高中数学第一部分第二章§11.5平面直角坐标系中的距离公式配套课件北师大版必修_图文

第 二 章 解 析 几 何 初 步

§1

1.5
平面 直角 坐标 系中 的距 离公 式

知识点一

理解教材新知
知识点二 考点一

直 线 与 直 线 的 方 程

把握热点考向

考点二 考点三 考点四

应用创新演练

在初中,我们已经学过数轴上两点间的距离公式
|AB|=|xB-xA|.在平面直角坐标系中,怎么求任意两点 间的距离呢? 问题1:若两点A(-5,1),B(6,1),它们的距离是多 少呢? 提示:因为A、B两点所在直线与x轴平行,故|AB| =|6-(-5)|=11.

问题2:若A(x1,y1),C(x2,y1), B(x2,y2),能否求出|AC|,|BC|,|AB|?

提示:能,|AC|=|x2-x1|,|BC|=|y2-y1|. 由勾股定理得|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2. |AC|2+|BC|2=

两点间的距离公式 若A(x1,y1),B(x2,y2),则有两点A,B的距离公式 |AB|=

?x2-x1?2+?y2-y1?2 .

在平面几何中,求点P到直线l的距离的方法是:先过 点P作l的垂线PH,垂足为H,再求PH的长度即可.那么, 在平面直角坐标系中,如何用坐标法求出点P(x0,y0)到直

线Ax+By+C=0的距离呢?
问题1:点(x0,y0)到x轴,y轴的距离怎样用坐标表示?

提示:点(x0,y0)到x轴的距离是|y0|,点(x0,y0)到y轴的
距离是|x0|.

提示:点(x0,y0)到x轴的距离是|y0|,点(x0,y0)到y轴的距 离是|x0|. 问题2:点(x0,y0)到直线x=a,y=b的距离是多少? 提示:|x0-a|,|y0-b|. 问题3:如何求点到直线的距离呢? 提示:转化为点点距,即过点作直线的垂线,点与垂足 的距离.

点到直线的距离公式 点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离记为d, |Ax0+By0+C| A2+B2 则d= .

1.两点间距离公式的理解 (1)此公式与两点的先后顺序无关,也就是说公式也 可写成|P1P2|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2.

(2)当直线P1P2平行于x轴时,|P1P2|=|x2-x1|. 当直线P1P2平行于y轴时,|P1P2|=|y2-y1|.

2.应用点到直线的距离公式的注意事项

(1)特别地,当点P0在直线上时,点P0到该直线的距
离为0.

(2)在应用此公式时,若给出的直线方程不是一般
式,则应先把方程化为一般式,再利用公式求距离.

[例1]

(1)求直线2x+my+2=0(m≠0)与两坐标轴的交

点之间的距离;
(2)已知点A(a,-5)与B(0,10)间的距离是17,求a的值; (3)求直线l:y=x被两条平行直线x+y-2=0和x+y-4 =0所截得的线段的长度. [思路点拨] 距离公式. 利用条件确定点的坐标,再代入两点间的

[精解详析]

(1)直线2x+my+2=0与x轴的交点为

2 (-1,0),与y轴的交点为(0,-m), ∴两交点之间的距离为d= 4 1+m2. (2)由两点间的距离公式可得d2=a2+152=172, ∴ a= ± 8. 2 2 ?-1-0? +?0+m?
2



(3)先求两直线的交点,由
? ?y=x, 为(1,1),由? ? ?x+y-4=0,

? ?y=x, ? ? ?x+y-2=0,

解得交点

解得交点为(2,2). ?2-1?2+?2-1?2= 2.

∴所求线段的长度为d=

[一点通]

两点间的距离公式是利用代数法研究几

何问题的最基本的公式之一,利用代数法解决几何中的

距离问题往往最后都要转化为此公式解决.

1.已知点A(-1,2),B(2,

7 ),在x轴上求一点

P,使得|PA|=|PB|,并求|PA|的值.

解:设所求的点为P(x,0),于是有 |PA|= |PB|= ?x+1?2+?0-2?2= ?x-2?2+?0- 7?2= x2+2x+5, x2-4x+11,

由|PA|=|PB|得x=1,所以所求点为P(1,0),且 |PA|= ?1+1?2+?0-2?2=2 2.

2.已知△ABC中,A(-2,1),B(3,-3),C(2,6),试判断 △ABC的形状.

解:法一: ∵|AB|= ?3+2?2+?-3-1?2= 41, |AC|= ?2+2?2+?6-1?2= 41, 又|BC|= ?3-2?2+?-3-6?2= 82, 即AB2+AC2=BC2,且|AB|=|AC|, 因此△ABC是等腰直角三角形.

6-1 5 法二:∵kAC= = , 2-?-2? 4 -3-1 4 kAB= =-5, 3 - ? - 2? ∴kAC· kAB=-1,即AB⊥AC. ∵|AB|= ?3+2?2+?-3-1?2= 41, |AC|= ?2+2?2+?6-1?2= 41, ∴|AB|=|AC|, 因此△ABC是等腰直角三角形.

[例2]

用解析法证明:ABCD为矩形,M是任一

点.求证:|AM|2+|CM|2=|BM|2+|DM|2.
[思路点拨] 建立坐标系,设出点的坐标,代入已知

化简得.

[精解详析]

分别以AB、AD所在直线

为x轴,y轴建立直角坐标系(如图),设M(x,
y),B(a,0),C(a,b),则D(0,b),又A(0,0).

则|AM|2+|CM|2=x2+y2+(x-a)2+(y-b)2,
|BM|2+|DM|2=(x-a)2+y2+x2+(y-b)2.

∴|AM|2+|CM|2=|BM|2+|DM|2.

[一点通]

(1)解析法证明几何问题的步骤:
①建立适当的坐标系,用坐标表示几何条件; ②进行有关的代数运算; ③把代数运算结果“翻译”成几何关系. (2)重点提示:坐标法证明几何问题,如果题目中没

有坐标系,则需要先建立坐标系.建立坐标系的原则是:
尽量利用图形中的对称关系.

3.用解析法证明:等腰梯形的对角线相等. 解:已知等腰梯形ABCD,AB∥DC,AD

=BC,求证:AC=BD.
证明:以AB所在直线为x轴,以AB的中 点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系. 设A(-a,0)、D(b,c),由等腰梯形的性质知B(a,0), C(-b,c),

则|AC|=

?-b+a?2+?c-0?2=

?a-b?2+c2,

|BD|= ?b-a?2+?c-0?2= ∴|AC|=|BD|. 即等腰梯形的对角线相等.

?a-b?2+c2.

4.已知AO是△ABC边BC的中线. 求证:|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2) 证明:以O点为原点,BC所在直线为x轴

建立直角坐标系,
设B(-a,0),C(a,0),A(x,y), 由两点间距离公式得 |AB|2=(x+a)2+y2, |AC|2=(x-a)2+y2,

∴|AB|2+|AC|2=2x2+2y2+2a2, |AO|2=x2+y2, |OC|2=a2, |AO|2+|OC|2=x2+y2+a2, ∴|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2).

[例3]

求点P0(-1,2)到下列直线的距离.

(1)2x+y-10=0;(2)x=2;(3)y-1=0.
[思路点拨] 解答本题可先将直线方程化为一般式,

然后直接利用点到直线的距离公式求解,对于(2)(3)题
中的特殊直线,也可以借助图像求解.

[精解详析]

(1)由点到直线的距离公式知d= 5.

|2×?-1?+2-10| 10 = =2 2 5 2 +1

(2)法一:直线方程化为一般式x-2=0. 由点到直线的距离公式知 |-1+0×2-2| d= =3. 2 2 1 +0

法二:∵直线x=2与y轴平行,
∴由图(1)知d=|-1-2|=3.

(3)法一:由点到直线的距离公式,得 |-1×0+2-1| d= =1. 0+1 法二:∵直线y-1=0与x轴平行. ∴由图(2)知d=|2-1|=1.

[一点通]
几点

使用点到直线的距离公式时应注意以下

(1)若所给的直线方程不是一般式,则应先把方程化
为一般式,再利用公式求距离. (2)若点P在直线上,点P到直线的距离为零,此公 式仍然适用.

(3)若该直线是几种特殊直线中的一种,可不套公式而直 接求出,如: ①点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|; ②点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|; ③点P(x0,y0)到与x轴平行的直线y=a的距离d=|y0-a|; ④点P(x0,y0)到与y轴平行的直线x=b的距离d=|x0-b|.

5.求点P(3,-2)到下列直线的距离d.

(1)3x-4y+1=0;(2)y=4;(3)x=0.
解:(1)根据点到直线的距离公式得 |3×3-4×?-2?+1| 18 d= =5. 2 2 3 + ? - 4? (2)∵直线y=4平行于x轴, ∴d=|4-(-2)|=6. (3)d=|3-0|=3.

6.已知点(a,2)(a>0)到直线x-y+3的距离为1,求a的值.
解:由点到直线的距离公式得 |a-2+3| d= =1. 2 '即|a+1|= 2. 解得a= 2-1或a=- 2-1. ∵a>0, ∴a= 2-1.

[例4]

已知直线l1与l2的方程分别为7x+8y+9=0,7x

+8y-3=0,直线l平行于l1,直线l与l1的距离为d1,与l2的 d1 1 距离为d2,且d =2,求直线l的方程. 2 [思路点拨] 设P为l上任一点,根据点到直线的距离

公式求出d1,d2,代入d2=2d1,化简求解.

[精解详析]

设P(x,y)为l上任一点.

|7x+8y+9| |7x+8y-3| 则d1= 2 2 ,d2= 2 2 . 7 +8 7 +8 d1 1 由d =2,即d2=2d1,得
2

|7x+8y-3|=2|7x+8y+9| ∴7x+8y-3=2(7x+8y+9)或7x+8y-3 =-2(7x+8y+9). 化简得l的方程为7x+8y+21=0或7x+8y+5=0.

[一点通]

求两条平行直线间的距离有两种思路:

(1)转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的 距离; |C1-C2| (2)利用公式d= 2 2 求解,但需注意两直线方程 A +B 都化为一般式,且x,y的系数对应相等.

7.两条平行直线3x+4y=0与3x+4y-5=0间的距离等于 _______.
解:由两平行线间的距离公式 |0-?-5?| d= 2 2 =1. 3 +4

答案:1

8.已知直线l1与l2:x+y-1=0平行,且l1与l2的距离 为 2,求l1的方程.

解:法一:因为l1∥l2, 所以可设l1的方程为x+y+c=0. 在直线l2上取一个点,如(1,0), |1+c| 则(1,0)到直线l1的距离为 2,从而 = 2, 1+1 所以|c+1|=2,所以c=1或c=-3. 所以l1的方程为x+y+1=0或x+y-3=0.

法二:因为l1∥l2, 所以可设l1的方程为x+y+c=0. |c-?-1?| 所以l1与l2的距离为 = 2, 1+1 |c+1|=2,所以c=1或c=-3. 从而l1的方程为x+y+1=0或x+y-3=0.

1.利用点到直线的距离公式和平行线间距离公式求 距离时,应首先将方程化为一般式,否则不能硬代入求 值,防止出现错误.

2.利用解析(坐标)法来解决几何问题,其解题思路


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