求 x ? y ? z 的最大值.

2015 年宁德市普通高中毕业班单科质量检查 数学(理科)试题参考答案及评分标准
说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解法不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分 理科数学试题 第 6 页 共 15 页

细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度,可视影响的 程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的 解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本题考查基础知识和基本运算,每小题 5 分,满分 50 分. 1. D 2. B 3. C 4. A 5. D 6. C 7. A 8. B 9. C 10. B 二、填空题:本题考查基础知识和基本运算,每小题 4 分,满分 20 分. 1 11. 2 12. 90 13. 14. 2 15. n 3 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. 本小题主要考察概率统计的基础知识,考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解 能力及应用意识,考查或然与必然的思想,满分 13 分. 3 解: (Ⅰ)依题意, ? 0.03 , ………………………………………1 分 n ∴ n ? 100 . ………………………………………………2 分 ∴ x ? 100 ? 0.10 ? 10 , …………………………………………3 分 20 ……………………………………………4 分(Ⅱ)依题 y? ? 0.20 . 100 意, ? 的所有可能取值为 0,1,2,3, …………5 分
P(? ? 0) ? P(? ? 2) ?
3 C7 35 ? , 3 C10 120 1 C32C7 21 ? , 3 C10 120

P(? ? 1) ?

1 2 C3 C7 63 ? , 3 C10 120 3 C3 1 ? , 3 C10 120

P(? ? 3) ?

…………9 分

(说明:以上 4 个式子,每个 1 分) 故 ? 的分布列为 ? 0 P

7 24

1 21 40

2 7 40

3 1 120 …………11 分

所以 ? 的数学期望 E(? ) ? 0 ? 1?

63 21 1 …………12 分. ? 2? ? 3? 120 120 120

9 . …………………………………13 分 10 17. 本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识,考查抽象概括能力,推理论证能力, 运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想.满分 13 分. ?
解法一: (Ⅰ)令 bn ? 3n ? an ,………………………………………………1 分 则 bn?1 ? bn ? 3n?1 ? an?1 ? 3n ? an …………………………………………2 分

理科数学试题 第 7 页 共 15 页

1 1 ? 3n?1 ( an ? 2 ? ( )n?1 ) ? 3n ? an 3 3
? 3n ? an ? 2 ? 3n ? an ? 2

……… ………………………3 分

………………………………………4 分

∴数列 ?bn ? 为公差为 2 的等差数列. 即数列 3n ? an 是公差为 2 的等差数列. ……………………………5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,数列 ?bn ? 为公差为 2 的等差数列, b1 ? 3 ? a1 ? 2 , ∴ bn ? b1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ∴ an ? ∴ Sn ? ……………………………………………6 分

?

?

2n . …………………………………………………………7 分 3n 2 4 6 ? ? ? 3 32 33 ? 2n ,……………① 3n ?
…………………8 分

1 2 4 6 ∴ Sn ? 2 ? 3 ? 4 ? 3 3 3 3

2n ,……………②……………………9 分 3n?1

2 2 2 2 ①-②得 Sn ? ? 2 ? 3 ? 3 3 3 3
1 1 ∴ Sn ? 1 ? ? 2 ? 3 3
? 1? ( 1 ?

?

2 2n , ? 3n 3n?1

……………………10 分

?

1 n ? 3n?1 3n

1 ) 3n ? n 1 3n 1? 3

……………………………………12 分

? ?

3 3 n ? ? n n 2 2?3 3 3 2 n? 3 . ? 2 2? n 3
………………………………………13 分

解法二: (Ⅰ)∵ an ?1 ?

1 1 an ? 2 ? ( ) n ?1 , 3 3

∴ 3n?1 ? an?1 ? 3n ? an ? 2 ,……………………………………3 分 ∴ 3n?1 ? an?1 ? 3n ? an ? 2 , …………………………………4 分 ∴数列 3n ? an 是公差为 2 的等差数列. ……………………5 分 理科数学试题 第 8 页 共 15 页

?

?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知:数列 3n ? an 是公差为 2 的等差数列, ∴ 3n ? an ? 3a1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n , ∴ an ?

?

?

2n .……………………7 分 3n

以下同法一 18. 本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力、 推理论证能力和运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.满分 13 分. 解: (Ⅰ)存在.当 P 为 DE 的中点时,满足 PQ // 平面 AEB .………1 分 取 AB 的中点 M ,连结 EM , QM .
1 由 Q 为 AC 的中点,得 MQ // BC ,且 MQ ? BC ,……2 分 2 1 又 PE // BC ,且 PE ? BC , 2 所以 PE // MQ , PE =MQ ,

A

M E B

Q

所以四边形 PEMQ 为平行四边形,……………………3 分 故 ME // PQ .……………………………………………4 分 又 PQ ? 平面 AEB , ME ? 平面 AEB , 所以 PQ // 平面 AEB . ………………………………5 分

P

D

C

3 从而存在点 P ,使得 PQ // 平面 AEB ,此时 PD= .……………… 6 分 2 z A (Ⅱ)由平面 AEB ? 平面 BCDE ,交线为 BE ,且 AE ? BE ,
所以 AE ? 平面 BCDE ,又 BE ? DE ,………………………………7 分 以 E 为原点,分别以 EB, ED, EA 为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间 直角坐标系(如图) ,则 E (0,0,0) , B(3,0,0) , A(0,0,3) , P(0, 2,0) , C (3,3,0) .…………………………………………………………8 分
PC ? (3,1,0) , PA ? (0, ?2,3) .…………………………………9 分

Q E

P

D y

B x

C

平面 AEB 的一个法向量为 n1 ? (0,1,0) , ……………………10 分 设平面 APC 的法向量为 n2 ? ( x, y, z) ,

?n ? PC ? 0, ?3x ? y ? 0, ? 由? 2 得? ??2 y ? 3z ? 0. ? ?n2 ? PA ? 0,

………………………………………11 分

取 y ? 3 ,得 n2 ? (?1,3, 2) , ……………………………………………12 分 理科数学试题 第 9 页 共 15 页

所以 cos n1 , n2 ?

3 14 ? 1

?

3 14 , 14
3 14 .……………13 分 14

即面 AEB 和平面 APC 所成的锐二面角的余弦值为

19. 本题主要考查三角函数的恒等变换、解三角形、函数与导数等基础知识,考查推理论 证能力、抽象概括能力和运算求解能力,考查应用意识,考查数形结合思想、函数与方程 思想、化归与转化思想.满分 13 分. 解法一: (Ⅰ)依题意,在 Rt ?ABC 中, 2 AB 2 ? 202 , ∴ AB ? 10 2 .………………………………………………………1 分
?? ? 2 ? ? , ?ADB ? ? , 2 4

又∵在 ?ABD 中, ?ABD ? 由

AD AB 10 ? ,得 AD ? ? sin ? sin ? sin 4 BD

………………………………2 分

AB ? 由 ,得 BD ? ? sin[? ? (? ? )] sin ? 4

? 10 2 sin(? ? ) 4 ,…………3 分 sin ?

? 10 2 sin(? ? ) 4 . …………………………………4 分 ∴ CD ? 20 ? sin ?

∴ S ? AD ? 100 ? BD ? 25 ? 2 ? CD ? 25 ? 4 ………………………5 分
10 ? ? 100 ? sin ? ? ? 10 2 sin(? ? ) 10 2 sin(? ? ) 4 ? 50 ? [20 ? 4 ] ? 100 sin ? sin ?

? 1000 ? 500 2 sin(? ? ) 4 ? 2000 ? sin ?
? ? 3? ? 其中 ? 的取值范围是 ? , ? . ?4 4 ?

………………………6 分

…………………………7 分

? 1000 ? 500 2 sin(? ? ) 4 (Ⅱ)由(Ⅰ) S ? 2000 ? sin ?

? 1500 ? 500 ?

2 ? cos ? , …………………………8 分 sin ?

理科数学试题 第 10 页 共 15 页

令 f (? ) ? ∴ f ?(? ) ?

2 ? cos ? , sin ?

sin ? ? sin ? ? cos? (2 ? cos? ) 1 ? 2cos ? ,……………9 分 ? sin 2 ? sin 2 ?
1 ? ? 3? ? ,又∵ ? ? ? , ? , 2 ?4 4 ?

由 f ?(? ) ? 0 得: cos ? ? ∴? ?

? . …………………………………………………………10 分 3

?? ?? 当 ? ? ? , ? 时, f ?(? ) ? 0 , ?4 3? ? ? 3? ? 当 ? ? ? , ? 时, f ?(? ) ? 0 , …………………………………11 分 ?3 4 ? 1 2? ? 2 ? 3 . …………………………………12 分 ∴ f (? )min ? f ( ) ? 3 3 2 ∴ Smin ? 1500 ? 500 3 (元) ,

∴当 ? ?

? 时,运输费用 S 的最小值为 (1500 ? 500 3) 元.……………13 分 3

20. 本题考查函数与导数等基本知识,考查推理论证能力和运算求解能力,考查函数与方 程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想,考查运用数学知识分析和解决问题的能 力,满分 14 分. 解法一: (Ⅰ)当 a ? 4 时, f ( x) ? 4 x2 ? 2 x ? ln x , x ? (0, ??) ,
1 8x2 ? 2 x ?1 (4x ?1)(2x ? 1) .…………………1 分 ? ? x x x 1 由 x ? (0, ??) ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? . 4 当 x 变化时, f ?( x) , f ( x) 的变化如下表: f ?( x) ? 8x ? 2 ?
x
f ?( x) f ( x)

1 (0, ) 4 ?

1 4

1 ( , ??) 4

0 极小值

+

1 1 故函数 f ( x) 在 (0, ) 单调递减,在 ( , ??) 单调递增,…………………3 分 4 4 1 3 f ( x) 有极小值 f ( )= + ln 4 ,无极大值.………………………………4 分 4 4

1 2ax2 ? 2 x ?1 (Ⅱ) f ?( x) ? 2ax ? 2 ? ? , x x

理科数学试题 第 11 页 共 15 页

令 f ?( x) ? 0 ,得 2ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ,设 h( x) ? 2ax2 ? 2 x ? 1 . 则 f ?( x) 在 (0,1) 有唯一的零点 x 0 等价于 h( x) 在 (0,1) 有唯一的零点 x 0 当 a ? 0 时,方程的解为 x ?
1 ,满足题意;…………………………5 分 2

当 a ? 0 时,由函数 h( x) 图象的对称轴 x ? ?

1 ? 0 ,函数 h( x) 在 (0,1) 上单调递增, 2a

且 h(0) ? ?1 , h(1) ? 2a ? 1 ? 0 ,所以满足题意;……………………6 分
1 当 a ? 0 , ? ? 0 时, a ? ? ,此时方程的解为 x ? 1 ,不符合题意; 2 当 a ? 0 , ? ? 0 时,由 h(0) ? ?1 , 1 只需 h(1) ? 2a ? 1 ? 0 ,得 ? ? a ? 0 .……………7 分 2 1 综上, a ? ? .…………………8 分 2

(说明: ? ? 0 未讨论扣 1 分) (Ⅲ)设 t ? 1? x ,则 t ? (0,1) ,
p(t ) ? g (1 ? t ) ? at 2 ? 2t ? 3 ? ln t ,…………………9 分

1 2at 2 ? 2t ?1 , p?(t ) ? 2at ? 2 ? ? t t
1 由 a ? (? ,0) ,故由(Ⅱ)可知, 2 2 方程 2at ? 2t ? 1 ? 0 在 (0,1) 内有唯一的解 x 0 , 且当 t ? (0, x0 ) 时, p ?(t ) ? 0 , p (t ) 单调递减;
t ? ( x0 ,1) 时, p ?(t ) ? 0 , p (t ) 单调递增.…………………11 分

又 p(1)=a ? 1 ? 0 ,所以 p( x0 ) ? 0 .…………………12 分 取 t ? e?3? 2 a ? (0,1) , 则 p(e?3? 2a )=ae?6? 4a ? 2e?3? 2a ? 3 ? ln e?3? 2 a ? ae?6? 4 a ? 2e?3? 2 a ? 3 ? 3 ? 2a
? a(e?6? 4 a ? 2) ? 2e?3? 2 a ? 0 ,

从而当 t ? (0, x0 ) 时, p (t ) 必存在唯一的零点 t1 ,且 0 ? t1 ? x0 , 即 0 ? 1 ? x1 ? x0 ,得 x1 ? (0,1) ,且 x0 ? x1 ? 1 , 从而函数 g ( x) 在 (0,1) 内有唯一的零点 x1 ,满足 x0 ? x1 ? 1 .……14 分 解法二: (Ⅰ)同解法一;………………4 分

理科数学试题 第 12 页 共 15 页

1 2ax2 ? 2 x ?1 (Ⅱ) f ?( x) ? 2ax ? 2 ? ? , x x

令 f ?( x) ? 0 ,由 2ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ,得 a ? 设m ?

1 1 ? .………5 分 2x2 x

1 1 1 1 ,则 m ? (1, ??) , a ? m2 ? m ? (m ? 1)2 ? ,………6 分 2 2 2 x

1 1 问题转化为直线 y ? a 与函数 h(m) ? (m ? 1)2 ? 的图象在 (1, ??) 恰有一个交点问题. 2 2 又当 m ? (1, ??) 时, h(m) 单调递增,………7 分 1 故直线 y ? a 与函数 h(m) 的图象恰有一个交点,当且仅当 a ? ? .……8 分 2

(Ⅲ)同解法一. (说明:第(Ⅲ)问判断零点存在时,利用 t ? 0 时, p(t ) ? ?? 进行证明,扣 1 分) 21. (1)本题主要考查矩阵与变换等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、 化归与转化思想,满分 7 分.
?a b? 解: (Ⅰ)设矩阵 A ? ? ?, ?c d ? ? Ae ? ?1e1 , 依题意,得 ? 1 …………………1 分 ? Ae2 ? ?2 e2 ,
?a ? b ? 1, ?c ? d ? 1, ? ∴? ?a ? 0 ? 2, ? ?c ? 0 ? 0.

………………………………2 分

? a ? 2, ?b ? ?1, ? 解得 ? ?c ? 0, ? ? d ? 1.

…………………………3 分

? 2 ?1? ∴ A?? ? .…………………4 分 ?0 1 ?

(Ⅱ)设圆 C 上任意一点 M ( x, y ) 在矩阵 A 对应的变换作用下的像是 M ?( x?, y ?) ,
? x? ? 2 x ? y , ∴? ? y? ? y.

…………………5 分 理科数学试题 第 13 页 共 15 页

x? ? y ? ? , ?x ? 解得 ? …………………6 分 2 ? ? y ? y?.
又∵ x2 ? y 2 ? 1 ,
? x? ? y ? ? 2 ∴? ? ? y? ? 1 , ? 2 ?
2

∴曲线 C′的方程为 x2 ? 2xy ? 5 y 2 ? 4 .…………………7 分 (2)本题主要考查直线和圆的参数方程等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力, 考查数形结合思想和化归与转化思想,满分 7 分.
? ? x ? 1 ? t cos , ? ? 6 (Ⅰ)依题意,得直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数)………1 分 ? ? y ? 1 ? t sin , ? 6 ?

? 3 x ?1? t, ? ? 2 ( t 为参数)…①…………………………………………2 分 即? ? y ? 1 ? 1 t. ? ? 2
? x ? 2sin ? , ∵曲线 C 的参数方程为 ? ? y ? 2 ? 2 cos ?,

∴曲线 C 的普通方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 .………②………………4 分

? 3 ? 1 (Ⅱ)把①代入②得 ?1 ? t? ? ( t ? 1)2 ? 4 , ? ? 2 ? 2 ?
∴ t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0 ,………………5 分 ∴ ? ? ( 3 ? 1)2 ? 8 ? 0 , t1t2 ? ?2 ,…………………6 分 ∴ | PA | ? | PB |?| t1t2 |? 2 .………………………………7 分 (3)本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查函 数与方程思想、化归与转化思想,满分 7 分 解: (Ⅰ)由点 P 在 x 轴上,所以 P( x,0,0) , 又坐标满足 2 x ? 5 ? 3 ,所以 ?3 ? 2 x ? 5 ? 3 ,………………2 分 理科数学试题 第 14 页 共 15 页

2

解得 1 ? x ? 4 ,…………………………………………………3 分 所以点 P 到原点 O 的距离的最小值为 1.. …………………4 分

(Ⅱ)由点 P 到坐标原点 O 的距离为 2 3 , 故 x2 ? y 2 ? z 2 ? 12 , …………………………………………5 分 由柯西不等式,得 ( x2 ? y 2 ? z 2 )(12 ? 12 ? 12 ) ? ( x ? y ? z)2 ,………6 分 即 ( x ? y ? z)2 ? 36 , 所以 x ? y ? z 的最大值为 6,当且仅当 x ? y ? z ? 2 时取最大. …………7 分

理科数学试题 第 15 页 共 15 页


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