启东中学2013届高三数学(综合)训练三

启东中学 2013 届高三数学 (综合)训练三
一、填空题(本题共 14 题,每题 5 分,计 70 分,请把答案填写在答题纸相应位置上) ........ 1.已知 R 为实数集, M ? {x | x2 ? 2x ? 0}, N ? {x | x ? 1},则 M ? (C R N ) ? 2.命题:“ ?x ? (0, ??) , x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是
2

.

.

3.已知 z ? ? a ? i ??1 ? i ? (a∈R, i 为虚数单位) ,若复数 z 在复平面内对应 的点在实轴上,则 a= 4.设不等式组 ? .

?0 ? x ? 2, ,表示平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个 ?0 ? y ? 2

点,则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是____ ____. 5.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的 s 值 等于______.

6.椭圆

x2 y 2 + ? 1? a ? b ? 0 ? 的右焦点为 F1 ,右准线为 l1 ,若过点 F1 且垂 a2 b2


直于 x 轴的弦的弦长等于点 F1 到 l1 的距离,则椭圆的离心率是

7.已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则 DE ? DC 的最大值为______. 8.设 a, b ? R, 且 a ? 2, 若定义在区间 ? ?b, b ? 内的函数 f ? x ? ? lg 的取值范围是 .

1 ? ax 是奇函数,则 a ? b 1? 2x

9.巳知函数 f ( x) ? cos x( x ? (0,2? )) 有两个不同的零点 x1 , x 2 , 且方程 f ( x) ? m 有两个不 同的实根 x3 , x 4 .若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,则实数 m 的值为____ ______. 10.关于 x 的不等式 x +25+| x -5 x |≥ ax 在[1,12]上恒成立,则实数 a 的取值范围 是 . 。
2 3 2

1 11.已知正数 x,y 满足(1+x)(1+2y)=2,则 4xy+ 的最小值是____ xy
4 3 2

12.已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? 2x ? b ,其中 a, b ? R .若函数 f ? x ? 仅在 x ? 0 处有极值, 则 a 的取值范围是 .

13.已知 a, b, c(a ? b ? c) 成等差数列, 将其中的两个数交换, 得到的三个数依次成等比数列,



a2 ? c2 的值为 2b2



14.如图,用一块形状为半椭圆 x 2 ?

y2 ? 1 ( y ? 0) 的铁皮截取一个以短轴 BC 为底的等腰梯形 4

ABCD , 记 所 得 等 腰 梯 形 ABCD 的 面 积 为 S , 则
是 .

1 的最小值 S
A

y

D

B

o

C

x

二、解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 14 分) 在 △ ABC 中 , A, B, C 为 三 个 内 角 a, b, c 为 三 条 边 ,

?
3

?C?

?
2

,且

b s i nC 2 ? . a ? b s i n ? s i nC A 2
(I)判断△ABC 的形状; (II)若 | BA ? BC |? 2 ,求 BA ? BC 的取值范围.

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

16. (本小题满分 14 分) 如图,四边形 ABCD 是矩形,平面 A BCD⊥平面 BCE,BE⊥EC. (1) 求证:平面 AEC⊥平面 ABE; (2) 点 F 在 BE 上,若 DE∥平面 ACF,求

BF 的值. BE

17. (本小题满分 15 分) 已知椭圆 C: x2 y2 1 3 + =1(a>b>0)的离心率为 ,且经过点 P(1, ). a2 b2 2 2

(I)求椭圆 C 的方程; (II)设 F 是椭圆 C 的右焦点,M 为椭圆上一点,以 M 为圆心,MF 为半径作圆 M.问点 M 满足什么条件时,圆 M 与 y 轴有两个交点? (Ⅲ)设圆 M 与 y 轴交于 D、E 两点,求点 D、E 距离的最大值.

18. (本小题满分 15 分) 如图, AB 是沿太湖南北方向道路, P 为太湖中观光岛屿, Q 为停车场, PQ ? 5.2 km.某旅 游团游览完岛屿后,乘游船回停车场 Q,已知游船以 13 km/h 的速度沿方位角 ? 的方向行驶,

sin ? ?

5 .游船离开观光岛屿 3 分钟后,因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时 13

赶到停车地点 Q 与旅游团会合,立即决定租用小船先到达湖滨大道 M 处,然后乘出租汽车 到点 Q(设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车).假设游客甲乘小船行驶的方位角是 ? ,出租汽车的速度为 66km/h. (Ⅰ)设 sin ? ?

(Ⅱ)设小船速度为 10km/h,请你替该游客设计小船行驶的方位角 ? ,当角 ? 余弦值的大小 是多少时,游客甲能按计划以最短时间到达 Q .

4 ,问小船的速度为多少 km/h 时,游客甲才能和游船同时到达点 Q; 5

19.(本小题满分 16 分) 已知各项均为正数的等差数列 {an } 的公差 d 不等于 0,设 a1 , a3 , ak 是公比为 q 的等比数列

{bn } 的前三项,
(I)若 k=7, a1 ? 2 (i)求数列 {anbn } 的前 n 项和 Tn; (ii)将数列 {an } 和 {bn } 的相同的项去掉,剩下的项依次构成新的数列 {cn } ,设其 前 n 项和为 Sn,求 S2n ?n?1 ? 2
*

2n?1

? 3? 2n?1 (n ? 2, n ? N * ) 的值;

(II)若存在 m>k, m ? N 使得 a1 , a3 , ak , am 成等比数列,求证 k 为奇数.

20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ? x ? x ? b, g ( x) ? a ln x .
3 2

(I)若 f (x) 在 x ? ??

3 ? 1 ? ,1? 上的最大值为 ,求实数 b 的值; 8 ? 2 ?
2

(II)若对任意 x ? ? , e? ,都有 g ( x) ? ? x ? (a ? 2) x 恒成立,求实数 a 的取值范围; 1 (Ⅲ)在(1)的条件下,设 F ( x) ? ?

? f ?x ?, x ? 1 ,对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? F (x) 上 ? g ?x ?, x ? 1

是否存在两点 P, Q ,使得 ?POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形( O 为坐标原点) ,且此 三角形斜边中点在 y 轴上?请说明理由.

江苏省启东中学 2013 届高三数学寒假作业综合练习三参考答案
一、填空题 1. {x | 0 ? x ? 1} 2. ?x ? (0,??), x 2 ? x ? 1 ? 0 5. ? 3 3.1 6.

4 ?? 4 4.
7. 1

1 2

8. ( ?2,? ]

3 2

9. ?

3 2

10. (??,10]

11. 12

12. ? ? , ? 3 3

? 8 8? ? ?

13.10 二、解答题
15. (Ⅰ)解:由 ∴

14.

2 3 9

b sin 2C ? 及正弦定理有: sin B ? sin 2C a ? b sin A ? sin 2C


3 2 B ? C ? ? (舍) ;∴ B ? 2C ? ? ,则 A ? C ,∴ ?ABC为等腰 三角形.??????7 分 ??? ??? ? ? 2 ? a2 2 2 (? a ? c) , 而 ( Ⅱ ) ∵ | BA ? BC |? 2 , ∴ a ? c ? 2ac ? cos B ? 4 , ∴ cos B ? a2 ??? ??? ? ? 2 1 4 c o sB ? ? c o s2C ,∴ ? cos B ? 1 ,∴ 1 ? a 2 ? ,∴ BA ? BC ? ( ,1) .??????14 2 3 3
分 16.解: (1)证明:因为 ABCD 为矩形,所以 AB⊥BC; 又因为平面 ABCD⊥平面 BCE,且平面 ABCD∩平面 BCE=BC,AB ? 面ABCD, 所以 AB⊥平面 BCE, 因为 CE ? 平面 BCE,所以 CE⊥AB ????? ???3 分 ??????3 分

B ? 2C

B ? 2C ? ?



B ? 2C

, 且

?

?C ?

?

, ∴

2 ? ? B ?? 3



A O

D

又因为 CE⊥BE,AB ? 面 ABE,BE ? 面 ABE,AB∩BE=B, 所以 CE⊥面 ABE ??????6 分

B F
第 16 题图

C E

又 CE ? 平面 AEC,所以平面 AEC⊥平面 ABE;???????8 分 (2)连结 BD 交 AC 于点 O,连结 OF, 因为 DE∥平面 ACF,DE ? 平面 BDE,平面 ACF∩平面 BDF=OF,

所以 DE∥OF, 又因为矩形 ABCD 中,O 为 BD 中点,

??????12 分

所以 F 为 BE 的中点,从而 BF:BE=1:2. ?????????14 分 17.解:(Ⅰ)∵椭圆
2 2

x2 y2 1 3 + =1(a>b>0)的离心率为 ,且经过点 P(1, ), a2 b2 2 2
2 2 2 2

? a a-b = 1 ?3a -4b =0 ? ?a =4 2 9 ∴? ,即 ? 1 ,解得 ?b =3, ? + =1 1 9 ? ? a + 4b =1 ? a 4b
2 2 2 2

∴椭圆 C 的方程为

x2 y2 + =1。??????5 分 4 3 x02 y02 + =1, 4 3

(Ⅱ)易求得 F(1,0)。设 M(x0,y0),则

圆 M 的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=(1-x0)2+y02, 令 x=0,化简得 y2-2y0y+2x0-1=0,⊿=4y02-4(2x0-1)2>0??①。 将 y02=3(1x02 4 )代入①,得 3x02+8x0-16<0,解出 -4<x0< , 4 3

又∵ ? 2 ? x 0 ? 2 ? ?2 ? x 0 ?

4 。??????10 分 3
= -3x02-8x0+16

(Ⅲ)设 D(0,y1),E(0,y2),其中 y1<y2。由(2),得 DE= = y2y1= 4y02-4(2x0-1)

A Q

4 64 -3(x0+ )2+ , 3 3 当 x0=-

8 3 4 时,DE 的最大值为 ??????15 分 3 3

18.解:(Ⅰ) 如图,作 PN ? AB , N 为垂足.

sin ? ?

5 4 , sin a ? , 5 13
5 ? 2 (km), 13 12 ? 4.8 (km). 13

?
P

?

M

N B

在 Rt △ PNQ 中,

PN ? PQ sin ? ? 5.2 ? QN ? PQ cos? = 5.2 ?
在 Rt △ PNM 中,
MN ?

PN 2 ? ? 1.5 (km) .?????????3 分 tan a 4 3

设游船从 P 到 Q 所用时间为 t1 h,游客甲从 P 经 M 到 Q 所用时间为 t 2 h,小船的速度为 v1

km/h,则
26 PQ 2 t1 ? ? 5 ? (h), 13 13 5
t2 ? PM MQ 2.5 3.3 5 1 ? ? ? ? ? (h) . v1 66 v1 66 2v1 20

?????????5 分

由已知得: t2 ? ∴小船的速度为

5 1 1 2 1 25 ? ? ? ,∴ v1 ? .?????????7 分 ? t1 , 2v1 20 20 5 20 3

25 km/h 时,游客甲才能和游船同时到达 Q . 3

(Ⅱ)在 Rt △ PMN 中,

PM ?

PN 2 PN 2cos a (km), MN ? (km). ? ? sin a sin a tan a sin a 2cos a (km). sin a
?????????9 分

∴ QM ? QN ? MN ? 4.8 ? ∴t ? ∵ t? ?

PM QM 1 4 cos a 1 33 ? 5cos a 4 = .???????11 分 ? ? ? ? ? ? 10 66 5sin a 55 33sin a 165 sin a 55
???????13 分

1 5sin 2 a ? (33 ? 5cos a )cos a 5 ? 33cos a , ? ? 165 sin 2 a 165sin 2 a 5 ∴令 t ? ? 0 得: cos a ? . 33
当 cos a ?

5 5 时, t ? ? 0 ;当 cos a ? 时, t ? ? 0 . 33 33

∵ cosa 在 ? ? (0,

?
2

) 上是减函数,
5 时,t 最小,即游客甲能按计划以最短时间到达 Q .?15 分 33

∴当方位角 a 满足 cos a ?

19. (Ⅰ) 因为 k ? 7 ,所以 a1 , a3 , a7 成等比数列,又 ?an ? 是公差 d ? 0 的等差数列, 所以 ? a1 ? 2d ? ? a1 ? a1 ? 6d ? ,整理得 a1 ? 2d ,又 a1 ? 2 ,所以 d ? 1 ,
2

b1 ? a1 ? 2 , q ?

b2 a3 a1 ? 2d ? ? ?2, b1 a1 a1

所以 an ? a1 ? ? n ? 1? d ? n ? 1, bn ? b1 ? qn?1 ? 2n ,

????3 分

①用错位相减法或其它方法可求得 ?anbn ? 的前 n 项和为 Tn ? n ? 2n ?1 ; ????6 分 ② 因为新的数列 {cn } 的前 2n ? n ? 1 项和为数列 ?an ? 的前 2 n ? 1 项的和减去数列 ?bn ? 前

n 项的和,
所以 S 2n ? n ?1 ?

(2n ? 1)(2 ? 2n ) 2(2n ? 1) ? ? (2n ? 1)(2n ?1 ? 1) . 2 2 ?1

所以 S2n ?n?1 ? 22n?1 ? 3? 2n?1 (n ? 2, n ? N * ) =1. ????11 分 (Ⅱ) 由 (a1 ? 2d ) 2 ? a1 (a1 ? (k ? 1))d ,整理得 4d 2 ? a1d (k ? 5) , 因为 d ? 0 ,所以 d ?

a1 (k ? 5) a a ? 2d k ? 3 ? ,所以 q ? 3 ? 1 . a1 a1 2 4

因为存在 m>k,m∈ *使得 a1 , a3 , ak , am 成等比数列, N

? k ? 3? 所以 am ?a1 q ? a1 ? ? , ? 2 ?
3 3

又在正项等差数列{an}中, am ? a1 ? (m ? 1)d ? a1 ?
3

a1 (m ? 1)( k ? 5) , 4

a (m ? 1)(k ? 5) ? k ? 3? 所以 a1 ? 1 ? a1 ? ? ,又因为 a1 ? 0 , 4 ? 2 ?
所以有 2? 4 ? (m ? 1)(k ? 5)? ? (k ? 3)3 , 因为 2 ? 4 ? (m ? 1)(k ? 5)? 是偶数,所以 (k ? 3)3 也是偶数, 即 k ? 3 为偶数,所以 k 为奇数. ????16 分

20.解:(Ⅰ)由 f ? x ? ? ? x3 ? x2 ? b ,得 f ? ? x ? ? ?3x2 ? 2x ? ? x ? 3x ? 2? , 令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? 0 或 列表如下:

2 . 3 ? 1 2
? 1 ? ? ? ,0 ? ? 2 ?
?

x
f ?? x? f ? x?

0 0 极小值

? 2? ? 0, ? ? 3?

2 3
0 极大值

?2 ? ? ,1 ? ?3 ?
?

?
递增

1 f (? ) 2

递减

递减

1 3 2 4 1 2 1 3 3 由 f (? ) ? ? b , f ( ) ? ? b , ∴ f (? ) ? f ( ) , 即 最 大值 为 f (? ) ? ? b ? , ∴ 2 8 3 27 2 3 2 8 8 b ? 0 .????5 分
(Ⅱ)由 g ? x ? ? ? x2 ? ? a ? 2? x ,得 ? x ? ln x ? a ? x2 ? 2x .
? x ? ?1, e? ,? ln x ? 1 ? x ,且等号不能同时取,∴ ln x ? x,即x ? ln x ? 0 ,

∴a?

x2 ? 2 x x2 ? 2 x 恒成立,即 a ? ( )min . x ? ln x x ? ln x

令 t ? x? ?

? x ? 1?? x ? 2 ? ln x ? , x2 ? 2 x , x ??1, e?? ,求导得, t? ? x ? ? 2 x ? ln x ? x ? ln x ?

当 x ??1, e? 时, x ? 1 ? 0,ln x ? 1, x ? 2 ? ln x ? 0 ,从而 t? ? x ? ? 0 , ∴ t ? x ? 在 ?1,e? 上为增函数,∴ tmin ? x ? ? t ?1? ? ?1,∴ a ? ?1 .????10 分
?? x3 ? x 2 , x ? 1 (Ⅲ)由条件, F ? x ? ? ? , ?a ln x, x ? 1

假设曲线 y ? F ? x ? 上存在两点 P, Q 满足题意,则 P, Q 只能在 y 轴两侧, 不妨设 P ?t, F ?t ?? ?t ? 0? ,则 Q ?t, t 3 ? t 2 ,且 t ? 1 .

?

?

? ?POQ 是以 O ( O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形, ??? ???? ? 2 3 2 ∴ OP ? OQ ? 0 ,∴ ? t ? F (t )(t ? t ) ? 0 ??*? ,
是否存在 P, Q 等价于方程 ?*? 在 t ? 0 且 t ? 1 时是否有解. ①若 0 ? t ? 1 时,方程 ?*? 为 ?t 2 ? ?t 3 ? t 2 t 3 ? t 2 ? 0 ,化简得 t 4 ? t 2 ? 1 ? 0 , 此方程无解; ②若 t ? 1 时, ?*? 方程为 ?t 2 ? a ln t ? t 3 ? t 2 ? 0 ,即

?

??

?

?

?

1 ? ? t ? 1? ln t , a

1 设 h ? t ? ? ? t ? 1? ln t ? t ? 1? ,则 h? ? t ? ? ln t ? ? 1 , t
显然,当 t ? 1 时, h? ? t ? ? 0 ,即 h ? t ? 在 ?1, ?? ? 上为增函数, ∴ h ? t ? 的值域为 ? h ?1? , ??? ,即 ? 0, ?? ? ,∴当 a ? 0 时,方程 ?*? 总有解. ∴对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? F ? x ? 上总存在两点 P, Q ,使得 ?POQ 是以 O ( O 为坐 标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上.????16 分


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