解析几何(直线与圆、椭圆、双曲线和抛物线)

2012 届数学二轮复习专题十
考试范围:解析几何(直线与圆、椭圆、双曲线和抛物线)

一、选择题(本大题共 10 小题;每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.直线 x tan ? ? y ? 0 的倾斜角是 7

()

A. ? ? 7

B. ? 7

C. 5? 7

D. 6? 7

2.直线 l1 : x ? y ?1 ? 0 关于直线 l : x ? 2 对称的直线 l2 方程为 A. 2x ? y ?1 ? 0 B. 2x ? y ? 7 ? 0 C. 2x ? y ? 4 ? 0

D. x ? y ? 5 ? 0

()

3.“ a ? ?2 ”是直线 l1 : ?a ?1?x ? y ? 2 ? 0 与直线 l2 : ax ? ?2a ? 2?y ?1 ? 0 互相垂直的

()

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.直线 ax ? by ? a ? b ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 2 的位置关系为

()

A.相交

B.相切

C.相离

D.相交或相切

5.已知点 P 在圆 x2 ? y2 ? 4x ? 4 y ? 7 ? 0 上,点 Q 在直线上 y ? kx 上,若 PQ 的最小值为 2 2 ?1 ,则 k =( )

A.1

B. ?1

C.0

D.2

6.若椭圆

x2

?

my2

? 1 的离心率

e

?

?? ??

3 ,
3

2 2

?? ??

,则

m

的取值范围是

()

A. ?? 1 , 2 ?? ?2 3?

B. ?1,2?

C. ?? 1 , 2 ?? ? ?1,2?
?2 3?

D. ?? 1 ,2?? ?2 ?

7.已知中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为 3x ? y ? 0 ,则该双曲线的离心率为 ( )

A. 2 3 3

B. 3

C.2 或 2 3 3

D. 2 3 或 3 3

8.M 是抛物线 y 2 ? 4x 上一点,且在 x 轴上方,F 是抛物线的焦点,以 x 轴的正半轴为始边,FM 为终边构成的最

小的角为 60°,则 FM ?

()

A.2

B.3

C.4

D.6

9.设抛物线 y 2 ? 8x 的准线经过中心在原点,焦点在坐标轴上且离心率为 1 的椭圆的一个顶点,则此椭圆的方程

2



()

A. x2 ? y 2 ? 1 或 x2 ? y 2 ? 1

12 16

16 12

B. x2 ? y 2 ? 1 或 x2 ? y 2 ? 1

48 64

64 48

C. x2 16

?

y2 12

?1或

y2 16

?

x2 4

?1

D. x2 ? y 2 ? 1 或 y2 ? x2 ? 1

43

16 4

3

3

10.已知定点 F1?? 2,0? 、 F2 ?2,0? ,动点 N 满足 ON ? 1 (O 为坐标原点), F1M ? 2NM , MP ? ?MF2?? ? R? ,

F1M ? PN ? 0 ,则点 P 的轨迹是

A.椭圆

B.双曲线

C.抛物线

D.圆

二、填空题(本大题共 5 小题;每小题 5 分,共 25 分.将答案填在题中的横线上)

11.以点 ??1,2?为圆心且与直线 y ? x ?1相切的圆的标准方程是



()

12.圆 x2 ? y2 ? 4x ? 4 y ? 6 ? 0 上到直线 x ? y ? 5 ? 0 的距离等于 2 的点有

个.

2

13.若点 P 在直线 l1 : x ? my ? 3 ? 0 上,过点 P 的直线 l2 与曲线 C : ?x ? 5?2 ? y2 ? 16 只有一个公共点 M,且 PM 的

最小值为 4,则 m ?



14.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 x2 a2

?

y2 b2

? 1 ( a > b >0)的离心率为

2 ,以 O 为圆心, a 为半径作圆 M,再 2



P????

a2 c

,0 ????

作圆

M

的两条切线

PA、PB,则

?APB

=



15.已知以双曲线的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中,有一个内角的范围是 ?? ? , ? ?? 则双曲线的离心率 ?3 2?

的范围是



三、解答题(本大题共 6 小题;共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16.(本题满分 12 分)已知圆 O 的方程为 x2 ? y2 ? 16 .

(1)求过点 M ?? 4,8? 的圆 O 的切线方程;

(2)过点 N?3,0? 作直线与圆 O 交于 A、B 两点,求 △OAB的最大面积以及此时直线 AB 的斜率.

17.(本题满分 12 分)将抛物线 x2 ? ?2
的上顶点和左右焦点. (1)求椭圆方程;

2 y 向上平移

2

个单位长度后,抛物线过椭圆 x2 a2

?

y2 b2

? 1 ( a > b >0)

(2)若点 P?m,0? 满足如下条件:过点 P 且倾斜角为 5 ? 的直线 l 与椭圆相交于 C、D 两点,使右焦点 F 在以 CD
6 线段为直径的圆外,试求 m 的取值范围.

18.(本题满分 12 分)已知双曲线,

x2 a2

? y2 b2

? 1 ( a >0,b >0)左右两焦点为 F1 、F2 ,P 是右支上一点,PF2

? F1F2 ,

OH ? PF1 于 H, OH

? ? OF1



?

?

? ??

1 9

,

1 2

? ??



(1)当 ? ? 1 时,求双曲线的渐近线方程; 3
(2)求双曲线的离心率 e 的取值范围; (3)当 e 取最大值时,过 F1 , F2 , P 的 y 轴的线段长为 8,求该圆的方程.
19.(本题满分 13 分)在平面直角坐标系 xOy 中,过定点 C?p,0? 作直线 m 与抛物线 y 2 ? 2 px ( p >0)相交于 A 、
B 两点.
(1)设 N?? p,0? ,求 NA ? NB 的最小值;
(2)是否存在垂直于 x 轴的直线 l ,使得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在,求出 l 的方程;若
不存在,请说明理由.
20(.本题满分 13 分)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率等于 1 ,它的一个顶点恰好是抛物线 x2 ? 8 3 y 2
的焦点. (1)求椭圆 C 的方程;
(2) P?2,3?、 Q?2,?3? 是椭圆上两点,A、B 是椭圆位于直线 PQ 两侧的两动点,①若直线 AB 的斜率为 1 ,求
2

四边形 APBQ 面积的最大值;②当 A、B 运动时,满足 ?APQ ? ?BPQ ,试问直线 AB 的斜率是否为定值,请说
明理由.

21.(本题满分 13 分)在平面直角坐标系中,已知向量 a ? ?x, y ? 2? , b ? ?kx, y ? 2??k ? R? ,若 a ? b ? a ? b .

(1)求动点 M ?x, y?的轨迹 T 的方程,并说明该方程表示的曲线的形状;

(2)当 k

?

4 3

时,已知

F1 ?0,?1? 、

F2 ?0,1? ,点

P

是轨迹

T

在第一象限的一点,且满足

PF1

?

PF2

? 1 ,若点 Q

是轨迹 T 上不同于点 P 的另一点,问是否存在以 PQ 为直径的圆 G 过点 F2 ,若存在,求出圆 G 的方程,若不存

在,请说明理由.

答案与解析

1.【命题立意】本题考查直线的一般方程形式、斜率和倾斜角的关系以及正切函数的诱导公式.
【思路点拨】抓住直线方程 y=kx+b 中斜率为 k,α 为倾斜角,其中 ? ??0,? ? ,当 ? ? ? 时 k ? tan? .
2

【答案】D【解析】 y ? ?x tan ? ,斜率 k ? ? tan ? ? tan??? ? ? ?? ? tan 6? .

7

7 ? 7?

7

2.【命题立意】本题考查直线的对称和直线方程的求解以及直线上点的确定. 【思路点拨】求出直线 l1 与 x 轴、与 l 的交点坐标,再确定对称点的坐标,最后由两点式得到 l2 的直线方程.
【答案】D【解析】画出图形,容易求得直线 l1 与 x 轴的交点 A??1,0? ,它关于直线 l 的对称点为 B?5,0? ,又 l1 与 l 的

交点 P?2,3? ,从而对称直线 l2 经过 B、P 两点,于是由两点式求得 l2 的方程为 x ? y ?5 ? 0 .

3.【命题立意】本题考查两条直线的位置关系和充要条件: l1 ? l2 ? A1A2 ? B1B2 ? 0 .

【思路点拨】判断直线

l1

:

A1x

?

B1y

?

C1

?

0

,l2

:

A2x

?

B2

y

?

C2

?

0

的位置关系时,抓住两点,一是

l1



l2

时, A1
A2

?

B1 B2

?

C1 C2



为了避免讨论系数为零的情况,转化为积式 A1B2 ? A2B1 且 A1C2 ? A2C1 ;二是 l1 ? l2 ,即斜率的乘积为 ?1 ,如果一条直
线的斜率为零,则另一条直线的斜率不存在,也就是 A1A2 ? B1B2 ? 0 .充分必要条件的判定,关键是看哪个推出哪个.

【答案】A【解析】 l1 ? l2 ? a2 ? 3a ? 2 ? 0 ? a ? ?1 或 a ? ?2 ,故选答案 A. 4.【命题立意】本题考查直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式以及基本不等式.
【思路点拨】直线与圆的位置关系有三种,由圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小关系决定,当 d>r 时,相离; 当 d=r 时相切;当 d<r 时相交.

【答案】D【解析】圆心 ?0,0?到直线 ax?by? a ?b ? 0 的距离d ?

a ?b ,半径 r ? a2 ?b2

2

.由于 d 2

?

?a ? b?2
a2 ? b2

?1?

2ab a2 ? b2

?

2

,所以

d

?

r



从而直线与圆相交或相切. 5.【命题立意】本题考查直线与圆的位置关系和点到直线的距离.
【思路点拨】圆上的点到直线上的点,这两个动点之间的距离的最小值,可以转化为直线上的点到圆心的距离的 最小值来解决,圆上的点到直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上半径,最小值等于圆心到直线的距离 减去半径;当直线与圆相交时,圆上的点到直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上半径,最小值等于 0.

【答案】B【解析】由题意可知,直线与圆相离,x2 ? y2 ? 4x ? 4y ? 7 ? 0 即 ?x ? 2?2 ? ?y ? 2?2 ?1 ,圆心 ?2,2?到直线 y ? kx

的距离 d ? 2k ? 2 ,∴ d ? r ? 2k ? 2 ?1 ? 2 2 ?1,解得 k ? ?1 .

k2 ?1

k2 ?1

6.【命题立意】考查椭圆的标准方程和椭圆中的基本量及其关系以及分类讨论的思想.

【思路点拨】可建立 m 关于 e 的函数,从而可根据 e 的范围求得 m 的范围.

【答案】C【解析】化椭圆的方程为标准方程

x2

?

y2 1

? 1 ,当

1 m

<1,即 m

>1

时,椭圆焦点在

x

轴上,此时 a2

?1 ,

m

b2

?

1 m



c2

?1?

1 m

,?e2

?1?

1 m

,?m

?

1 1? e2

,又

?e

?

?? ??

3 ,
3

2 2

?? ??

,?

3 2

< m <2,又 m >1,? 1< m <2.当 1
m

>1,

即 m <1 时,椭圆焦点在 y

轴上,此时

a2

?

1 m



b2

?1,

c2

?

1 m

?1 ,∴

e2

?

c2 a2

?
? 1? m ,即 m ? 1? e2 ,又?e????

3, 3

2 2

?? ??



∴ 1 < m < 2 .综上, m 的范围范围是 ?? 1 , 2 ?? ? ?1,2? .选择 C.

2

3

?2 3?

7.【命题立意】考查双曲线的标准方程,离心率的概念. 【思路点拨】根据渐近线方程可以得到双曲线系方程,再分两种情况讨论焦点位置,从而求得离心率.

【答案】C【解析】由于一条渐近线方程为 3x ? y ? 0 ,所以可设双曲线方程为 3x2 ? y2 ? ? .当焦点在 x 轴上时,方程



x2 ?

?

y2 ?

?1(?

>0),此时

a2

?

? 3

, b2

??

,于是 c2

? a2

? b2

?

4? 3

,所以离心率

e

?

c a

?

2

;当焦点在

y

轴上时,方程

3



y2 ??

?

x2 ??

?1 (

?

<0),此时

a2

? ??

, b2

? ??

,于是 c2

? a2

? b2

??

4?

,所以离心率 e ?

c

?

2

3

3

a3

3 .故选择 C.

3

8.【命题立意】考查抛物线的定义和标准方程以及直角三角形的性质.

【思路点拨】画出图形,利用抛物线的定义找出点 M 的横坐标与|FM|的关系即可求得.

【答案】C【解析】画出图形,知 F?1,0? ,设 FM = 2a ,由点 M 向 x 轴作垂线,垂足为 N,则 FN = a ,于是点 M
的横坐标 x0 ? 1? a .利用抛物线的定义,则 M 向准线作垂线,有 FM = x0 ?1 ,即 2a ? 1? a ?1 ,所以 a ? 2 ,从而 FM =4. 9.【命题立意】考查椭圆与抛物线的标准方程,基本量的关系以及分类讨论问题.

【思路点拨】由抛物线的标准方程求得准线方程,从而求得椭圆一个顶点的坐标,这个值是 a 还是 b,就必须分

两种情况讨论.

【答案】D【解析】由抛物线 y2 ? 8x ,得到准线方程为 x ? ?2 ,又 c ? 1 ,即 a ? 2c .当椭圆的焦点在 x 轴上时, a ? 2 ,
a2

c ?1, b2 ? a2 ? c2 ? 3 ,此时椭圆的标准方程为 x2 ? y2 ? 1 ;当椭圆的焦点在 y 轴上时, b ? 2 , c ? 2 3 , a ? 4 3 ,此时

43

3

3

椭圆的标准方程为

y2 16

?

x2 4

? 1 .故选择

D.

3

10.【命题立意】考查对向量含义的理解,线段垂直平分线的性质、三角形中位线性质和双曲线定义.

【思路点拨】画出图形,将向量问题转化为实数中线段关系问题,利用线段垂直平分线的性质和三角形中位线的

性质,得到线段的差是常数,符合双曲线的定义.

【答案】B【解析】画出图形, ON ? 1 说明点 N 在圆 x2 ? y2 ?1 上,F1M ? 2NM 说明 N 是线段 F1M 的中点,MP ? ? MF2

(x∈R)说明 P 在 MF2 上, F1M ? PN ? 0 说明 PN 是线段 F1M

的垂直平分线,于是有 PF1

? PM

, ON

?1 2

MF2

,从而

有 PF1 ? PF2 ? PM ? PF2 ? MF2 ? 2 ON =2< F1F2 =4,所以点 P 的轨迹是以 F1 、F2 为焦点的双曲线的右支.从而选择 B.

11.【命题立意】考查圆的方程,直线与圆相切问题. 【思路点拨】圆心已知,故只需求得其半径即可,而半径为圆心(-1,2)到直线的距离,根据点到直线的距离可求 其半径,从而可求得圆的标准方程.

? ? 【答案】?x ?1?2 ? ?y ? 2?2 ? 8【解析】圆的半径 r ?

?1? 2 ?1 ?2
12 ? ??1?2

2 ,所以圆的方程为 ?x ?1?2 ? ?y ? 2?2 ? 2

2 2 ,即 ?x ?1?2 ? ?y ? 2?2 ? 8 .

12.【命题立意】考查圆的标准方程,点到直线的距离. 【思路点拨】先化圆的方程为标准方程,求出圆心到直线的距离,再来与半径比较.

【答案】3【解析】圆的方程为 ?x ? 2?2 ? ?y ? 2?2 ? 2 ,圆心 ?2,?2? 到直线 x ? y ?5 ? 0 的距离 d ?

2?2?5 ?
2

2 2

,圆的半径

r

?

2,

所以圆上到直线的距离等于 2 的点有 3 个.
2
13.【命题立意】考查圆心到直线的距离、圆的切线长定理和直线与圆相切问题. 【思路点拨】画出图形,PM 是切线,切线长最小,即|PC|最小,也就是 C 到 l1 的距离.
【答案】?1【解析】画出图形,由题意 l2 与圆 C 只一个交点,说明 l2 是圆 C 的切线,由于 PM 2 ? PC 2 ? CM 2 ? PC 2 ?16 ,

所以要|PM|最小,只需|PC|最小,即点C到l1的距离 5 ? 0 ? 3 ? 1? m2

8 1? m2

,所以|PM|的最小值为

?? ? ?

8 1? m2

??2 ? ?

?16

?

4

,解得

m

?

?1



14.【命题立意】考查椭圆的标准方程,椭圆离心率的概念和圆的切线问题.

【思路点拨】画出图形,由椭圆的离心率为 2 得到 c = 2 ,再利用圆的切线的性质得到直角三角形,在直角三

2

a2

角形中求解角度.

【答案】 ? 2

【解析】如图,连结 OA,则 OA⊥PA, sin?APO ?

a a2

?c a

?

2 2

,所以 ?APO ?

? 4

,从而 ?APB ?

? 2



c

15.【命题立意】考查双曲线中由 a、b、c 构成的直角三角形的几何意义及离心率与 a、b、c 的关系.

【思路点拨】可根据四边形的特征,以“有一个内角小于 60°”为桥梁确定离心率的范围.

【答案】 ??
??

6 ,
2

2

?? ??

【解析】设双曲线的方程为

x2 a2

?

y2 b2

? 1 =1(a>0,b>0),如图所示,由于在双曲线 c>b,所以只

能是 ?B1F1B2 <90°,故由题意可知 60°< ?B1F1B2 <90°,

∴在 Rt?OF1B1中,30°< ?OF1B1 <45°,∴

3 3

<b <
c

2 ,∴ 1 < c2 ? a2 < 1 ,

2

3

c2

2



1 3

<1-

1 e2

<1
2

,∴

3 2

<e2<2,∴

6 <e<
2

2.

16.【命题立意】考查圆的标准方程,直线与圆的位置关系,以及弦长问题. 【思路点拨】(1)过圆外一点的圆的切线方程,一般设斜率,利用圆心到直线的距离 等于半径来求出斜率,但一定要注意斜率存在与否;(2)将弦长 AB 看成底边,则三角形的高就是圆心到直线的 距离.

【解析】(1)圆心为 O?0,0? ,半径 r ? 4 ,当切线的斜率存在时,设过点 M??4,8? 的切线方程为 y ?8 ? k?x ? 4? ,即

kx ? y ? 4k ?8 ? 0 (1 分).则 | 4k ? 8 | ? 4 ,解得 k ? ? 3 ,(3 分),于是切线方程为

k2 ?1

4

3x ? 4y ? 20? 0 (5 分).当斜率不存在时, x ? ?4 也符合题意.故过点 M??5,11? 的圆 O 的

切线方程为 3x ? 4y ? 20? 0 或 x ? ?4 .(6 分)

(2)当直线 AB 的斜率不存在时, S?ABC ? 3 7 ,(7 分),当直线 AB 的斜率存在时,设

直线 AB 的方程为 y ? k?x ?3? ,即 kx ? y ?3k ? 0 ,圆心 O?0,0? 到直线 AB 的距离 d ? 3 k ,(9 分)线段 AB 的长度

k2 ?1

? ? ? ? AB ? 2

16? d2

,所以

S?ABC

?

1 2

AB d ? d

16? d2 ?

d 2 16 ? d 2 ? d 2 ? 16 ? d 2 ? 8 ,(11 分)当且仅当 d 2 ? 8 时取等号,
2

此时

9k 2 k2 ?1

?

8

,解得

k

?

?2

2 ,所以△OAB 的最大面积为 8,此时直线 AB 的斜率为 ? 2

2

.(12 分)

17.【命题立意】本题考查椭圆方程的求法,直线和圆锥曲线的位置关系以及存在性问题.

【思路点拨】(1)可根据抛物线平移后与坐标轴的交点求得 b 、 c 的值,从而可得 a 的值,故可求椭圆方程;(2)

可利用向量法解决.

? ? 【解析】(1)抛物线 x2 ? ?2 2 y 的图象向上平移 2 个单位长度后其解析式为 x2 ? ?2 2 y ? 2 ,其与 x 、 y 轴的交

? ? 点坐标分别为 ??2,0? 、 0, 2 ,∴ b ? 2 , c ? 2 ,(2 分)∴ a2 ? 6 ,故椭圆的方程为 x2 ? y2 ? 1 .(4 分) 62

(2)由题意可得直线 l 的方程为 y ? ? 3 ?x ? m? ,代入椭圆方程消去 y 得, 2x2 ? 2mx? m2 ? 6 ? 0 ,(6 分)
3

? ? ? ? 又△? 4m2 ? 8 m2 ? 6 >0,∴ ? 2

3 <m<2

3 .(7 分)设 C、D 分别为 ?x1, y1? , x2 , y2

,则

x1 ? x2

?m

,x1x2

?

m2 ? 6 2



? ? ?
∴ y1y2 ? ?? ??

3 3

?x1

?

m???
??

?

? ??
??

3 3

?x2

?

m???
??

?

1 3

x1x2

?

m 3

?x1

?

x2 ??

m2 3

,∵

FC

?

?x1

?

2,

y1?



FD

?

x2 ? 2, y2





FC? FD

?

?x1

?

2??x2

? 2??

y1 y2

?

4 3

x1x2

?

m? 3

6

?x1

?

x2 ??

m2 3

?

4

?

2m?m ? 3?
3

,(10

分)∵点

F

在圆的外部,∴

FC ?

FD

>0,

即 2m?m ? 3? >0,解得 m <0 或 m >3,又∵ ? 2 3 < m < 2 3 ,∴ ? 2 3 < m <0 或 3< m < 2 3 .(12 分)
3
18.【命题立意】考查双曲线的定义和标准方程,渐近线和离心率计算公式.

【思路点拨】(1)求渐近线方程的目标就是求 b ,可根据条件建立 a、b 的数量关系来求得;(2)可建立 e 关于 ? 的

a

函数,从而可根据 ? 的范围求得 e 的范围;(3)可根据离心率确定 a、b 的数量关系,再结合图形确定圆的圆心与半径.

【解析】由于

F2 ?c,0? ,所以

P???? c,?

b2 a

?? ??

,于是

PF2

? b2 a

, PF1

?

PF2

? 2a ?

b2 a

? 2a ,(1 分)由相似三角形知, OH
PF2

?

OF1 PF1



b2



OH OF1

?

PF2 PF1

,即

?

?

2a

a ?

b2

,(2

分)∴

2a2?

? b2?

?

b2



2a2?

?

b2?1? ??



b2 a2

? 2? 1??



a

(1)当

?

?

1 3

时,

b2 a2

?1

,∴

a

?

b .(3

分)所以双曲线的渐近线方程为

y ? ?x .(4

分)

(2) e2

?

c2 a2

?1?

b2 a2

2? ?1?
1? ?

?1?

2?1? ?1? ???
? 1? ?

2 1? ?

?1 ? ?1?

2 ? ?1

,在

? ??

1 9

,

1 2

? ??

上为单调递增函数.(5

分)

∴当 ? ? 1 时, e2 取得最大值 3(6 分);当 ? ? 1 时, e 2 取得最小值 5 .(7 分)∴ 5 ? e2 ? 3 ,∴ 5 ? e ? 3 .(8 分)

2

9

4

4

2

(3)当 e ?

3 时, c ?
a

3 ,∴ c ?

3a ,∴ b2 ? 2a2 .(9 分)∵ PF2 ? F1F2 ,∴ PF1 是圆的直径,圆心是 PF1 的中点,

∴在 y 轴上截得的弦长就是直径,∴ PF1

?

8

.(10

分)又

PF1

?

2a

?

b2 a

? 2a ? 2a2 a

? 4a ,∴ 4a ?8 ,a ? 2 ,c ? 2

3,

b?2

2 .(11 分)∴ PF2

? b2 ? 2a ? 4 ,圆心 C?0,2? ,半径为 4,故圆的方程为 x2 ? ?y ? 2?2 ?16 .(12 分)
a

19.【命题立意】考查抛物线的标准方程,直线与抛物线的位置关系.

【思路点拨】设直线方程,与抛物线方程联立,利用韦达定理来解决;存在性问题一般是假设存在,利用垂径定

理推导求解来解决.

【解析】(1)依题意,可设 A?x1, y1? 、 B?x2, y2? ,直线 AB 的方程为 x ? my? p ,

? ?? ? 由

??x ? my ? p

? ??

y2

?

2

px

?

y2

? 2pmy? 2p2

?0

,(2

分)得

??y1 ? y2 ? 2 pm

? ?? y1

?

y2

?

?2

p2

,(3

分)∴

NA ?

NB

=

?x1 ?

p,

y1??x2

?

p,

y2 ?

?

x1 ? p

x2 ? p ? y1y2

? ? ? ?my1 ? 2p??my2 ? 2p?? y1y2 ? m2 ?1 y1y2 ? 2 pm?y1 ? y2 ?? 4 p2 ? 2p2m2 ? 2p2(6 分)当 m ? 0 时,NA ? NB 取得最小值 2 p2 .(7 分)

(2)假设满足条件的直线 l 存在,其方程为 x ? a ,AC 的中点为 O? , l 与以 AC 为直径的圆相交于 P、Q,PQ 的

中点为 H,则 O?H ? PQ , O? 的坐标为 ?? x1 ? p , y1 ?? .? O?P ? 1 AC ? 1

? 2 2?

2

2

?x1 ?

p?2

?

y12

?

1 2

x12 ? p2 (9 分),

? ? ? ? ? PH 2

?

O?P 2 ?

O?H

2

?

1 4

x12 ?

p2

?

1 4

?2a

?

x1

?

p?2

? ?? a ? 1 ?2

p ??x1 ? a?p ? a? ,
?

PQ 2 =

2 PH

2

=

4???? ??

a

?

1 2

p??x1 ? a?p ? a??? (11 分),

?

?

令 a ? 1 p ? 0 得 a ? 1 p .此时 PQ ? p 为定值.故满足条件的直线 l 存在,其方程为 x ? 1 p .(13 分)

2

2

2

20.【命题立意】考查椭圆与抛物线的标准方程,直线与椭圆的位置关系.

【思路点拨】(1)利用抛物线的标准方程,求出焦点坐标,从而得到椭圆中的 b,再由离心率建立方程,可求得椭圆的

标准方程;(2)抓住直线 PQ⊥x 轴,?APQ? ?BPQ即直线 PA、PB 的斜率互为相反数,联系方程利用韦达定理来解决.

【解析】(1)设

C

方程为

x2 a2

?

y2 b2

? 1 (a>b>0),则 b ? 2

3

.由

c a

?

1 2



a2

? c2

? b2

,得

a=4∴椭圆

C

的方程为

x2 16

?

y2 12

? 1 .(4

分)(2)①设

A?x1,

y1 ? ,

B?x2,

y2 ?

,直线

AB

的方程为

y

?

1 2

x?t

,代入

x2 16

?

y2 12

? 1 ,得

x2 ? tx ? t2 ?12 ? 0 ,由 ? >0,解得 ?4 < t <4.(6 分)由韦达定理得 x1 ? x2 ? ?t , x1x2 ? t 2 ?12 .

四边形

APBQ

的面积

S

?

1 2

?6?

x1

?

x2

?3

48? 3t2

,∴当 t ? 0 时 Smax ? 12

3 .(8 分)

②当 ?APQ? ?BPQ,则 PA、PB 的斜率之和为 0,设直线 PA 的斜率为 k ,则 PB 的斜率为 ?k ,PA 的直线方程为

? ? ?y ? 3 ? k?x ? 2?(1)

y

?3?

k?x

? 2?

,由

? ?

x2

?? 1 6

?

y2 12

? 1(2)

.将(1)代入(2)整理得

3?

4k 2

x2

? 8?3?

2k ?kx

?

4?3 ?

2k ?2

? 48?

0

,有

x1

?

2

?

8?2k
3?

? 3?k
4k 2

.(10

分)同理

PB

的直线方程为

y ?3 ? ?k(x ? 2) ,可得

x2

?2?

?8k??2k ? 3? ?
3 ? 4k 2

8k?2k ? 3?
3 ? 4k 2

,∴

x1 ? x2

16k 2 ?12 ?
3 ? 4k2

,x1 ?

x2

?

?48k 3 ? 4k 2

.(12

分)从而 kAB

=

y1 ? y2 x1 ? x2

=

k?x1 ? 2?? 3 ? k?x2 ? 2?? 3
x1 ? x2

=

k?x1 ? x2 ?? 4k
x1 ? x2

=

1 2

,所以

AB 的斜率为定值

1 2

.(13 分)

21.【命题立意】考查圆锥曲线的标准方程,椭圆与双曲线的定义,向量垂直问题.

【思路点拨】(1)利用向量的数量积的坐标运算来求出轨迹方程,但一定要注意对参数的讨论;(2)利用椭圆或

双曲线的定义确定点 P 的位置,以 PQ 为直径的圆 G 过点 F2 ,即 PF2 ?QF2 ? 0 ,利用向量垂直的坐标运算来解决.
【解析】(1)∵ a ? b ,∴ a ?b ? ?x, y ? 2?? ?kx, y ? 2? ? 0 ,得 kx2 ? y2 ? 4 ? 0 ,即 kx2 ? y2 ? 4 .(1 分)
当 k ? 0 时,方程表示两条与 x 轴平行的直线;(2 分)当 k ?1 时,方程表示以原点为圆心,以 2 为半径的圆;(3
分)当 0< k <1 时,方程表示焦点在 x 轴上的椭圆;(4 分)当 k >1 时,方程表示焦点在 y 轴上的椭圆;(5 分) 当 k <0 时,方程表示焦点在 y 轴上的双曲线.(6 分)

(2)由(1)知,轨迹 T

是椭圆

y2 4

?

x2 3

? 1 ,则 F1 、 F2

为椭圆的两焦点.解法一:由椭圆定义得

PF1

?

PF2

?4,

联立

PF1

?

PF2

? 1 解得

PF1

?

5 2

, PF2

?

3 2

,又

F1F2

? 2 ,有

PF1 2

?

PF2

2?

F1F2 2 ,∴ PF2 ? F1F2 ,∴P 的纵坐标为 1,

? ? 把 y ?1代入 y2 ? x2 43

?1得

x

?

3 2



x

?

?

3(舍去),∴
2

P?? ?

3 ,1?? .(9 2?

分)设存在满足条件的圆,则

PF2

? QF2

,设 Q

s, t





P F2

? ?? ? ?

3 2

,0

?? ?



QF2

? ?? s,1? t? ,∴

PF2 ? QF2

?0

,即

3 2

s ? 0? ?1? t? ? 0

,∴

s ? 0 .又

t2 4

?

s2 3

? 1 ,∴ t

? ?2 ,∴ Q?0,2? 或

Q?0,?2?

.(12

分)所以圆

G

的方程:

?? x

?

3

??2

?

??

y

?

3

??2

?

13



??

x

?

3

?2 ?

?

??

y

?

1

?2 ?

?

45

.(13

分)

? 4 ? ? 2 ? 16 ? 4 ? ? 2 ? 16

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