数列的通项公式(精品,速度来下载)

数列的通项公式不完全攻略
数列是高中数学的重要内容,且难度较大,近两年高考都是以最后一道压轴题出现,而 数列求通项公式问题又是处理数列问题的一个重要环节,下面我们看下求数列的通项公式有 哪些常见思路和方法?

㈠.累加、累乘
1.已知数列 ?a n ?中, a1 ? 1, an?1 ? an ? 2n-1 ,求 an 分析:我们把这道题与我们熟悉的数列类比下,发现如果把其中的 2n ? 1换成常数2 ,那 么就是我们熟悉的等差数列,而等差数列 的通项 公式可由 递推公式 an?1 ? an ? 2 分别让 (即累加法) 那么我们仿照类似的方法处理如下: , n取1, 3, ,n ?1 得到n ? 1 式子相加得到 2, ??
a2 ? a1 ? 1 a3 ? a2 ? 3 a4 ? a3 ? 5
?????

an ? an-1 ? 2n-3

相加得: 又

an ? a1 ? 1+3+5+7+ ?? + ? 2n-3?

? a1 ? 1
? an ? n2 ? 2n ? 2

2. 已知数列 ?a n ?中, a1 ? 1, an ?1 ? 分析:若把上式中的

n?2 换成常数 2 的话,那就就是我们熟悉的等比数列,而等比数 n

n?2 an ,求 a n n

2, ?? 列的通项公式可由递推公式 an?1 ? 2an 分别让 n取1, 3, ,n ? 1得到n ? 1 式子相乘得到 (即累

乘法) ,针对这题用同样的方法处理如下: 3 a2 ? a1 1 4 a3 ? a2 2 5 a4 ? a3 3
?????
1

an ?

相乘得: 又

n ?1 an-1 n ?1 3 4 5 6 n ?1 an ? a1 ? ? ? ? ??? ? 1 2 3 4 n ?1

? a1 ? 1
? an ?
n ? n ? 1? 2

通过上面两个例子可以发现,形如以下两个递推数列求通项问题一般都可用累加累乘 (1)递推式为 an?1 ? an ? f (n) (只需 f (n) 的和可求均可用累加) (2)递推式为 an ?1 ? an ? f (n) (只需 f (n) 的积可求均可用累乘)

㈡.发现等差等比
在讲第二类方法之前先要弄清楚两个问题 (1)理解一下数列的形式一致(知道一个数列第 n项 表达式能写出第 n+1项 ) (2)在得出一个和 an有关的数列是等差或等比 后会求 an 的通项 练:已知数列 ?a n ?中, a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 2n-1 ,求 an 分析:这个递推数列 an?1 ? 2an ? 2n-1 不是我们熟悉的形式,且通过列出几项可以发现不 是等差等比,但可以变为 an ?1 +2 ? n+1? +1 ? 2 ? an ? 2n+1? , (为什么要这么变在后面会说明) 这样有什么好处呢?若把 an ? 2n+1 看成一个新数列的第 n 项,而等式的左边正好是第
n ? 1项(等式两边的形式一定要一致) ,可得 ?an ? 2n+1? 是一个以 4 为首项(注意首项是 a1 +2

×1+1) 为公比的等比数列, ,2 可得: an ? 2n+1=4 ? 2n-1

?

an =2n+1 ? 2n ? 1

这道题给我们的提示就是应该找到一个和 an 有关系的等差等比数列(怎么找?首先数列 两边形式应化为一致或相似) ,先求出该数列通项再求出 an ,下面介绍几种找等差等比的方 法 一、整式递推数列求通项 1.已知 a1 ? 2, an ?1 ? 3an ? 4 ,求 an

2

分析:我们可以发现等式的右边是 an +常数的形式,而左边只有 an +1 ,形式不一致,若左 边也是 an?1 +常数的形式(这个常数怎么确定呢?) ,这样等式两边就形式相似,就可以看成 一个新数列的第 n项 和第 n ? 1项 引入待定系数 t ,若原式可化为 an ?1 ? t ? 3 ? an ? t ? 就达到我们的目标,可解得 t ? 2
? an ?1 ? 2 ? 3 ? an ? 2 ? ??an ? 2? 是以 4 为首项,3 为公比的等比数列
? an ? 2 ? 4 ? 3n?1 ? an ? 4 ? 3n?1 ? 2

2.已知 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 2n ? 1 ,求 an 分析:等式的右边是 an ? 一次函数 ,若左边也是 an?1 ? 一次函数 ,则等式两边形式相似, 引入待定系数,使得 an ?1 +k ? n+1? ? b ? 2 ? an ? kn ? b ? (如果写成 an ?1 ? t ? 2 ? an ? t ? 行吗?),
an ?1 ? 2an ? 2n ? 1 ? ?k ? 2 ? ?? ? an ?1 +k ? n +1? ? b ? 2 ? an ? kn ? b ? ? ?b ? 1 ?

? an ?1 +2 ? n+1? ? 1 ? 2 ? an ? 2n ? 1?

可得: an ? 2n+1=4 ? 2n-1

?

an =2n+1 ? 2n ? 1

3.已知 a1 ? 1, an ?1 ? 2an ? 3n ,求 an 分析:等式的右边是 an ? 指数函数 ,若左边也是 an?1 ? 指数函数 ,则等式两边形式相似, 引入待定系数,使得 an ?1 +k ? 3n ?1 ? 2 ? an ? k ? 3n ?

? ? 可得 k ? ?1 n ?1 n ? an?1 +k ? 3 ? 2 ? an ? k ? 3 ?? ? an?1 ? 2an ? 3n
即 an ?1 ? 3n ?1 ? 2 ? an ? 3n ?
??an ? 3n ? 是以-2为首项,为公比的等比数列 2

? an ? 3n = ? 2 ? 2n ?1
3

? an ? 3n ? 2n

4.已知 a1 ? 1, an ?1 ? 3an ? 3n ,求 an 分析:针对这题我们先按第 3 题的方法引入待定系数,使得 an ?1 +k ? 3n ?1 ? 3 ? an ? k ? 3n ? ,

? ? 发现方程无解 n ?1 n ? an?1 +k ? 3 ? 3 ? an ? k ? 3 ?? ? an?1 ? 3an ? 3n
针对该题引入待定系数好像不可取,我们可以这样思考,引入待定系数是从右边 an 带上 的指数考虑数列的形式一致,我们还可以从 an 前面系数考虑,若没有系数 3,则问题可用累 加法处理,现在问题关键是怎么去掉 3? 处理如下: an ?1 ? 3an ? 3n 两边除以 3n?1 ,得:
an?1 an 1 ? ? 3n?1 3n 3

1 1 ? an ? 即 ? n ? 是以 为首项, 为公差的等差数列 3 3 ?3 ? ? an n = 3n 3

? an =n ? 3n ?1

思考:第 3 题是不是也可以用类似的方法呢? 二、分式递推数列求通项 1. 已知 a1 ? 1, an ?1 ?
an ,求 a n 1 ? an

分析:等式的两边一边为整式,一般为分式,形式不一致,那怎么把式子的两边都都化 成相似的形式?要么两边都为整式,要么两边都为分式,处理如下: 两边取倒数的:
1 1 ? ?1 an ?1 an

行成新的等差数列可求解 2.已知 a1 ? 1, an ?1 ?
an ,求 a n 5 ? 2an

仿照上面的做法得:
1 1 ? 5 ? +2 an ?1 an

5 ? 2 an 1 ? an ?1 an



4

令 bn ?

1 an

则 bn?1 ? 5bn ? 2 转化到我们熟悉的第一类第 1 题的模式可求解 3.已知 a1 ? 1, an ?1 ?
an ? 6 , 求 an an ? 4
a ?4 1 ? n an ?1 an ? 6

分析:若我们还仿照上面方法处理可得
1 1 ? ?10 ? ?1 an ?1 an ? 6

可化为:

发现,等式两边形式不相似,若等式左边为

1 就容易求解 an ?1 ? 6

问题的关键:怎么做到两边取倒数后分母形式相似?(左边先加 6 再取倒数可行吗?) 引入待定系数: an ?1 +t ?
an ? 6 ?t an ? 4

可化为:

an ?1 +t ?

?1 +t ? an ?
an ? 4

6 4 ? t

取倒数:

1 an ?1 +t

=

an ? 4 ?1+t ? an ? 6 ? 4t

要使左右形式相似,只需分母的系数对应成比例就好, (如 则
1 t ,解得 t ? 1或-6 ? 1+t 6 ? 4t

a ?4 1 = n 便可求解) an ?1 +2 3an ? 6

思路一:当 t ? 1, 得:an ?1 +1 ?
an ? 4 an ?1 +1 2 ? an ? 1? 1 =

2an ? 2 2 ? an ? 1? = ----------------------------------------------(1) an ? 4 an ? 4

取倒数得:

可化为:

5 1 1 =? ? ? an ?1 + 1 2 an ? 1 2

1

令 bn ?

1 an ? 1

5

5 1 则 bn?1 ? ? bn ? 2 2

又转化到我们熟系的形式,可以求出 bn,从而求出an 思路二:当 t ? ?6, 得:an ?1 ? 6 ?
?5an ? 30 ?5 ? an ? 6 ? = --------------------------------------(2) an ? 4 an ? 4

利用②式也可求解(同①的处理方法) ,下面把①②一起用

?1? a +1 2 a +1 得: n ?1 ?? ? n an ?1 ? 6 5 an ? 6 ? 2?
而 a1 +1 2 =? a1 ? 6 5

?

an +1 2 2 是以 ? 为首项,以 ? 为公比的等比数列 an ? 6 5 5
n

a +1 ? 2 ? ? n =?? ? an ? 6 ? 5 ?

? an ?

7 ? 2? ? ? ? ?1 ? 5?
n

?6

4.已知 a1 ? 4, an ?1 ?

an 2 +4 ,求 a n 2an

an 2 +2t ? an +4 分析:仿题 3, an ?1 +t ? ,如果取倒数,左边分母为一次二项式,右边分母为 2an

二次三项式,不可能系数对应成比例,那怎么做到形式相似?二次一次最简单的关系是平方 关系,若有 an 2 +2t ? an +4= ? an ? t ? ,解的 t ? 2或-2
2

令 t ? 2得 : an ?1

? a +2 ? +2 ? n
2 an

2

---------------------------------------------------------------------(1)
2

令 t ? ?2得 : an ?1

? a ? 2? ?2? n
2an
2

-------------------------------------------------------------------(2)

?1? an ?1 +2 = ? an +2 ? 得 ? 2 ? an?1 ? 2 ? an ? 2 ? ? ?

a1 +2 =3 a1 ? 2

(看成 bn ?1 ? bn 2 ,两边取对数得 lg bn ?1 ? 2lg bn ,得 lg bn 为等比数列)

6

?

an +2 2n?1 =3 an ? 2

? an ?

4 3
2n?1

?1

?2

三、相邻三项的递推数列求通项 1.已知 a1 ? 1, a2 ? 5, an? 2 ? 5an ?1 ? 6an ,求 an 分析:数列的右边有两项,要使两边形式相似,则左边也应该有两项,引入待定系数 t , 1 5?t an? 2 +tan?1 ? (5 ? t )an?1 ? 6an ,要使形式相似,则 ? ,解得 t = ? 2或-3 . t ?6 思路一: 令 t ? ?2 得: an ? 2 ? 2an ?1 ? 3 ? an ?1 ? 2an ?
??an ?1 ? 2an ? 是以3为首项, 3为公比的等比数列
? an ?1 ? 2an =3n --------------------------------------------------------------------------------------(1)

这就转化到我们讲的第一类第 3 题,解略 思路二: 同样令 t ? ?3 得: an ? 2 ? 3an ?1 ? 2 ? an ?1 ? 3an ?
??an ?1 ? 3an ? 是以2为首项,为公比的等比数列 2
? an ?1 ? 3an =2n -------------------------------------------------------------------------------------(2)

把(1)—(2)得: an =3n ? 2n 注: 有时待定系数只能解出一个 t , 那就转化到第一类第 4 题, a1 ? 1, a2 ? 5, an? 2 ? 4an?1 ? 4an 如

小结:
(1)强调数列两边形式相似 (2)重点说明了引入待定系数求通项 (3)当引入待定系数有两个 t 时,把两个式子一起联立可以简化计算,当然只有一个式子求 通项的方法也要掌握

7


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