【全程复习方略】2014版高考数学 阶段滚动检测(六)理 北师大版

阶段滚动检测(六) 第一~十章 (120 分钟 150 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的) 1.(滚动单独考查)(2013·咸阳模拟)已知复数 z 满足(1+i)z=1-i,则复数 z 的共轭复数 =( (A)-i (B)i (C)1 +I (D)1- i =1},N={x|-1<log2x≤2},则 M∩N=( ) )

2.(2013·南昌模拟)已知集合 M={x| (A){x|-1<x≤4}

(B){x| <x≤4}

(C){-1,3} (D){3} 3.把一枚硬币连续抛两次,记 “第一次出现正面” 为事件 A, “第二次出现正面” 为事件 B,则 P(B|A)等于( (A) (B) (C) (D) )

)

4.命题“存在(x,y),x,y∈R,2x+3y+3<0”的否定是( (A)存在(x,y),x,y∈R,2x+3y+3<0 (B)存在(x,y),x,y∈R,2x+3y+3≥0 (C)任意的(x,y),x∈R,y∈R,2x+3y+3≥0 (D)任意的(x,y),x∈R,y∈R,2x+3y+3>0

5.(2013·新余模拟)设集合 P={b,1},Q={c,1,2},P?Q,若 b,c∈{2,3,4,5,6,7, 8,9},则 b=c 的概率是( ) (A) (B) (C) (D)

6.将一个骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 ( ) (A) (B) (C) (D)

7.(滚动单独考查)若实数 x,y 满足

则 z=2x+3y 的最大值是(

)

(A)0

(B)

(C)2
-x

(D)3 )

8.(滚动单独考查)(2013·成都模拟)设方程 2 =|lgx|的两根为 x1,x2,则以下关系正确的是( (A)x1x2<0 (B)0<x1x2<1 (C)x1x2=1 (D)x1x2>1 2 2 9.从点 P(m,3)向圆 C:(x+2) +(y+2) =1 引切线,则切线长的最小值为( ) (A)2 (B) (C)4+ (D)5

10.(2013·合肥模拟)反 复抛掷一枚质地均匀的骰子,每一次抛掷后都记录下朝上一面的点数,当记录有三
-1-

个不同点数时即停止抛掷 ,则抛掷五次后恰好停止抛掷的不同记录结果总数是( ) (A)360 种 (B)840 种 (C)600 种 (D)1680 种 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请把正确答案填在题中横线上) 11. 某批花生种子 , 每颗种子的发芽率为 , 若每次播下 5 颗花生种子 , 则每次种子发芽颗数的平均值为 颗. 12.设 A 为圆周上一定点,在圆周上等可能地任取一点与 A 连接,弦长超过半径的
2

倍的概率为

.

13.(2013·淮南模拟)已知随机变量ξ 服从正态分布 N(2,σ ),若 P(0<ξ <2)=0.32,则 P(ξ ≥4)= . 14.(2013 ·南昌模拟 ) 已知实数 x ∈ [0,8], 执行如图所示的程序框图 , 则输出的 x 不小于 55 的概率 为 .

15.( 滚 动 交 汇 考 查 )(2013 · 温 州 十 校 联 考 ) 数 列 {an} 是 首 项 为 1, 公 比 为 2 的 等 比 数 列 , 则 a1 -a2 +a3 -a4 +?-a100 +a101 = .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(12 分)(滚动单独考查)已知向量 m=( (1)若 m·n =1,求 cos( -x)的值. sin ,1),n=(cos ,cos ).
2

(2)记 f(x)= m·n,在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足(2a -c)cosB=bcosC,求 f(A)的取值范 围. 17.(12 分)(2012·广东高考改编)某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩 分组区间是:40~50,50~60,60~70,70~80,80~90,90~100.

-2-

(1)求图中 x 的值. (2)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人,该 2 人中成绩在 90 分以上(含 90 分)的人数记为 X,求 X 的 数学期望. 18.(12 分)(滚动单独考查)设集合 W 是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合: ① ≤an+1;②an≤M.其中 n∈N+,M 是与 n 无关的常数.

(1)若{an}是等差数列,Sn 是其前 n 项的和,a4=2,S4=20,证明:{Sn}∈W. n (2)设数列{bn}的通项为 bn=5n-2 ,且{bn}∈W,求 M 的取值范围. (3)设数列{cn}的各项均为正整数,且{cn}∈W.证明 cn≤cn+1. 19.(12 分)(2013·合肥模拟)某大楼共 5 层,4 个人从第一层上电梯,假设每个人都等可能地在每一层下电 梯,并且他们下电梯与否相互独立.又知电梯只在有人下时才停止. (1)求某乘客在第 i 层下电梯的概率(i=2,3,4,5). (2)求电梯在第 2 层停下的概率. (3)求电梯停下的次数 X 的数学期望. 20.(13 分)(2012·新课标全国卷)某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位:枝,n∈N)的函数解析 式. (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表: 日需求量 n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. ①若花店一天购进 16 枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元),求 X 的分布列、数学期望及方差; ②若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝?请说明理由. 21.(14 分)(2013· 西安模拟) “天宫一号” 的顺利升空标志着我国运载火箭技术的日趋完善.据悉,担任 “天 宫一号”发射任务的是“长征二号 FT1”火箭.为确保发射成功,科学家更改了“长征二号 FT1”运载火箭 的 170 余项技术状态,增加了某项新技术,该项新技术在进入试用阶段前必须对其中三项不同的指标甲、 乙、 丙进行通过量化检测.假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立检测合格的概率分别为 , , ,指标甲、乙、
-3-

丙检测合格分别记 4 分、2 分、4 分.若某项指标不合格,则该项指标记 0 分,各项指标检测结果互不影响. (1)求该项新技术量化检测得分不低于 8 分的概率. (2)记该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量 X,求 X 的分布列与数学期望.

答案解析 1.【解析】选 B.z= =
2

=-i? =i.

2.【解析】选 D.∵M={x|x -2x-3=0}={-1,3},N={x| <x≤4}, ∴M∩N={3}. 3.【解析】选 A.方法一:P(B|A)= = = .

方法二:A 包括的基本事件为{正,正},{正,反},AB 包括的基本事件为{正,正},因此 P(B|A)= . 4.【解析】选 C.存在(x,y)的否定是任意的(x,y),2x+3y+3<0 的否定是 2x+3y+3≥0,故选择 C. 5.【解析】选 C.依题意得当 b=2 时,c 可从 3,4,5,6,7,8,9 中选取,此时 b≠c;当 b 从 3,4,5,6,7,8,9 中选 取时,有 b=c,因此,b=c 的概率为 = .
3

6. 【解析】 选 B.将一个骰子连抛三次,共有 n=6 种不同情形.其中,落地时向上的点数依次成等差数列的有: ①公差 d=±1 的有 4×2=8(种);②公差为±2 的有 2×2=4(种);③公差 d=0 的有 6 种,共有 m=8+4+6=18(种), 故所求概率为 P= = = .

7.【解析】选 D.平面区域如图,阴影部分的顶点坐标分别为 O(0,0), A(0,1),B(- , ),

所以 zmax=3. 8.【解析】选 B.不妨设 x1<x2,则-x1>-x2, ∴ > ,即|lgx1|>|lgx2|.

∵x1<x2,∴-lgx1>lgx2, ∴lg(x1x2)<0,∴0<x1x2<1. 9.【解析】选 A.利用切线长与圆半径的关系加以求解.不妨设圆 C 的圆心为 C,设切点为 M,则 CM⊥MP,于是
-4-

切线 MP 的长|MP|= = ,显然,当 m=-2 时,MP 有最小值 =2 .

10. 【解析】 选 B.由题意,得前四次抛掷出现的点数有两个,第五次抛掷的点数不同于前两个,共有两种情况: 一是前四次抛掷有三次点数相同,此时共有不同记录结果 两次点数也相同,此时共有不同记录结果 + 种,故共有 种;二是前四次抛掷有两次点数相同,另

=4×6×5×4+ ×6×5×4=840(种).

11.【解析】每次种子发芽的颗数记为 X,则 X~B(5, ),EX=5× =4, 答案:4 12. 【解析】 不妨设圆心为 O,在圆周上,任取一点 B 与 A 连接,则弦长超过半径的 由几何概型的公式得 答案: 13.【解析】由ξ ~N(2,σ )知,正态曲线的对称轴为 x=2, 又 P(0<ξ <2)=0.32,则 P(0<ξ <4)=0.64,于是, P(ξ ≥4)= [1-P(0<ξ <4)]= (1-0.64)=0.18. 答案:0.18 14.【解析】∵0≤x≤8, ∴当 n=1 时,1≤2x+1≤17,即 1≤x≤17, 当 n=2 时,3≤2x+1≤35, 即 3≤x≤35, 当 n=3 时,7≤2x+1≤71,即 7≤x≤71, ∴输出的 x 不小于 55 的概率为 答案: 15.【解析】依题意 an=2 ∴a1 +?-a100 =2
0 n-1 2

倍时有∠AOB∈( , π ),

= .

=

= .

-a2 +a101 -2
100 1

+a3

-a4

+2

2

-2

3

+?-2

99

+2

100

=(1-2) =1. 答案:1 16.【解析】(1)m·n= sin ·cos +cos
2

-5-

=

sin +

=sin( + )+ ,

∵m·n=1,∴sin( + )= . cos(x+ )=1-2sin ( + )= , cos( -x)=-cos(x+ )=- .
2

(2)∵(2a-c)cosB=bcosC, 由正弦定理得 (2sinA-sinC)cosB=sinBcosC, ∴2sinAcosB-sinCcosB =sinBcosC. ∴2sinAcosB=sin(B+C). ∵A+B+C=π , ∴sin(B+C)=sinA≠0. ∴cosB= ,∵0<B<π ,∴B= , ∴0<A< ,∴ < + < ,sin( + )∈( ,1).

又∵f(x)=sin( + )+ , ∴f(A)=sin( + )+ , 故 f(A)的取值范围是(1, ). 17.【解析】(1)由题设可知(3×0.006+0.01+x+0.054)×10=1,解之得 x=0.018. (2)由题设可知,成绩在区间 80~90 内的人数为 0.018×10×50=9, 成绩在区间 90~100 内的人数为 0.006×10×50=3, 所以不低于 80 分的学生人数为 9+3=12,X 的所有可能取值为 0,1,2. P(X=0)= P(X=1)= P(X=2)= = = = . +1× +2× = . , ,

所以 X 的数学期望 EX=0×

【变式备选】某人向一目标射击 4 次,每次击中目标的概率为 .该目标分为 3 个不同的部分,第一、二、三 部分面积之比为 1∶3∶6.击中目标时,击中任何一部分的概率与其面积成正比. (1)设 X 表示目标被击中的次数,求 X 的分布列. (2)若目标被击中 2 次,A 表示事件“第一部分至少被击中 1 次或第二部分被击中 2 次”,求 P(A). 【解析】(1)依题意,X 的分布列为

-6-

X

0

1

2

3

4

P (2)设 Ai 表示事件“第一次击中目标时,击中第 i 部分”,i=1 ,2,3. Bi 表示事件“第二次击中目标时,击中第 i 部分”,i=1,2,3. 依题意知 P(A1)=P(B1)=0.1, P(A2)=P(B2)=0.3, P(A3)=P(B3)=0.6, 所求的概率为 P(A)=1-P(A3)P(B3)-P(A3)P(B2)-P(A2)P(B3)=0.28. 18.【解析】(1)设等差数列{an}的公差是 d,则

解得 所以 Sn=na1+ 由 =-1<0, 得
2

d=-n +9n,
2 2 2

2

-Sn+1= [(-n +9n)-(n+2) +9(n+2)+2(n+1) -18(n+1)]

<Sn+1 适合条件①;
2

又 Sn=-n +9n=-(n- ) +

,所以当 n=4 或 5 时,Sn 取得最大值 20,即 Sn≤20,适合条件②.

综上,{Sn}∈W. n+1 n n (2) 因 为 bn+1-bn=5(n+1)-2 -5n+2 =5-2 , 所 以 当 n ≥ 3 时 ,bn+1-bn<0, 此 时 数 列 {bn} 单 调 递 减 ; 当 n=1,2 时,bn+1-bn>0,即 b1<b2<b3,因此数列{bn}中的最大项是 b3=7, 所以 M≥7. (3)假设存在正整数 k,使得 ck>ck+1 成立. 由数列{cn}的各项均为正整数,可得 ck≥ck+1+1,即 ck+1≤ck-1. 因为 ≤ck+1,所以,

ck+2≤2ck+1-ck≤2(ck-1)-ck=ck-2, 由 ck+2≤2ck+1-ck 及 ck>ck+1, 得 ck+2<2ck+1-ck+1=ck+1,故 ck+2≤ck+1-1. 因为 ≤ck+2,

所以 ck+3≤2ck+2-ck+1≤2(ck+1-1)-ck+1=ck+1-2≤ck-3, * 依次类推,可得 ck+m≤ck-m(m∈N ) * 设 ck=p(p∈N ),则当 m=p 时,有 ck+p≤ck-p=0 这显然与数列{cn}的各项均为正整数矛盾. * 所以假设不成立,即对于任意 n∈N ,都有 c n≤cn+1 成立.

-7-

19.【解析】(1)显然 P(i)= . (2)电梯在第 2 层停下的对立事件是在第 2 层不停下,即 4 个人在第 2 层都不下,其概率为(1- ) , ∴P=1-(1- ) =
4 4

.

(3)X 可取 1,2,3,4 四种值, P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)= P(X=4)= = . = = , = , ,

故 X 的分布列如表: X P 1 2 3 4

∴EX=1×

+2×

+3×

+4×

=

.

【变式备选】如图所示,在单位圆 O 的某一直径上随机的取一点 Q,求过点 Q 且与该直 径垂直的弦长长度不超过 1 的概率. 【解析】弦长不超过 1 ,即 OQ≥ ,而 Q 点在直径上是随机的,事件 A={弦长超过 1}.

由几何概型的概率公式得 P(A)= ∴弦长不超过 1 的概率为 1-P(A)=1. .

=

.

答:弦长不超过 1 的概率为 1-

【方法技巧】生活中的几何概型度量区域的构造 将实际问题转化为几何概型中的长度、角度、面积、体积等常见几何概型的求解问题 ,构造出随机事件 A 对应的几何图形 ,利用几何图形的度量来求随机事件的概率 ,根据实际问题的具体情况 ,合理设置参数,建 立适当的坐标系,在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的点,便可构造出度量区域. 20.【解析】(1)当日需求量 n≥16 时,利润 y=80. 当日需求量 n<16 时,利润 y=10n-80. 所以 y 关于 n 的函数解析式为 y= (n∈N).
-8-

(2)①X 可能的取值为 60,70,80,并且 P(X=60)=0.1, P(X=70)=0.2, P(X=80)=0.7. X 的分布列为 X P 60 0.1 70 0.2 80 0.7

X 的数学期望为 E(X)=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76. X 的方差为 2 2 2 D(X)=(60-76) ×0.1+(70-76) ×0.2+(80-76) ×0.7=44. ②答案一: 花店一天应购进 16 枝玫瑰花.理由如下: 若花店一天购进 17 枝玫瑰花,Y 表示当天的利润(单位:元),那么 Y 的分布列为 Y P 55 0.1 65 0.2 75 0.16 85 0.54

Y 的数学期望为 E(Y)=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4. Y 的方差为 2 2 2 2 D(Y)=(55-76.4) ×0.1+(65-76.4) ×0.2+(75-76.4) ×0.16+(85-76.4) ×0.54 =112.04. 由以上的计算结果可以看出, D(X)<D(Y),即购进 16 枝玫瑰花时利润波动相对较小. 另外,虽然 E(X)<E(Y),但两者相差不大.故花店一天应购进 16 枝玫瑰花. 答案二: 花店一天应购进 17 枝玫瑰花.理由如下: 若花店一天购进 17 枝玫瑰花时,Y 表示当天的利润(单位:元),那么 Y 的分布列为 Y P 55 0.1 65 0.2 75 0.16 85 0.54

Y 的数学期望为 E(Y)=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4. 由以上的计算结果可以看出,E(X)<E(Y),即购进 17 枝玫瑰花时的平均利润大于购进 16 枝时的平均利润.故 花店一天应购进 17 枝玫瑰花. 21.【解析】(1)记“该项新技术的三个指标甲、乙、丙独立检测合格”分别为事件 A,B,C. 则 P(A)= ,P(B)= ,P(C)= ,则事件“该项新技术量化检测得分不低于 8 分”可表示为 ABC+A C. ∵事件 AB C 与 A C 为互斥事件,且事件 A,B,C 相互独立.

-9-

∴P(ABC+A C) =P(ABC)+P(A C)=P(A) P(B)P(C)+P(A)P( )P(C)= × × + × × = . (2)依题意得,该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数 X 的可能取值为 0,1,2,3. 故 P(X=0)=P( P(X=1)=P(A )= × × = + B + , ,

C)= × × + × × + × × = P(X=2)=P(AB +A C+ BC)= × × + × × + × × = P(X=3)=P(ABC)= × × = ∴随机变量 X 的分布列为 X .

,

0

1

2

3

P

∴EX=0×

+1×

+2×

+3×

=

.
2

【变式备选】已知关于 x 的二次函数 f(x)=ax -4bx+1. (1)设集合 P={1,2,3}和 Q={-1,1,2,3 ,4},分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a 和 b,求函数 y=f(x)在 区间[1,+∞)上是增加的概率.

(2)设点(a,b)是区域

内的一点,

求函数 y=f(x)在区间[1,+∞)上是增加的概率. 【思路点拨】本题以“二次函数的单调性”为背景,首先写出事件发生所满足的条件,在第(1)问中,给出了 有限个数据,从而判断是古典概型问题,利用列举法写出事件发生的总数以及满足条件的事件发生的个数, 再利用公式求解.第(2)问中,a 和 b 有无限个数据,所以是几何概型问题,首先计算事件发生的总数与满足条 件的事件发生的个数的测度,再利用公式求解. 【解析】(1)∵函数 f(x)=ax -4bx+1 的图像的对称轴为直线 x=
2

,要使 f(x)=ax -4bx+1 在区间[1,+∞)上

2

- 10 -

是增加的,只要当且仅当 a>0 且 若 a=1,则 b=-1; 若 a=2,则 b=-1 或 1; 若 a=3,则 b=-1 或 1. ∴所求事件的概率为 = .

≤1 即可,即 2b≤a.

(2)由(1)知,当且仅当 2b≤a 且 a>0 时, 2 函数 f(x)=ax -4bx+1 在区间[1,+∞)上为增加的, 依条件可知事件的全部结果所构成的区域为 {(a,b)| },构成所求事件的区域为三角形部分.

由 ∴所求事件的概率为 P= = .

得交点坐标为(

, ),

- 11 -


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