1.2.1函数的定义域和值域2

第2课时 函数的定义域和值域

1

区间的概念及表示 (1)区间定义及表示

设a,b是两个实数,而且a<b.
定义 {x|a≤x≤b} {x|a<x<b} {x|a≤x<b} {x|a<x≤b} 名称 闭区间 开区间 符号 [a,b] (a,b) ________ 数轴表示

[a,b) 半开半闭区间 ________ (a,b] 半开半闭区间 ________

(2)无穷概念及无穷区间表示 定义 符号 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} (______ -∞,a)

(-∞, [a,+∞) (a,+∞) (-∞,a] ________ _________ ________ +∞)

把下列数集用区间表示:

(1){x|x≥-2}.
(2){x|x<0}.

(3){x|-1<x<1或2≤x<6}.
解析:(1){x|x≥-2}用区间表示为[-2,+≦). (2){x|x<0}用区间表示为(-≦,0). (3){x|-1<x<1或2≤x<6}用区间表示为 (-1,1)∪[2,6).
4

1.函数的定义域的概念; 2.函数值域的概念;

5

(二)、求复合函数的定义域
1.已知f(x)的定义域,求f [ h(x)]的定义域:

h? x ? ??? ? f ? x ?中的x , 求出x的范围.
替换

例1. (1) 函数f ? x ?的定义域为?0,2?, 求 1? ? g ? x ? ? f ? x ? ?的定义域. 2? ?

1 1 (2)求 g ?x ? ? f ( x ? ) - f ( x ? )的定义域. 2 2
6

2.已知f [ h(x)] 的定义域,求f(x) 的定义域:
即,求 h(x) 的值域。

? 1 ? 例2.(1)若f ?x ? 1?的定义域为 ? ? ,2 ?, 则 ? 2 ? f ?x ?的定义域是

7

二、值域问题 例 3、求下列函数的值域: (1)y = 1 -2x R 值域为 ________________

(2)y = | x |-1, x∈{-2, -1, 0, 1, 2 } 值域为 _________ {-1 0, 1 } 2 (3)y = (-∞, 0 )∪(0, + ∞ ) 值域为 ________________________ x?2 (4 )y =
x?3

[0, + ∞ ) 值域为 ____________

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例4. y = x 解:由 ∵

2

-2x + 3
2

(-1 ≤ x ≤ 2 ) + 2

y = ( x -1 ) -1 ≤ x ≤ 2 y

?

6

5
4 3 2 1

?

由图知: 2 ≤ y ≤ 6 故函数的值域为 [ 2 , 6 ]

-1

o

1

2

3

4

x
9

例5.求函数y ? x ? 1 ? x ( x ? 1)的值域 .
解:

令 1 ? x ? t 则t ? 0, x ? 1 ? t .
2

? y ? ?t ? t ? 1, (t ? 0)
2

?? ?,1? 故, 所 求 值 域 为
点评:换元法——转化成二次函数,再用图

1? 5 ? 即, y ? ?? t ? ? ? , ?t ? 0? 2? 4 ?

2

象法求解值域。注意t 的取值范围。

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例 6. 求下列函数的值域:

(1)

2x ?1 y = x -1

解:由

( 2 x - 1) ? 3 y? x -1

3 ? 2? x -1

3 ? ?0 x -1

?y ? 2

故函数的值域为
(??,2) ? (2,??)

11

小结:函数的值域求法: 1.直接求法 2.图像法——数形结合 3.分离常数法(适用于分式—分子,分母都是一次的) 4. 换元法

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