2019-2020学年高中数学 1.3第11课时 奇偶性课时作业 新人教A版必修1

2019-2020 学年高中数学 1.3 第 11 课时 奇偶性课时作业 新人教 A

版必修 1

1.函数 y=x2

x+ x+1

(

)

A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数

D.既不是奇函数又不是偶函数

解析:∵函数 y=x2

x+ x+1

的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,∴此函数既不

是奇函数又不是偶函数,故选 D.

答案:D

2.函数 f(x)=1x-x 的图象关于(

)

A.y 轴对称

B.直线 y=-x 对称

C.坐标原点对称 D.直线 y=x 对称

解析:∵f(x)=1x-x(x≠0),

∴f(-x)=-1x+x=-f(x),

∴函数 f(x)为奇函数,所以 f(x)=1x-x 的图象关于原点对称,故选 C.

答案:C 3.对于定义域是 R 的任意奇函数 f(x),都有( ) A.f(x)-f(-x)>0 B.f(x)-f(-x)≤0 C.f(x)·f(-x)≤0 D.f(x)·f(x)>0 解析:∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)·f(-x)=-[f(x)]2. 又∵f(0)=0,∴-[f(x)]2≤0,故选 C. 答案:C 4.设 f(x)是 R 上的任意函数,则下列叙述正确的是( ) A.f(x)f(-x)是奇函数 B.f(x)|f(-x)|是奇函数 C.f(x)-f(-x)是偶函数 D.f(x)+f(-x)是偶函数 解析:由函数奇、偶性的定义知 D 项正确,故选 D.

答案:D 5.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,f(-3)=2,则下列各点在函数 f(x)图象上的是

()

A.(-3,-2) B.(3,2) C.(2,-3) D.(3,-2) 解析:∵f(x)在 R 上为奇函数, ∴f(-3)=-f(3)=2,∴f(3)=-2,故选 D. 答案:D 6.函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数,当 x>0 时,f(x)=-x+1,则当 x<0 时,f(x) 的表达式为( ) A.f(x)=-x+1 B.f(x)=-x-1 C.f(x)=x+1 D.f(x)=x-1 解析:若 x<0,则-x>0. 又∵当 x>0 时,f(x)=-x+1,

∴f(-x)=x+1. 又 f(x)为偶函数,f(-x)=f(x). ∴f(x)=x+1. 答案:C 7.已知函数 f(x)在[-5,5]上是偶函数,f(x)在[0,5]上是单调函数,且 f(-4)<f(- 2),则下列不等式一定成立的是( ) A.f(-1)<f(3) B.f(2)<f(3) C.f(-3)<f(5) D.f(0)>f(1) 解析:∵函数 f(x)在[-5,5]上是偶函数, ∴f(-4)<f(-2)?f(4)<f(2). 又 f(x)在[0,5]上是单调函数. ∴f(x)在[0,5]上递减,从而 f(0)>f(1). 答案:D 8.已知 f(x)在[a,b]上是奇函数,且 f(x)在[a,b]上的最大值为 m,则函数 F(x)=f(x) +3 在[a,b]上的最大值与最小值之和为( ) A.2m+3 B.2m+6 C.6-2m D.6 解析:因为奇函数 f(x)在[a,b]上的最大值为 m,所以它在[a,b]上的最小值为-m, 所以函数 F(x)=f(x)+3 在[a,b]上的最大值与最小值之和为 m+3+(-m+3)=6,故选 D. 答案:D 9.已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-2x,则 f(x)在 R 上的 解析式为________. 解析:令 x<0,则-x>0, ∴f(-x)=(-x)2+2x=x2+2x. 又∵f(x)为奇函数, ∴f(x)=-f(-x)=-x2-2x,

??x2-2x, x≥0,

? ∴f(x)= -x2-2x,

)

??x<0.

??x2-2x, x≥0,

? 答案:f(x)= -x2-2x,

)

??x<0.

10.

烟台高一检测 已知 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=-x2+2x

+2.

(1)求 f(x)的表达式;

(2)画出 f(x)的图象,并指出 f(x)的单调区间.

解析:(1)设 x<0,则-x>0,

于是 f(-x)=-(-x)2-2x+2=-x2-2x+2.

又∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x).

因此,f(x)=x2+2x-2.

又∵f(0)=0,

?? x2+2x-2,x<0, ∴f(x)=?0,x=0,
??-x2+2x+2,x>0.

(2)先画出 y=f(x)(x>0)的图象,利用奇函数的对称性可得到相应 y=f(x)(x<0)的图

象,其图象如图所示.由图可知,其增区间为[-1,0)和(0,1],减区间为(-∞,-1]和[1,

+∞).

B 组 能力提升 11.若函数 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且 f(2)=0,则 使函数值 y<0 的 x 的取值范围为( )

A.(-∞,2)

B.(2,+∞)

C.(-∞,-2)∪(2,+∞)

D.(-2,2)

解析:由于 f(x)是偶函数,且 f(2)=0,故 f(-2)=0,根据已知条件,可画出函数 y =f(x)的示意图,图象关于 y 轴对称,由图象可知,使函数值 y<0 的 x 的取值范围为(-2,2), 故选 D.
答案:D 12.已知 f(x)为奇函数,且当 x<0 时,f(x)=x2+3x+2.若当 x∈[1,3]时,f(x)的最 大值为 m,最小值为 n,则 m-n 的值为________. 解析:∵x<0 时,f(x)=x2+3x+2,且 f(x)是奇函数, ∴当 x>0 时,-x<0,则 f(-x)=x2-3x+2. 故当 x>0 时,f(x)=-f(-x)=-x2+3x-2.
∴当 x∈???1,32???时,f(x)是增函数; 当 x∈???32,3???时,f(x)是减函数. 因此当 x∈[1,3]时,f(x)max=f???32???=14, f(x)min=f(3)=-2. ∴m=14,n=-2,从而 m-n=94.
答案:94 13.设函数 f(x)在 R 上是偶函数,在区间(-∞,0)上递增,且 f(2a2+a+1)<f(2a2 -2a+3),求 a 的取值范围. 解析:由 f(x)在 R 上是偶函数,在区间(-∞,0)上递增,可知 f(x)在(0,+∞)上递 减.
∵2a2+a+1=2???a+14???2+78>0,

2a2-2a+3=2???a-12???2+52>0, 且 f(2a2+a+1)<f(2a2-2a+3), ∴2a2+a+1>2a2-2a+3,
即 3a-2>0,解得 a>23.

∴a 的取值范围是???23,+∞??? 14.已知函数 f(x)=axx2++1b是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,且 f???12???=25. (1)求函数 f(x)的解析式;
(2)判断 f(x)在(-1,1)上的单调性,并且证明你的结论.

?? f

=0,

解析:(1)根据题意得???f???12???=25,

a×0+b
? 1+02 =0, ??即 a2+b 2 ??1+41=5,

解得?????ab= =10, , ∴f(x)=1+x x2.

(2)任意 x1,x2∈(-1,1),且 x1<x2,则

f(x1)-f(x2)=1+x1x21-1+x2x22

=x1

+x22 -x2 +x21

+x21

+x22



x1-x2 +x21

-x1x2 +x22

∵-1<x1<x2<1,∴x1-x2<0,1-x1x2>0,

从而 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2).

故 f(x)在(-1,1)上是增函数.

15. 附加题·选做



f(x)是定义在

R

上的奇函数,且对任意

a、b∈R,当

a+b≠0

f 时,都有

a +f a+b

b

>0.

(1)若 a>b,试比较 f(a)与 f(b)的大小关系;

(2)若 f(1+m)+f(3-2m)≥0.求实数 m 的取值范围.

解析:(1)∵a>b,∴a-b>0,

由题意得f

a +f a+b

b

>0,∴f(a)+f(-b)>0.

又∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,

∴f(-b)=-f(b),

∴f(a)-f(b)>0,即 f(a)>f(b).

(2)由(1)知 f(x)为 R 上的单调递增函数,

∵f(1+m)+f(3-2m)≥0,

∴f(1+m)≥-f(3-2m),

即 f(1+m)≥f(2m-3),∴1+m≥2m-3,∴m≤4.

∴实数 m 的取值范围为(-∞,4].


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