学生版高中数学《三角函数》专题训练材料

高中数学《三角函数》专题训练材料

任意角的三角函数概念 三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面: (1)任意角和弧度制.理解任意角的概念 、弧度的意义,能正确地进行弧度与角度 的换算. (2)任意角的三角函数.掌握任意角的正弦 、余弦、正切的定义及三角函数线,能 够利用三角函数线判断三角函数的符号,借助三角函数线求三角函数的定义域. (1)已知角 α 的终边过点 P(-4m,3m)(m≠0),则 2sin α+cos α 的值是 ________. (2)函数 y= sin x+ 2cos x-1的定义域是________. [再练一题] 1. 若 θ 是第四象限角,试判断 sin(cos θ)· cos(sin θ)的符号.
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同角三角函数的基本关系与诱导公式 同角三角函数的基本关系和诱导公式是三角恒等变换的主要依据, 主要应用方向是 三角函数式的化简、求值和证明.常用以下方法技巧: (1)化弦:当三角函数式中三角函数名称较多时,往往把三角函数化为弦,再化简 变形. (2)化切:当三角函数式中含有正切及其他三角函数时,有时可将三角函数名称都 化为正切,再化简变形. (3)“1”的代换:在三角函数式中,有些会含有常数 1,常数 1 虽然非常简单,但 有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将 1 代换为三角函数式. 已知 cos θ=m,|m|≤1,求 sin θ、tan θ 的值.

[再练一题] 2. 已知 sin?2π+θ?tan?π+θ?tan?3π-θ? = 1 ,则 sin2θ + 3sin θcos θ + 2cos2θ 的值是 ?π ? cos?2-θ?tan?-π-θ? ? ?

________. 三角函数的图象与性质 三角函数的图象是研究三角函数性质的基础,又是三角函数性质的具体体现.在平 时的考查中, 主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定, 以及通过对图象的描绘、 观察来讨论函数的有关性质.具体要求: (1)用“五点法”作 y=Asin(ωx+φ)的图象时,确定五个关键点的方法是分别令 ωx π 3π +φ=0,2,π, 2 ,2π. (2)对于 y=Asin(ωx+φ)的图象变换, 应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后 “平移”的区别. (3)已知函数图象求函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式时,常用的解题方法 是待定系数法. π? ? 已知函数 f(x)=2sin?2x-6?+a,a 为常数. ? ? (1)求函数 f(x)的最小正周期;

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(2)求函数 f(x)的单调递增区间; π? ? (3)若 x∈?0,2?时,f(x)的最小值为-2,求 a 的值. ? ?

[再练一题] 3.如图 11 所示的是函数 y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0)的部分图象.

图 11 (1)求此函数的解析式; (2)分析该函数的图象是如何通过 y=sin x 的图象变换得来的. 数形结合思想 数形结合常用于解方程、解不等式、求函数的值域、判断图象交点的个数、求参数 范围等题目中. 本章中, 常常利用单位圆中的三角函数线或三角函数的图象解答三角问题,是典型 的“以形助数”的方法, 而利用三角公式证明三角函数中的几何性质问题,又是典型的 “以数助形”的解题策略. π? ? 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ), x∈R?其中A>0,ω>0,|φ|<2?在一个周期内 ? ? 的简图如图 12 所示,求函数 g(x)=f(x)-lg x 零点的个数.

图 12

[再练一题]
? ? ? ? ? 1 4.若集合 M=?θ?sin θ≥2,0≤θ≤π ?, ? ? ? ? ?

,求 M∩N.

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1.已知角 α 的终边经过点(-4,3),则 cos α=________. π 2.若将函数 y=2sin 2x 的图象向左平移12个单位长度,则平移后图象的对称轴为 ________. 5 3.若 sin α=-13,且 α 为第四象限角,则 tan α 的值等于________. 4. 函数 f(x) = cos(ωx + φ) 的部分图象如图 13 所示,则 f(x) 的单调递减区间为 ________.

图 13 5.定义在区间[0,3π]上的函数 y=sin 2x 的图象与 y=cos x 的图象的交点个数是 ________. π 6.已知函数 y=cos x 与 y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为3的交 点,则 φ 的值是________.

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活学精练一点通之《三角函数》
(时间 120 分钟,满分 160 分) 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在题中横线上) 1.若 sin α<0 且 tan α>0,则 α 是第________象限角. 2.已知圆的半径是 6 cm,则 15° 的圆心角与圆弧围成的扇形面积是________. 3.cos 675° =________. 11π 4.把- 4 表示成 θ+2kπ(k∈Z)的形式,使|θ|最小的 θ 的值是________. 5.角 α,β 的终边关于 x 轴对称,若 α=30° ,则 β=________. π? ? π? ? 6.函数 y=cos?x+6?,x∈?0,2?的值域是________. 【导学号:48582068】 ? ? ? ? sin α 1 7.设 α 是第二象限角,则cos α· sin2α-1等于________. π π? ? 8.将函数 f(x)=sin(ωx+φ)?ω>0,-2≤φ<2?图象上每一点的横坐标缩短为原来的一 ? ? π ?π? 半,纵坐标不变,再向右平移6个单位长度得到 y=sin x 的图象,则 f?6?=________. ? ? 9.若 3sin α+cos α=0,则 1 的值为________. cos α+2sin αcos α
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10.已知点 P(tan α,sin α-cos α)在第一象限,且 0≤α≤2π,则角 α 的取值范围是 ________. ?7π? 11.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图 1 所示,则 f?12?=________. ? ?

图1 12.化简: 1-2sin 200° cos 160° =________. 13.如图 2 为一半径是 3 m 的水轮,水轮圆心 O 距离水面 2 m,已知水轮每分钟旋 转 4 圈, 水轮上的点 P 到水面的距离 y(m)与时间 x(s)满足函数关系 y=Asin(ωx+φ)+2,
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则 ω=________,A=________. 【导学号:48582069】

图2 14.关于函数 2 ①其最小正周期为3π; π ②其图象由 y=2sin 3x 向左平移4个单位而得到; 3 ? ? ③其表达式可以写成 f(x)=2cos?3x+4π?; ? ? ?π 5 ? ④在 x∈?12,12π?为单调递增函数. ? ? 则其中真命题为________.(需写出所有真命题的序号) 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤) 15.(本小题满分 14 分)(1)已知角 α 的终边经过点 P(4,-3),求 2sin α+cos α 的值; (2)已知角 α 终边上一点 P 与 x 轴的距离与 y 轴的距离之比为 3∶4, 求 2sin α+cos α 的值. ,有下列命题:

16.(本小题满分 14 分)已知 sin(α-3π)=2cos(α-4π).
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(1)求

sin?π-α?+5cos?2π-α? 的值; ?3π ? ?π ? 2sin? 2 -α?-cos?2+α? ? ? ? ?

(2)求 sin2α+2sin αcos α-cos2α+2 的值.

? π? 17.(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=3sin?x+4?. ? ? (1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象;

图3 (2)写出 f(x)的值域、周期、对称轴、单调区间.

18. (本小题满分 16 分)在△ABC 中,AC=6,cos

π? 4 π ? B=5,C=4.求 cos?A-6?的值. ? ?

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π? π? ? ? 19. (本小题满分 16 分)已知函数 y=asin?2x+6?+b 在 x∈?0,2?上的值域为[-5, ? ? ? ? 1],求 a,b 的值.

π? ? 20.(本小题满分 16 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+B?A>0,ω>0,|φ|<2?的一系 ? ? 列对应值如下表: x y π -6 -1 π 3 1 5π 6 3 4π 3 1 11π 6 -1 7π 3 1 17π 6 3

(1)根据表格提供的数据求出函数 f(x)的一个解析式; π? 2π ? (2)根据(1)的结果,若函数 y=f(kx)(k>0)的周期为 3 ,当 x∈?0,3?时,方程 f(kx) ? ? =m 恰有两个不同的解,求实数 m 的取值范围.

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